分段函數(shù)重點考 專題

2026ex1,x fxe,x

f2xfx30的解集是（A．

D．3,高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”.xR，用x則下列選項中，正確的是（fxfxfx在0上的值域為fx

x,0x1

,fafa1,f1aa x2,1xfx是定義在R4fxx2,1x

xf(x1)在(22)上的解集為（(2,ax2xa,xax2xa,x

的值域為Ra的取值范圍為（A．,1

B．,1

C．1,0

D．1, 2

2

ex1,xfxx24x1x

fxkx20k值范圍是（A．0,8213∪1,

B．2,e1 3C．2,8213∪1,e

D．2,1∪e1,8213 3

x22(a1)xa2設(shè)aRx22(a1)xa2

xxafx在區(qū)間(06的取值范圍是（A．2,95

B．7,25,114 24

24 C．2,911,

D．7,211,4

4(x1)(x2),1x已知定義在[1f(xfx的值域為[0

2f(),xf(24)

下列結(jié)論正確的為（x[4,8fx4Dfxx[10,16]22x,xfxlog2x0x2a，b，c滿足0abcfafb22x,x結(jié)論恒成立的是（abcC．fafb

a2bD．fabfc12 2x22xa,xfxx22xa,xA．f1

，下列說法一定正確的是（BaRfx在0eC．當(dāng)a1fx的值域為RDaRfx10 fx,k fx,kπxk1π,kfxfxπ

（2A．fπ2Cfx在區(qū)間3π4πDx3π4kπkNfx

1x

b,a

2，且k0，定義運算abaab若hx在0ln2k的取值范圍為2ln 1ln23k 2若hxm有4個不同的解，則m的取值范圍為1,e2 若hxm3個不同的解x1x2x3x1x2x3設(shè)函數(shù)f log6x,x

x的方程f(x)]23f(x20已知函數(shù)yf(x)的表達(dá)式為f(x)x2,x0，則f(x)2的解集 fxx6x3logax,x

（a0且a1）的值域是4,則實數(shù)a的取值范圍 已知aR

x22xa2，xfxx22x2a，x

x∈［–3，

），f(x)≤

的取值范圍 xyz，記max{xyzxyzmax{1233 2a,x4xax2a,x①若a1，則fx的最小值為②若fx恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是2x,xfxlog2x1,x

，設(shè)abc【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式即可x0fx1exx0fxex1ex1fx；x0fxex1x0fx1exfx；x0fx0，所以fx為奇函數(shù)，fx為Rf2xfx30f2xfx3f3x2x3xx1，所以原不等式的解集為∞,1.【分析】先進(jìn)行分段化簡函數(shù)，并畫函數(shù)圖象，再結(jié)合圖象判斷最值情況即可Af2221f2221f(﹣2)f(2)，A 當(dāng)3x2x3，則x3 當(dāng)2x1x2，則x2 當(dāng)1x0x1，則x1 當(dāng)0x1x0，則x0當(dāng)1x2x1，則x1 當(dāng)2x3x2，則x2 當(dāng)3x4x3，則x3 x1fx0x0fx01；B，由圖可知，當(dāng)1x0fx沒有最大值，B錯；C，由圖可知，當(dāng)0x1fx0，CDfx在0上的值域為1,1∪0，D錯2 【詳解】x1fx2x1是增函數(shù)可知,若a1,fafa1,所以0a1,f(a)f(a+1) 2(a11),解得a1,則f1f(4)2(41)6,故選 yf(x1yf(x1在[22合圖象，即可求解x2,1x【詳解】因為函數(shù)fx是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且fxx2,1xx(10]f(x)xx[21x[12]f(x)f(x)(x2)x2x[32]x4[12]f(x)f(x4)(x4)2x2，yf(x1yf(x1個單位長度得到，yf(x1)在[22上的圖象，如圖所示．xf(x10在(22)上的解集為(21(0,1．x0fxlnx1ln10x0fxax2xa在∞0的值域為A，由題意可得∞0A，當(dāng)a0fxxA0∞，不符合題意；1 當(dāng)a0時，由不等式a a0化簡可得124a20，解得a2a a

1

，解得1a0a a 綜上可得a10 yfxykx2的圖象，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有三個交點，利用數(shù)形結(jié)合計算特殊yfx,ykx2fxkx20kx2k,xykx2kxkx2k,xykx2kk0yfxykx2kk0yfx①ykx2kk0yex1相切時kex1 設(shè)切點為xex1

2，則k ex1e10 令hxx1ex1x2hxx2ex0，即hx單調(diào)遞增，又h00x00kykx2kk0過點1e1ke10e111 此時滿足條件的k1e 3 ②ykx2kk0yx24x1x1相切時kykx聯(lián)立yx24x

x2k4x2k10，Δk4242k10k82134易知切點橫坐標(biāo)為2，顯然k8

14k

1321ykx2kk0過點12k20282131 此時滿足條件的k2,8213 k2,82131e1 3 x22a1xa2502個根，可得cos2πx2πa04個根，分別討論xaxa時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.

