廣東省大灣區(qū)2025屆高三上學(xué)期9月統(tǒng)一調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若，則（）A．3 B．4 C．9 D．162．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．3．若，則m可能取值的集合為（）A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．5．甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種6．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為3，則其體積可能為（

）A．10 B．11 C．12 D．138．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知樣本數(shù)據(jù)，則這組數(shù)據(jù)的（）A．眾數(shù)為 B．平均數(shù)為C．上四分位數(shù)為 D．方差為10．若某等腰直角三角形的其中兩個(gè)頂點(diǎn)恰為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在C上，則C的離心率可能為（）A． B． C． D．11．記函數(shù)在區(qū)間的極值點(diǎn)分別為，，函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為63，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的兩倍，則．13．已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．14．設(shè)A，B，C三點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．記中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求A；(2)記的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為r，若，求的取值范圍．16．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)討論在區(qū)間上的最大值．17．如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)若二面角的正切值為，求四面體與四面體的體積之比．18．在平面直角坐標(biāo)系中，等軸雙曲線和的中心均為O，焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，焦距之比為2，的右焦點(diǎn)F到的漸近線的距離為2．(1)求，的方程；(2)過F的直線交于A，B兩點(diǎn)，交于D，E兩點(diǎn)，與的方向相同．（?。┳C明：；（ⅱ）求面積的最小值．19．設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y的取值分別為，．定義X關(guān)于事件“”的條件數(shù)學(xué)期望為：．已知條件數(shù)學(xué)期望滿足全期望公式：．解決如下問題：為了研究某藥物對(duì)于微生物A生存狀況的影響，某實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn)．在第1天上午，實(shí)驗(yàn)人員向培養(yǎng)皿中加入10個(gè)A的個(gè)體．從第1天開始，實(shí)驗(yàn)人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物．當(dāng)加入藥物時(shí)，A的每個(gè)個(gè)體立即以相等的概率隨機(jī)產(chǎn)生1次如下的生理反應(yīng)（設(shè)A的每個(gè)個(gè)體在當(dāng)天的其他時(shí)刻均不發(fā)生變化，不同個(gè)體的生理反應(yīng)相互獨(dú)立）：①直接死亡；②分裂為2個(gè)個(gè)體．設(shè)第n天上午培養(yǎng)皿中A的個(gè)體數(shù)量為．規(guī)定，．(1)求；(2)求；(3)已知，證明：隨著n的增大而增大．

