第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省淄博市張店區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.36等于A.±3 B.3 C.±6 D.62.如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且EF//BC.若AE=2，BE=4，AF=1，則FC的長是(

)A.12 B.1C.2 D.33.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是(

)A.3+2=32 B.54.如圖，△ABC∽△A′B′C′.若∠B=66°，則∠B的對(duì)應(yīng)角∠B′的大小為(

)A.65°

B.66°

C.67°

D.68°5.如表是代數(shù)式x2+12x?15x1.11.21.31.4x?0.590.842.293.76根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，則關(guān)于方程x2+12x?15=0的一個(gè)正根x1A.x1<1.1 B.1.1<x1<1.2 6.如圖，在9×6的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF(兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)都在該網(wǎng)格的格點(diǎn)上)是位似三角形.若取格點(diǎn)P，Q，M，N，則其中是這兩個(gè)三角形的位似中心的是(

)A.P

B.Q

C.M

D.N7.如圖，在矩形ABCD中，擺放著正方形ADFE(點(diǎn)E在AB上)和正方形EHGB(點(diǎn)G在BC上)，延長GH交AD于點(diǎn)R.若S正方形ADFE=28，S正方形EHGB=12，則陰影部分矩形RDCG的面積等于A.15 B.16 C.17 D.188.已知四邊形ABCD是菱形，其兩邊AB，BC的長是關(guān)于x的一元二次方程4x2?4mx+2m=1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為A.?1 B.?12 C.129.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽(公元3～4世紀(jì))在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程正根的幾何解法，以方程x2+2x?8=0即x(x+2)=8為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是(x+x+2)2，同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×8+22，因此(x+x+2)2=4×8+A. B.

C. D.10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，連接AP，過點(diǎn)P作AP的垂線交邊BC于點(diǎn)Q，交AB的延長線于點(diǎn)E.若EQ=2PQ，則EP的長度為(

)A.8 B.221 C.10 二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.要使x?2有意義，則x的取值應(yīng)滿足的條件是______．12.設(shè)x1，x2是方程x2?2x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則13.物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實(shí)現(xiàn)圖象投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經(jīng)小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A′B′，設(shè)AB=36cm，A′B′=24cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為______cm．14.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4.點(diǎn)E為對(duì)角線BD上異于D的一點(diǎn)，以AE，DE為鄰邊作平行四邊形AEDF，則線段EF的最小值是______．15.如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，將△AEF沿EF翻折.若使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在該菱形的一條邊上，且DA′=1，則AE=______．三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

(1)計(jì)算：32?312+2；

(2)已知17.(本小題10分)

解方程：

(1)x2?2x+1=4；

(2)218.(本小題10分)

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．

(1)求證：△ACD∽△CBD；

(2)若CD=2，BD=1，求AD19.(本小題10分)

閱讀下列材料：

12+1=1×(2?1)(2+1)(2?1)=2?1；

13+2=1×(320.(本小題12分)

某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元．

(1)連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；

(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？21.(本小題12分)

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作MN//AB，交DF延長線于點(diǎn)E．

(1)求證：CE=AD；

(2)如圖2，當(dāng)D為AB邊中點(diǎn)時(shí)，連接CD，BE．

①求證：四邊形BECD是菱形；

②當(dāng)∠A為多少度時(shí)，四邊形BECD是正方形？并請(qǐng)說明理由．

22.(本小題13分)

下面是愛思考的小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法之后，又探索發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的另一種解法.請(qǐng)認(rèn)真閱讀小穎同學(xué)的解法，并完成下面的相關(guān)任務(wù)．

【閱讀材料】

解方程：x(x+4)=6．

小穎同學(xué)的解法：將原方程變形，得(x+0)(x+4)=6，

再變形，得[(x+2)?2][(x+2)+2]=6，

所以，(x+2)2?22=6，

所以，(x+2)2=6+22，

所以，(x+2)2=10，

直接開平方并整理，得x1=?2+10,x1=?2?10．

所以，原方程的解為x1=?2+10,x1=?2?10．

【用以致學(xué)】

請(qǐng)運(yùn)用小穎同學(xué)的解法解下列方程：23.(本小題13分)

