北京市初三數(shù)學(xué)一模分類(lèi)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)一、前言北京市初三數(shù)學(xué)一模是中考前最重要的適應(yīng)性考試，其命題嚴(yán)格遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，兼顧基礎(chǔ)與能力，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)核心知識(shí)點(diǎn)的掌握、邏輯推理能力及應(yīng)用意識(shí)。為幫助學(xué)生高效備考，本文結(jié)合近年一模真題，按函數(shù)綜合、幾何綜合、統(tǒng)計(jì)與概率、代數(shù)綜合、新定義問(wèn)題五大高頻專(zhuān)題，梳理考點(diǎn)、提煉解題策略，并附專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，助力學(xué)生查漏補(bǔ)缺、提升解題能力。二、函數(shù)綜合：圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（一）考點(diǎn)分析函數(shù)是一模的核心板塊，占比約25%，主要考查：1.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、單調(diào)性、奇偶性）；2.函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系（如求交點(diǎn)坐標(biāo)、解不等式）；3.函數(shù)應(yīng)用題（如最值問(wèn)題、行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題）；4.函數(shù)與幾何的結(jié)合（如坐標(biāo)系中三角形、四邊形的面積計(jì)算）。（二）典型例題（2023年朝陽(yáng)一模第22題）題目：二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)。點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線BC于E。當(dāng)PE=2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解析：1.求定點(diǎn)坐標(biāo)：令\(y=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=3\)，故\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)；令\(x=0\)，得\(y=3\)，故\(C(0,3)\)。2.求直線BC解析式：設(shè)直線BC為\(y=kx+b\)，代入\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)，得\(k=-1\)，\(b=3\)，故\(y=-x+3\)。3.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)：設(shè)\(P(x,-x^2+2x+3)\)，則E點(diǎn)坐標(biāo)為\((x,-x+3)\)（橫坐標(biāo)與P相同，在直線BC上）。4.計(jì)算PE長(zhǎng)度：\(PE=|P的縱坐標(biāo)-E的縱坐標(biāo)|=|(-x^2+2x+3)-(-x+3)|=|-x^2+3x|\)。5.解方程求x：由\(PE=2\)，得\(|-x^2+3x|=2\)，即\(x^2-3x=±2\)。解\(x^2-3x-2=0\)，得\(x=\frac{3±\sqrt{17}}{2}\)，對(duì)應(yīng)\(P(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{-1-\sqrt{17}}{2})\)、\(P(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2})\)；解\(x^2-3x+2=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，對(duì)應(yīng)\(P(1,4)\)、\(P(2,3)\)。（三）解題策略1.熟練掌握函數(shù)基本性質(zhì)：二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c(a≠0)\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b2}{4a})\)，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)；反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k≠0)\)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)\(k>0\)時(shí)，在第一、三象限單調(diào)遞減。2.聯(lián)立方程求交點(diǎn)：函數(shù)與幾何結(jié)合問(wèn)題中，聯(lián)立函數(shù)解析式與幾何圖形的方程（如直線方程），可求交點(diǎn)坐標(biāo)。3.利用距離公式計(jì)算長(zhǎng)度：坐標(biāo)系中兩點(diǎn)\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)的距離為\(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\)，點(diǎn)到直線的距離為\(\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A2+B2}}\)（直線方程為\(Ax+By+C=0\)）。4.最值問(wèn)題的解法：二次函數(shù)最值可通過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)求解；一次函數(shù)最值需結(jié)合自變量取值范圍（如應(yīng)用題中的“定義域”）；反比例函數(shù)最值需結(jié)合圖像單調(diào)性。（四）專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)1.二次函數(shù)\(y=x2-4x+5\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，對(duì)稱軸為_(kāi)_____。2.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與直線\(y=2x\)交于點(diǎn)\((1,2)\)，則\(k=\)______。3.某商店銷(xiāo)售某種商品，每件成本為30元，售價(jià)為\(x\)元（\(30≤x≤60\)），每天銷(xiāo)售量為\(-2x+120\)件。求每天的利潤(rùn)\(y\)與售價(jià)\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求最大利潤(rùn)。答案：1.\((2,1)\)，\(x=2\)；2.\(2\)；3.\(y=(x-30)(-2x+120)=-2x2+180x-3600\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((45,450)\)，最大利潤(rùn)為450元。