高中數(shù)學重點公式速記手冊一、函數(shù)模塊：基礎與導數(shù)（一）基本初等函數(shù)運算1.指數(shù)運算（\(a>0,b>0,m,n\in\mathbb{R}\)）同底數(shù)冪：\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)，\(a^m\diva^n=a^{m-n}\)冪的乘方：\((a^m)^n=a^{mn}\)積的乘方：\((ab)^n=a^nb^n\)負指數(shù)：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)，零指數(shù)：\(a^0=1(a\neq0)\)2.對數(shù)運算（\(a>0,a\neq1,M>0,N>0\)）積商冪：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)，\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)，\(\log_aM^n=n\log_aM\)換底公式：\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}(c>0,c\neq1)\)，特例：\(\log_ab=\frac{1}{\log_ba}\)自然對數(shù)：\(\lnN=\log_eN(e\approx2.718)\)，常用對數(shù)：\(\lgN=\log_{10}N\)（二）導數(shù)公式與應用1.基本函數(shù)導數(shù)常數(shù)：\((C)'=0\)（\(C\)為常數(shù)）冪函數(shù)：\((x^n)'=nx^{n-1}\)（如\(\sqrt{x}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(\frac{1}{x}'=-\frac{1}{x^2}\)）指數(shù)：\((a^x)'=a^x\lna\)，特例：\((e^x)'=e^x\)對數(shù)：\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)，特例：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)三角：\((\sinx)'=\cosx\)，\((\cosx)'=-\sinx\)，\((\tanx)'=\sec^2x\)（\(\secx=\frac{1}{\cosx}\)）2.導數(shù)運算法則和差：\((f\pmg)'=f'\pmg'\)乘積：\((fg)'=f'g+fg'\)（口訣：前導后不導+后導前不導）商：\(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}(g\neq0)\)（口訣：分子導分母不導-分母導分子不導，分母平方）3.函數(shù)性質(zhì)判定單調(diào)性：\(f'(x)>0\Rightarrow\)遞增；\(f'(x)<0\Rightarrow\)遞減極值（一階導法）：\(x_0\)處導數(shù)由正變負→極大值；由負變正→極小值極值（二階導法）：\(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)>0\Rightarrow\)極小值；\(f''(x_0)<0\Rightarrow\)極大值二、三角函數(shù)模塊：恒等式與解三角形（一）誘導公式口訣：奇變偶不變，符號看象限（“奇”“偶”指\(\frac{\pi}{2}\)的倍數(shù)；“變”指正弦?余弦、正切?余切；“符號”將\(\alpha\)視為銳角時原函數(shù)的符號）示例：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)（偶倍不變，第二象限正弦正）；\(\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\)（奇倍變，第二象限余弦負）（二）三角恒等式1.和差公式\(\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB\)\(\cos(A\pmB)=\cosA\cosB\mp\sinA\sinB\)\(\tan(A\pmB)=\frac{\tanA\pm\tanB}{1\mp\tanA\tanB}\)（\(A\pmB\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\)）2.二倍角公式\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)（變形：\(\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha\)）\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)（降冪：\(\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\)，\(\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\)）\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)（\(\alpha\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)）3.輔助角公式\(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，其中\(zhòng)(\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，\(\sin\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}\)（\(\varphi\)象限由\(a,b\)符號決定）示例：\(\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)（三）解三角形1.正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為外接圓半徑）適用：兩角及一邊，或兩邊及其中一邊的對角（注意多解）2.余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)（變形：\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)）適用：兩邊及夾角，或三邊求角3.