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，故得，化?jiǎn)得，所以，故，故D正確.故選：D.2．【答案】C【詳解】，則，即，故.故選：C3．【答案】B【詳解】由，得，則，由，得，此時(shí)，符合題意；或，此時(shí)，符合題意；或，則，此時(shí)，符合題意，所以m可能取值的集合為.故選：B4．【答案】D【詳解】依題意滿足二項(xiàng)分布，且，即，即，解得，（舍去）.故選：D5．【答案】D【詳解】因?yàn)橛捎诃h(huán)狀排列沒有首尾之分，將n個(gè)不同元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成n個(gè)元素排成一排，即共有種排法，由于n個(gè)不同元素共有n種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有種排法.甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當(dāng)作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，又因?yàn)榧?、?人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為種.故選：D6．【答案】B【詳解】根據(jù)題意知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則得到，又因，則令或解之可得.故選：B7．【答案】A【詳解】設(shè)正棱錐的底面正多邊形的外接圓的半徑為，可得外接圓的面積為因?yàn)檎忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以底面正多邊形的外接圓的半徑，又由正棱錐的高為，設(shè)正棱錐的底面多邊形的面積為，所以正棱錐的體積，其中，令，可得，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，結(jié)合選項(xiàng)，只有A選項(xiàng)符合題意.故選：A.8．【答案】B【詳解】，，，，故；，，，，故；，，，，，故；，，，，故；故.故選：B9．【答案】ACD【詳解】首先，我們把數(shù)據(jù)從小到大排列，得到，對(duì)于A：觀察得數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)為，故A正確；對(duì)于B：平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橐还灿袀€(gè)數(shù)據(jù)，且，所以上四分位數(shù)為第個(gè)數(shù)，故上四分位數(shù)為，故C正確；對(duì)于D：方差為，，故D正確.故選：ACD.10．【答案】BC【詳解】在等腰直角中，在不影響離心率的情況下不妨設(shè)，，，且橢圓焦點(diǎn)位于軸上，當(dāng)橢圓以，為焦點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓和等腰直角三角形對(duì)稱性知點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，則；，離心率.當(dāng)橢圓以或?yàn)榻裹c(diǎn)時(shí)，，，離心率，綜上，橢圓的離心率為或.故選：BC.11．【答案】ABD【詳解】選項(xiàng)A：，，故由題意可知，為方程的兩個(gè)根，故，A正確；選項(xiàng)B：，設(shè)，因，則，此時(shí)函數(shù)y=fx可化為，由題意此函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故，，故，，故B正確；選項(xiàng)C：由解得，，由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由A可知，，，因，故，即，故，故D正確，故選：ABD12．【答案】1【詳解】設(shè)公比為，則，其中，又，故，，故，即，解得.故答案為：113．【答案】/【詳解】球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，則該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，截面如圖所示：設(shè)球的半徑為，則圓錐底面半徑為，可得在中，，，設(shè)，由勾股定理得，，即，化簡(jiǎn)得，即，，則，即，則圓錐體積為，球的體積為，所以圓錐的體積與球O的體積之比為.故答案為：.14．【答案】【詳解】法一：如圖：

不防設(shè)點(diǎn)在正方體的下底面內(nèi)，，在正方體的表面的任何位置，它們?cè)谙碌酌娴纳溆胺謩e為，.則，.所以，，.所以（當(dāng)與方向相反時(shí)取“”）.又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.分析兩個(gè)“”成立的條件，可知為中點(diǎn)時(shí)，有最小值.此時(shí)（當(dāng)為下底面的面對(duì)角線時(shí)取“”）.所以，（當(dāng)位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面對(duì)角線端點(diǎn)時(shí)取“”）.法二：將正方體置于空間直角坐標(biāo)系中，且A在平面中，點(diǎn)和點(diǎn)的連線是一條體對(duì)角線．

設(shè)，，，和分別是點(diǎn)，在平面上的投影．可得，，，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以，當(dāng)，，且時(shí)等號(hào)成立．故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，則，，，解得，；（2）根據(jù)正弦定理得：，設(shè)的內(nèi)心為，易知，由，則，由余弦定理得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，，．16．【答案】(1)極小值為，極大值為；(2)答案見解析.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，所以函數(shù)的極小值為，極大值為.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；⑤當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題設(shè)得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO、BO，則DO⊥AC且，又是正三角形，故.則中，，又，所以，故.而且都在面，故面，而面，所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）設(shè)，，結(jié)合（1）結(jié)論，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，易知平面的法向量為，設(shè)，由，可得，得，設(shè)面的法向量為，則，取，得，所以，因?yàn)槎娼堑恼兄禐?，則，又，解得，所以，所以到底面的距離與到底面的距離之比為，所以四面體與四面體的體積之比.

18．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）由題設(shè)可設(shè),這里.易知漸近線為，焦距為,的右焦點(diǎn)，由題設(shè)可知,解得.所以的方程為,的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線,聯(lián)立直線AB和的方程,得.為使直線AB和均有2個(gè)交點(diǎn)，必須有，,解得且．由韋達(dá)定理可得注意到，因此線段AD和線段具有相同的中點(diǎn)．記上述中點(diǎn)為，注意到,所以.（ⅱ）由（i）可知和的面積相等．記的面積為

,的面積為,的面積為.由與的方向相同可知.因?yàn)椋硭裕?設(shè),則,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，面積的最小值為．19．【答案】(1)6(2)(3)證明見解析【詳解】（1）在事件發(fā)生的條件下，如果在第五天下