三、幾何綜合：圖形性質(zhì)與推理的融合（一）考點(diǎn)分析幾何綜合占比約30%，是一模的難點(diǎn)板塊，主要考查：1.三角形（全等、相似、等腰三角形、直角三角形）的性質(zhì)與判定；2.四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)與判定；3.圓（切線、圓周角定理、弧長(zhǎng)與扇形面積）的性質(zhì)；4.幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）的應(yīng)用。（二）典型例題（2023年豐臺(tái)一模第24題）題目：在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F。(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若∠BAC=60°，AB=4，求EF的長(zhǎng)。解析：(1)證明切線：連接OD，需證OD⊥DF?！逜B=AC，∴∠ABC=∠ACB；∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB；∴∠ODB=∠ACB，故OD∥AC（同位角相等）；∵DF⊥AC，∴OD⊥DF（兩直線平行，同位角相等）；又OD是⊙O的半徑，故DF是⊙O的切線。(2)求EF的長(zhǎng)：∵AB=AC=4，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，BC=4，∠ACB=60°；AB是直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)圓周角為直角），故AD⊥BC，D是BC中點(diǎn)（等邊三角形三線合一），BD=DC=2；連接BE，AB是直徑，∴∠AEB=90°（直徑所對(duì)圓周角為直角），故BE⊥AC，E是AC中點(diǎn)（等邊三角形三線合一），AE=EC=2；在Rt△DFC中，∠ACB=60°，DC=2，∴CF=DC·cos60°=1；∴EF=EC-CF=2-1=1。（三）解題策略1.掌握基本圖形性質(zhì)：等腰三角形：三線合一（頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）；圓：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；直徑所對(duì)圓周角為直角；平行四邊形：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分。2.輔助線添加技巧：圓中遇切線：連半徑（證垂直）；圓中遇直徑：作直角三角形（用圓周角定理）；三角形中遇中點(diǎn)：倍長(zhǎng)中線（構(gòu)造全等三角形）或連中位線（利用中位線定理）；等腰三角形中遇角平分線：作平行線（構(gòu)造等腰三角形）。3.相似三角形的應(yīng)用：相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）常用于求線段長(zhǎng)度或證明比例關(guān)系，如“母子三角形”（直角三角形斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似）。4.幾何計(jì)算方法：三角函數(shù)：用于直角三角形中求邊長(zhǎng)（如sinθ=對(duì)邊/斜邊，cosθ=鄰邊/斜邊，tanθ=對(duì)邊/鄰邊）；勾股定理：用于直角三角形中求邊長(zhǎng)或證明垂直；面積公式：用于求圖形面積（如三角形面積=1/2×底×高，扇形面積=1/2×弧長(zhǎng)×半徑）。（四）專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC=______。2.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，求圓心O到AB的距離。3.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，連接AE、BF交于點(diǎn)G，求證：AE⊥BF。答案：1.\(\frac{3}{2}\)（由DE∥BC得△ADE∽△ABC，故\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)）；2.3（作OC⊥AB于C，AC=4，OA=5，由勾股定理得OC=3）；3.提示：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，坐標(biāo)法或全等三角形（△ABE≌△BCF）。四、統(tǒng)計(jì)與概率：數(shù)據(jù)處理與隨機(jī)思想（一）考點(diǎn)分析統(tǒng)計(jì)與概率占比約15%，難度較低，主要考查：1.數(shù)據(jù)的收集與整理（條形圖、折線圖、扇形圖）；2.數(shù)據(jù)的分析（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）；3.概率（古典概型、幾何概型）。（二）典型例題（2023年?yáng)|城一模第19題）題目：某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生調(diào)查體育鍛煉情況，結(jié)果分為A（每天鍛煉1小時(shí)及以上）、B（每天鍛煉0.5-1小時(shí)）、C（每天鍛煉不足0.5小時(shí)）三類(lèi)，用扇形圖和條形圖展示部分結(jié)果（如圖）。解答下列問(wèn)題：(1)本次調(diào)查的學(xué)生總數(shù)是多少？(2)補(bǔ)全條形圖；(3)若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)“每天鍛煉1小時(shí)及以上”的學(xué)生人數(shù)；(4)從C類(lèi)學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，已知C類(lèi)有2男3女，求恰好抽到1男1女的概率。解析：(1)求總數(shù)：扇形圖中A類(lèi)占40%，條形圖中A類(lèi)有20人，故總數(shù)=20÷40%=50人；(2)補(bǔ)全條形圖：B類(lèi)占30%，人數(shù)=50×30%=15人，C類(lèi)人數(shù)=____=15人；(3)估計(jì)人數(shù)：1200×40%=480人；(4)求概率：設(shè)男生為M1、M2，女生為F1、F2、F3，所有組合共10種（如(M1,M2)、(M1,F1)等），其中1男1女的有6種，故概率=6/10=3/5。（三）解題策略1.統(tǒng)計(jì)圖表的解讀：扇形圖：表示各部分占總體的百分比，總數(shù)=某部分?jǐn)?shù)量÷對(duì)應(yīng)百分比；條形圖：表示各部分的具體數(shù)量，可補(bǔ)全缺失數(shù)據(jù)；折線圖：表示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。2.數(shù)據(jù)的分析：平均數(shù)：\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+…+x_n}{n}\)，反映數(shù)據(jù)的平均水平；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列后，中間的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），反映數(shù)據(jù)的中等水平；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；方差：\(s2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})2+…+(x_n-\bar{x})2]\)，反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。