【問題情境】

小明學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識(shí)之后，在一次“綜合與實(shí)踐”課上對(duì)正方形進(jìn)行了更加深入的探究性學(xué)習(xí).如圖1，P是邊長為4的正方形ABCD的邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與頂點(diǎn)A，D重合)，連接CP(設(shè)∠BCP=α)，將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α角，得到線段CB′，連接B′D并延長交射線CP于點(diǎn)E，連接AE．

【初步探究】

(1)若α=60°，則∠B′=______度；

(2)在(1)的條件下，連接BE，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段B′E之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

【深入探究】

(3)如圖2，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)角度2α的大小也在發(fā)生變化，小明發(fā)現(xiàn)：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，始終存在B′D=2AE.請(qǐng)證明B′D=2AE；

【拓展延伸】

(4)如圖3，連接AB′，取AB′的中點(diǎn)F，連接CF，DF，小明又發(fā)現(xiàn)：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，22CF+DF答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵62=36，

∴36=6，

故選：2.【答案】C

【解析】解：∵EF/?/BC，

∴AEEB=AFFC，即24=1FC，

解得：FC=23.【答案】C

【解析】解：3與2不是同類二次根式，無法合并，則A不符合題意，

5與2不是同類二次根式，無法合并，則B不符合題意，

3?6=18=32，則C符合題意，4.【答案】B

【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B=66°，

∴∠B′=∠B=66°，

故選：B．

利用相似三角形的性質(zhì)直接寫出答案即可．

本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，難度不大．5.【答案】B

【解析】解：由表可知，當(dāng)x=1.1時(shí)，x2+12x?15<0，當(dāng)x=1.2時(shí)，x2+12x?15>0，

∴x2+12x?15=0正根x1的范圍是1.1<x1<1.26.【答案】A

【解析】解：連接AE，BF，CD相交于點(diǎn)P，

可知△ABC與△EFD的位似中心的是點(diǎn)P．

故選：A．

連接AE，BF，CD相交于點(diǎn)P，結(jié)合位似的性質(zhì)可知，△ABC與△EFD的位似中心的是點(diǎn)P．

本題考查位似變換，熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7.【答案】B

【解析】解：設(shè)正方形ADFE的邊長為a，正方形EHGB的邊長為b，

∴CG=a?b，CD=a+b，

∴陰影部分矩形RDCG的面積為：(a+b)(a?b)=a2?b2，

∵S正方形ADFE=28，S正方形EHGB=12，

∴a2=28，b2=12，

∴a2?b2=28?12=16，

∴陰影部分矩形RDCG的面積為16．

故選：B．

設(shè)正方形ADFE的邊長為a8.【答案】D

【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∴Δ=(?4m)2?4×4×(2m?1)=0，

解得m1=m2=1．

故選：D．

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=BC，利用根的判別式Δ=0可求出9.【答案】A

【解析】解：∵x2?4x?5=0，

∴x(x?4)=5，

∴應(yīng)構(gòu)造面積是(x+x?4)2的大正方形，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x(x?4)=5，中間的小正方形面積為42，