πkπkZxk1akZ 由0k1aa可得2a1k1 （1）xa時，當(dāng)52a14fx47a9 當(dāng)62a15fx59a11 當(dāng)72a16fx6個零點，即11a13 （2）xaf(xx22(a1)xa25Δ4(a1)24a258a2，當(dāng)a2時，Δfx無零點；當(dāng)a20fx1當(dāng)a2f(aa22a(a1a252a50，則2a5fx2所以若a5fx1個零點fx在區(qū)間(067a

9a

a2a

或a2或a

或 4 a的取值范圍是295,114 24 fx的分析，作出其圖象，即可求得函數(shù)的值域，判斷各選項的正誤【詳解】因當(dāng)1x2fx4x1x2故當(dāng)2x4時，1x2fx2fx8x1x22x2x4 當(dāng)4x82x4fx2fx4x2x4x4x8 當(dāng)8x164x8fx2fx2x4x81x8x16) 當(dāng)16x328x16fx2fxx8x16)1x16x32 L,fxAfx的值域為[0ABf(24)18816BCx[46]fxx[6,8fx單調(diào)遞減，x6fx)f(6)4C正確；Dfx在[10,16]D錯誤.a，b，c的范圍，求出ab=1，對不成立的結(jié)論可舉反例,對恒成立的因為0abcfafbfcf1f21221a1b2c.且

2a

b即A，因為ab=1，所以abc=c2AB，因為ab=1，所以a2b=a2faa2在a1,1 對C，因為1b2，所以1，又ab=1，則a=a1，令a1=0解得a=2，即a= ab

因為函數(shù)fx在1,1上單調(diào)遞減，則當(dāng) 時，有fa=fb，故C不正確2

2D，因為ab=1，所以a+b=a+1y=a+1在a1,1 2a+121c1 fx在2fabfc1D正確 2 x1AaAf11221aa31AB：由圖可知，當(dāng)a31，即a4fx在0eB對于C：當(dāng)x1時，f f1a1，當(dāng)a10，即a1時，fx的值域為R，故選項DD正確.【詳解】當(dāng)πx0fxπsinx，令txπ，則t0πftsintπsintx0πfxsinx，fxcosx當(dāng)tπ,2πx0πfxπfxcosxftcostπcost，xπ,2πfxcosxfxsinx.當(dāng)t2π,3πxπ,2πfxπfxsinxftsintπsint，x2π,3πfxsinxfxcosx.當(dāng)t3π,4πx2π,3πfxπfxcosxftcostπcost，x3π,4πfxcosxfxsinx.fx的最小正周期為4πfπsinπ1A x3π,4πfxcosxfx在區(qū)間3π4πC正確；x0πfxsinxx2π,3πfxsinx，函數(shù)無零點，xπ,2πfxcosx0x3πx3π,4πfxcosx0x7π fx0x3π2kπkND錯誤1x【分析】對A，對k分類討論，并作出分段函數(shù)的圖象求出最小值即可；對B，令exk

2數(shù)，并結(jié)合函數(shù)對稱性即可判斷exk,x

1x

1x e2,xAfxexk

gx

e22 exk,x

x 2,x 1x

令exke

2，解得k 當(dāng)2ln2k0fxgx1所示 gk1 當(dāng)k2ln2時，作出函數(shù)hx2所示f

fk1，g

gk1，所以hx1

綜上hx1，A 1x

1 k

1 3k對B，令exk

2x

ln2

，exke2ln22 2

2 若hx在0ln2x1ln2kln2，解得k2ln2 2 2 xxx2k2kx1ln23kxx

2kk0，D錯誤

2 2 1ln23k若hxm4

1e2 2，C正確m 【詳解】f(x)23f(x20fx12，fx1x0，則8x11，無解，x0

x1，故

x1或

x1x61fx2x0，則8x12x0x0

x2，故

x2或

x2x361所以方程f(x)]23f(x205個

x

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式得到

或

，解得即可

f(x)x2x0f(x)2x 則 或 x0或0x4x6,xfx3logax,x

fx6x4x2fx3logax4，所以logax1，所以loga211a2，所以實數(shù)a的取值范圍1a2.考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域x2fx4，得logax1，即loga21，即可求解實數(shù)a的16．1, x0x0兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果【詳解】分類討論：①x0fxxx22x2axa1x21x 由恒成立的條件可知：a1x21x x0 2 當(dāng)x1時，1x21x 111，則a1 2

②當(dāng)3x0時，fxx即：x22xa2x，整理可得：ax23x2，由恒成立的條件可知：ax23x2 3x0，當(dāng)x3或x0時，x23x 2，則a2綜合①②可得a的取值范圍是12，故答案為12 (1)a≥f(x)?a≥f(x)max(2)a≤f(x)②對稱軸位置；③判別式；④【分析】方法一：令Mmaxa24b22ab，根據(jù)max{xyzab9，求得M【詳解】方法一：（配湊系數(shù)法）令Mmaxa24b22ab，則Ma2M4b2M2abQab為非負(fù)實數(shù)，且ab94MM4M4a24b28ab4ab2481，因此M36．且當(dāng)a6b3a24b22ab36M36,M方法二：（轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)）由ab9得b9aymaxa24b22abymaxa249a22a9a中的實線部分，顯然點A18．(1)-1，(2)1a1或a2【詳解】a1fx

2xa,x

fx在(,1fx14xax2a,xfx在[13為減函數(shù)，在3x3fx取得最小值為- （2）①g(x2xax1x軸有一個交點，則a0，g(12a0，則0a2函數(shù)(x)

()軸有無交點，()g(xxhxxxax2a，由于a2x