面積公式\(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB\)（兩邊及夾角）海倫公式：\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)（\(p=\frac{a+b+c}{2}\)，三邊）三、數(shù)列模塊：等差與等比（一）等差數(shù)列（公差\(d\)）通項：\(a_n=a_1+(n-1)d=a_m+(n-m)d\)求和：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)（二次函數(shù)形式：\(S_n=An^2+Bn\)）性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)（二）等比數(shù)列（公比\(q\neq0\)）通項：\(a_n=a_1q^{n-1}=a_mq^{n-m}\)求和：\(S_n=\begin{cases}na_1(q=1)\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}(q\neq1)\end{cases}\)性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)（三）常用求和方法錯位相減法：適用于\(\{等差\times等比\}\)（如\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^n\)），步驟：乘公比→錯位相減→化簡裂項相消法：適用于分式（如\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)），步驟：拆項→累加抵消四、不等式模塊：基本與線性規(guī)劃（一）基本不等式公式：\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a,b>0)\)（當且僅當\(a=b\)時取等）變形：\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（和的最小值），\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)（積的最大值）條件：一正（變量為正）、二定（和或積為定值）、三相等（等號成立）三元推廣：\(\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}(a,b,c>0)\)（二）柯西不等式二維：\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\)（當且僅當\(ad=bc\)時取等）向量形式：\(|\vec{a}\cdot\vec|\leq|\vec{a}||\vec|\)（\(\vec{a}=(a,b),\vec=(c,d)\)）（三）線性規(guī)劃目標函數(shù)：\(z=ax+by\)（線性）約束條件：線性不等式組（如\(x+y\leq2,x\geq0,y\geq0\)）求解：畫可行域→平移目標直線→找頂點極值（極值多在頂點處）五、立體幾何模塊：空間向量與體積（一）空間向量運算點積：\(\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta\)（\(\theta\)為夾角），坐標形式：\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec=(x_2,y_2,z_2)\Rightarrow\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)夾角：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\)（\(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)）（二）線面角與二面角線面角\(\alpha\)：\(\sin\alpha=|\cos\theta|\)（\(\theta\)為直線方向向量與平面法向量夾角）二面角\(\beta\)：\(\cos\beta=\pm\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\)（\(\vec{n_1},\vec{n_2}\)為平面法向量，符號由二面角類型決定）（三）表面積與體積棱柱：\(S=2S_底+S_側(cè)\)（側(cè)面積=底面周長×高），\(V=S_底h\)棱錐：\(S=S_底+S_側(cè)\)（側(cè)面積=各側(cè)面面積之和），\(V=\frac{1}{3}S_底h\)球：\(S=4\piR^2\)，\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)（\(R\)為半徑）六、解析幾何模塊：直線與圓錐曲線（一）直線與圓1.直線方程點斜式：\(y-y_1=k(x-x_1)\)（過\((x_1,y_1)\)，斜率\(k\)，不適用于垂直x軸）一般式：\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為0，適用于所有直線）距離公式：直線\(Ax+By+C=0\)到點\((x_0,y_0)\)的距離\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)2.圓的方程標準式：\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（圓心\((a,b)\)，半徑\(r\)）一般式：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)（\(D^2+E^2-4F>0\)，圓心\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半徑\(\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)）（二）圓錐曲線1.橢圓（\(a>b>0\)）定義：到兩定點距離之和為常數(shù)（>兩定點間距）標準方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（焦點\((\pmc,0)\)，\(c^2=a^2-b^2\)）離心率：\(e=\frac{c}{a}(0<e<1)\)（\(e\)越小，橢圓越圓）2.雙曲線（\(a>0,b>0\)）定義：到兩定點距離之差絕對值為常數(shù)（<兩定點間距）標準方程：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（焦點\((\pmc,0)\)，\(c^2=a^2+b^2\)）漸近線：\(y=\pm\frac{a}x\)，離心率：\(e=\frac{c}{a}(e>1)\)（\(e\)越大，開口越大）3.拋物線（\(p>0\)）定義：到定點（焦點）與定直線（準線）距離相等標準方程：\(y^2=2px\)（焦點\((\frac{p}{2},0)\)，準線\(x=-\frac{p}{2}\)，開口向右）離心率：\(e=1\)七、概率統(tǒng)計模塊：概率與統(tǒng)計量（一）概率公式古典概型：\(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件數(shù)}{總基本事件數(shù)}\)（等可能）幾何概型：\(P(A)=\frac{事件A對應區(qū)域長度（面積/體積）}{總區(qū)域長度（面積/體積）}\)（等可能）條件概率：\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}(P(A)>0)\)全概率公式：\(P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\)（\(A_i\)為樣本空間劃分）貝葉斯公式：\(P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}\)（逆概率）（二）統(tǒng)計量樣本均值：\(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\)（集中趨勢）樣本方差：\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\)（離散程度，無偏估計）頻率分布直方圖：縱軸為\(\frac{頻率}{組距}\)，矩形面積=頻率，總面積=1（三）隨機變量的期望與方差離散型期望：\(E(X)=\sumx_iP(X=x_i)\)（平均取值）離散型方差：\(D(X)=