∴大正方形的面積又可表示為4×5+42=36，

∴大正方形的邊長為6，

∴x+x?4=6，

∴x=5，

故正確構(gòu)圖為A10.【答案】D

【解析】解：過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，如圖所示：

∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=90°，

設(shè)PQ=a，則EQ=2PQ=2a，

∴EP=PQ+EQ=3a，

∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，

∴AB=AD=4，∠ABC=90°，∠ABD=45°，

∴∠PMB=∠PNB=∠ABC=90°，∠PMA=∠PNQ=90°，

∴四邊形PMBN是矩形，

∵∠ABD=45°，∠PMB=90°，

∴△PMB是等腰直角三角形，

∴PM=BM，

∴矩形PMBN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵AP⊥PQ，

∴∠APQ=∠MPN=90°，

∴∠APM+∠MPQ=∠MPQ+∠QPN，

∴∠APM=∠QPN，

在△APM和△QPN中，

∠PMA=∠PNQ=90°PM=BM∠APM=∠QPN，

∴△APM≌△QPN(ASA)，

∴PA=PQ=a，

在Rt△APE中，由勾股定理得：AE=PA2+EP2=a2+(3a)2=10a，

由三角形的面積公式得：S△PAE=12AE?PM=12PA?EP，

∴PM=PA?EPAE=a×3a10a=310a10，

∴PM=BM=310a10，

∴AM=AB?BM=4?310a10，

在Rt△PAM中，由勾股定理得：PA2=AM2+PM2，

∴a2=(4?310a10)2+(310a10)2，

整理得：a211.【答案】x≥2

【解析】解：要使x?2有意義，

∴x?2≥0，

∴x≥2．

故答案為：x≥2．

根據(jù)二次根式有意義的條件解答即可．

12.【答案】3

【解析】解：∵x1，x2是方程x2?2x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴x1+x2=2，x1x2=?1，

13.【答案】20

【解析】解：設(shè)小孔O到A′B′的距離為x?cm，

由題意可得：△ABO∽△A′B′O，

則ABA′B′=3624=30x，

解得：x=20．

故答案為：20．

14.【答案】125【解析】解：設(shè)AD與EF的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)A作AH⊥BD于H，

∵四邊形AEDF是平行四邊形，

∴EF=2OE=2OF，AO=OD，AF/?/BD，

∴當(dāng)OE⊥BD時(shí)，OE有最小值，即EF有最小值，

∵AB=3，AD=4，

∴BD=AB2+AD2=5，

∵S△ABD=12AB?AD=12BD?AH，

∴3×4=5AH，

∴AH=125，

∵AH⊥BD，OE⊥BD，

∴AH//OE，

∴四邊形AFEH是平行四邊形，

∴EF=AH=125，

故答案為：15.【答案】3或72【解析】解：∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，且∠A=60°，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠A=60°，AB/?/CD，

又∵DA′=1，

∴當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在該菱形的一條邊上時(shí)，有以下兩種平情況：

①當(dāng)點(diǎn)A′落在AD邊上時(shí)，如圖1所示：

∵AD=4，DA′=1，

∴AA′=AD?DA′=3，

由翻折的性質(zhì)得：AE=A′E，

在△AA′E中，AE=A′E，∠A=60°，

∴△AA′E是等邊三角形，

∴AE=AA′=3；

②當(dāng)點(diǎn)A′落在CD邊上時(shí)，過點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，如圖2所示：

∵BC=CD=AD=4，DA′=1，

∵A′C=CD?DA′=3，

設(shè)AE=x，則BE=AB?AE=4?x，

由翻折的性質(zhì)得：AE=A′E=x，

∵BM⊥CD，

∴△BCM是直角三角形，

在Rt△BCM中，BC=4，∠C=60°，

∴∠CBM=90°?∠C=60°=30°，

∴CM=12BC=2，

由勾股定理得：BM=BC2?CM2=42?22=23，

∴A′M=A′C?CM=3?2=1，

∵AB/?/CD，BM⊥CD，EN⊥CD，

∴BM⊥AB，EN⊥AB，

∴四邊形BENM是矩形，

∴MN=BE=4?x，EN=BM=23，

∴A′N=A′M?MN=1?(4?x)=x?3，

在Rt△A′EN中，由勾股定理得：A′E2=A′N2+EN2，

∴x2=(x?3)2+(23)2，

解得：x=72，

∴AE=x=72，

綜上所述：AE=3或72．

依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)A′落在AD邊上時(shí)，則AA′=3，由翻折的性質(zhì)得AE=A′E，再根據(jù)∠A=60°得△AA′E是等邊三角形，進(jìn)而得AE=AA′=3；②當(dāng)點(diǎn)A′落在CD邊上時(shí)，過點(diǎn)B16.【答案】722；