ǚ讲钤叫?，波動(dòng)越小）。3.概率的計(jì)算：古典概型：\(P(A)=\frac{符合條件的情況數(shù)}{總情況數(shù)}\)，常用列舉法（列表、樹(shù)狀圖）；幾何概型：\(P(A)=\frac{事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積}{總區(qū)域面積}\)（如轉(zhuǎn)盤(pán)問(wèn)題）。（四）專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)1.一組數(shù)據(jù)：2，3，4，5，5，6的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______。2.某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?0分10人，85分20人，90分15人，95分5人，求平均成績(jī)。3.擲一枚均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率。答案：1.4.5，5；2.\(\frac{80×10+85×20+90×15+95×5}{50}=86.5\)分；3.\(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。五、代數(shù)綜合：運(yùn)算與方程的綜合應(yīng)用（一）考點(diǎn)分析代數(shù)綜合占比約20%，主要考查：1.實(shí)數(shù)運(yùn)算（平方根、立方根、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪）；2.整式運(yùn)算（因式分解、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式）；3.分式運(yùn)算（化簡(jiǎn)、求值）；4.方程與不等式（一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式組）。（二）典型例題（2023年西城一模第17題）題目：(1)解方程：\(x2-4x+3=0\)；(2)解不等式組：\(\begin{cases}2x-1≤3\\x+1>2\end{cases}\)；(3)化簡(jiǎn)：\(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a2-1}{a2-2a+1}\)。解析：(1)解方程：因式分解得\((x-1)(x-3)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)；(2)解不等式組：解\(2x-1≤3\)，得\(x≤2\)；解\(x+1>2\)，得\(x>1\)；故解集為\(1<x≤2\)；(3)化簡(jiǎn)：\(\frac{a+1}{a-1}-\frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)2}=\frac{a+1}{a-1}-\frac{a+1}{a-1}=0\)。（三）解題策略1.實(shí)數(shù)運(yùn)算注意事項(xiàng)：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)\)；絕對(duì)值：\(|a|=\begin{cases}a,a≥0\\-a,a<0\end{cases}\)；平方根：\(\sqrt{a}≥0(a≥0)\)，立方根：\(\sqrt[3]{a}\)可為任意實(shí)數(shù)。2.因式分解方法：提公因式法：\(ab+ac=a(b+c)\)；公式法：\(a2-b2=(a-b)(a+b)\)，\(a2±2ab+b2=(a±b)2\)；十字相乘法：\(x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)（適用于二次三項(xiàng)式）。3.分式化簡(jiǎn)技巧：先因式分解分子分母，再約分；通分計(jì)算時(shí)，公分母取各分母的最小公倍數(shù)；求值時(shí)，要注意分母不為0（即代入的數(shù)不能使分母為0）。4.方程與不等式的解法：一元二次方程：優(yōu)先用因式分解法，其次用配方法或公式法（\(x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}\)）；不等式組：取各不等式解集的交集（用數(shù)軸表示更直觀）。（四）專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)1.計(jì)算：\(\sqrt{4}+(-1)^2-2^{-1}\)；2.因式分解：\(x2-6x+9\)；\(2x2-8\)；3.解不等式組：\(\begin{cases}3x+1>2(x-1)\\\frac{1}{2}x≤\frac{1}{3}(x+1)\end{cases}\)。答案：1.\(2+1-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)；2.\((x-3)^2\)；\(2(x-2)(x+2)\)；3.解第一個(gè)不等式得\(x>-3\)，解第二個(gè)不等式得\(x≤2\)，故解集為\(-3<x≤2\)。六、新定義問(wèn)題：創(chuàng)新思維的考查（一）考點(diǎn)分析新定義問(wèn)題是一模的熱點(diǎn)題型，占比約10%，主要考查：1.對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化；2.運(yùn)用已有知識(shí)解決新問(wèn)題的能力；3.分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。（二）典型例題（2023年石景山一模第25題）題目：定義：對(duì)于點(diǎn)\(P(x,y)\)，若存在點(diǎn)\(Q(x',y')\)，使得\(x'=|x|+|y|\)，\(y'=|x|-|y|\)，則稱Q為P的“伴隨點(diǎn)”。(1)求點(diǎn)A(1,2)的伴隨點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)B的伴隨點(diǎn)是B'(3,1)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)C(m,n)的伴隨點(diǎn)C'在第四象限，求m,n的取值范圍。解析：(1)求伴隨點(diǎn)：\(x'=|1|+|2|=3\)，\(y'=|1|-|2|=-1\)，故伴隨點(diǎn)為(3,-1)；(2)求點(diǎn)B坐標(biāo)：設(shè)B(a,b)，則\(\begin{cases}|a|+|b|=3\\|a|-|b|=1\end{cases}\)，解得\(|a|=2\)，\(|b|=1\)，故B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)、(2,-1)、(-2,1)、(-2,-1)；(3)求取值范圍：C'坐標(biāo)為(|m|+|n|,|m|-|n|)，第四象限要求\(|m|+|n|>0\)（恒成立），\(|m|-|n|<0\)，故\(|m|<|n|\)。（三）解題策略1.讀懂定義：將新定義的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式（如“伴隨點(diǎn)”的定義轉(zhuǎn)化為\(x