【解析】(1)原式=42?322+2

=722；

(2)∵x=2?3,y=2+3，

∴x+y=4，xy=4?3=1，

∴17.【答案】x1=3，x2=?1；

【解析】(1)x2?2x+1=4，

配方得，(x?1)2=4，

解得，x?1=±2，

所以，原方程的解為x1=3，x2=?1；

(2)2x2+3x?2=0，

因式分解得，(x+2)(2x?1)=0，

解得，x+2=0或2x?1=018.【答案】證明見解答；

AD的長是2．

【解析】(1)證明：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠A=∠BCD，

∴△ACD∽△CBD．

(2)解：∵△ACD∽△CBD，

∴ADCD=CDBD，

∵CD=2，BD=1，

∴AD=CD2BD=(2)21=2，

∴AD的長是2．

(1)由CD⊥AB于點(diǎn)D，得∠ADC=∠CDB=90°，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，得∠A=∠BCD，則△ACD∽△CBD；19.【答案】7?6；

n+1?【解析】(1)17+6=7?6(7+6)(7?6)=7?6；

故答案為：7?6；

(2)20.【答案】解：(1)設(shè)每次下降的百分率為x

根據(jù)題意得：50(1?x)2=32

解得：x1=0.2，x2=1.8(不合題意舍去)

答：每次下降20%

(2)設(shè)漲價(jià)y元(0<y≤8)

6000=(10+y)(500?20y)

解得：y1=5，【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到題目中的相等關(guān)系，列出方程是本題的關(guān)鍵．

(1)設(shè)每次下降的百分率為x，根據(jù)相等關(guān)系列出方程，可求每次下降的百分率；

(2)設(shè)漲價(jià)y元(0<y≤8)，根據(jù)總盈余=每千克盈余×數(shù)量，可列方程，可求解．21.【答案】證明見解答；

①證明見解答；

②45°，理由見解答．

【解析】(1)證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC/?/DE，

∵M(jìn)N/?/AB，

即CE/?/AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD．

(2)①證明：∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∵BD/?/CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形．

②解：當(dāng)∠A=45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由如下：

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

又∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形．

(1)根據(jù)題意證明四邊形ADEC是平行四邊形，即可得證；

(2)①根據(jù)題意證明四邊形BECD是平行四邊形，求得CD=BD，利用菱形的判定定理即可得證；

②根據(jù)題意求出∠CDB=90°，利用正方形的判定定理即可解答．

本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，掌握這些判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】x1=?1，x2=?7；

x1=5，x2=?3【解析】(1)將原方程變形，得[(x+4)?2][(x+4)+2]=5，

∴(x+4)2?22=5，

∴(x+4)2=5+22，

∴(x+4)2=9，

直接開平方并整理，得x1=?1，x2=?7，

∴原方程的解為x1=?1，x2=?7；

(2)將原方程變形，得[(x?1)?2][(x?1)+2]=12，

∴(x?1)2?22=12，

∴(x?1)2=12+22，

∴(x?1)2=16，

直接開平方并整理，得x1=5，x2=?3，

∴原方程的解為x1=5，23.【答案】75；

BE=B′E，BE⊥B′E；

證明見解析；

10．【解析】(1)解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，

∵∠BCP=α=60°，線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α角，得到線段CB′，

∴∠DCP=∠BCD?∠BCP=90°?60°=30°，∠BCB′=2α=120°120°，BC=B′C，

∴∠DCB′=∠BCB′?∠BCD=120°?90°=30°，B′C=DC，

∴∠B′=∠CDB′=12(180°?∠DCB′)=12×(180°?30°)=75°，

故答案為：75；

(2)解：BE=B′E，BE⊥B′E，理由如下：

如圖所示，連接BE，

由(1)得，AB=BC=CD=AD=CB′=4，∠BCP=α=60°，∠DCP=∠DCB′=30°，∠CB′D=75°，

∴∠B′CE=60°=∠BCE，

在△BEC與△B′EC中，

BC=B′C∠BCE=∠B′CECE=CE，

∴△BEC≌△B′EC(SAS)，

∴BE=B′E，∠BEC=∠B′EC，

在△CB′E中，∠CEB′=180°?∠PCB′?∠CB′E=180°?60°?75°=45°，

∴∠BEC=∠B′EC=45°，

∴∠BEB′=90°，即BE⊥B′E；

(3)證明：如圖所示，連接BE，過點(diǎn)A作AL⊥AE交BE于點(diǎn)L，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=BC，

∴∠BAD=∠LAE=90°，

∴∠BAD?∠DAL=∠LAE?∠DAL，即∠BAL=∠DAE，