三角形邊角關(guān)系練習(xí)題及解答引言三角形是幾何體系中最基本的圖形之一，其邊角關(guān)系（線段長度與角度大小的對應(yīng)規(guī)律）是連接代數(shù)與幾何的橋梁，也是學(xué)習(xí)三角函數(shù)、相似三角形、圓等高級內(nèi)容的基礎(chǔ)。掌握三角形邊角關(guān)系的核心定理（如內(nèi)角和、三邊關(guān)系、正弦定理、余弦定理），不僅能解決各類幾何問題，還能提升邏輯推理與運算能力。本文通過分類題型練習(xí)+詳細解答+思路分析的結(jié)構(gòu)，幫助讀者鞏固核心知識點，突破易錯點，提高解題效率。內(nèi)容覆蓋基礎(chǔ)概念、角度計算、邊長取值范圍、正弦/余弦定理應(yīng)用及綜合問題，適合初中高年級及高中學(xué)生復(fù)習(xí)使用。一、核心定理回顧在開始練習(xí)前，先回顧三角形邊角關(guān)系的核心定理，確保基礎(chǔ)扎實：1.三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角之和為180°，即：$$\angleA+\angleB+\angleC=180^\circ$$2.三角形外角性質(zhì)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。3.三角形三邊關(guān)系定理任意兩邊之和大于第三邊（$a+b>c$，$a+c>b$，$b+c>a$）；任意兩邊之差小于第三邊（$|a-b|<c$，$|a-c|<b$，$|b-c|<a$）。4.正弦定理在$\triangleABC$中，各邊與對應(yīng)角的正弦值之比相等，等于外接圓直徑（$2R$）：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$$5.余弦定理在$\triangleABC$中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊與夾角余弦值的兩倍：$$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$$$$b^2=a^2+c^2-2ac\cosB$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$$二、分類練習(xí)題及解答**題型1：基礎(chǔ)概念題——定理理解與簡單應(yīng)用**例題1：判斷線段長度為2、3、5的三條線段能否組成三角形。解答：不能組成三角形。思路分析：根據(jù)三邊關(guān)系定理，需滿足“較短兩邊之和大于最長邊”。排序后為2、3、5，$2+3=5$，不滿足“大于”，故無法組成三角形。例題2：在$\triangleABC$中，若$\angleA:\angleB:\angleC=1:2:3$，則對應(yīng)的邊長比$a:b:c$為（）A.1:2:3B.1:$\sqrt{3}$:2C.$\sqrt{3}$:1:2D.2:$\sqrt{3}$:1解答：選B。思路分析：由內(nèi)角和定理求各角：設(shè)$\angleA=x$，則$x+2x+3x=180^\circ$，解得$x=30^\circ$，故$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，$\angleC=90^\circ$；由正弦定理得$a:b:c=\sin30^\circ:\sin60^\circ:\sin90^\circ=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2$。**題型2：內(nèi)角和與外角性質(zhì)——角度計算**例題3：在$\triangleABC$中，$\angleA=50^\circ$，$\angleB=60^\circ$，求$\angleC$及與$\angleC$相鄰的外角的度數(shù)。解答：$\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$；與$\angleC$相鄰的外角=$\angleA+\angleB=50^\circ+60^\circ=110^\circ$（外角性質(zhì)）。思路分析：內(nèi)角和定理直接求$\angleC$，外角用“不相鄰兩內(nèi)角之和”計算更快捷。例題4：如圖，$\triangleABC$中，$\angleACB$的外角平分線交$AB$延長線于點$D$，若$\angleA=30^\circ$，$\angleB=40^\circ$，求$\angleD$的度數(shù)。解答：$\angleACB=180^\circ-30^\circ-40^\circ=110^\circ$，其外角$\angleACE=70^\circ$（$E$在$BC$延長線上）；$CD$平分$\angleACE$，故$\angleACD=35^\circ$；在$\triangleACD$中，$\angleD=180^\circ-\angleA-\angleACD=180^\circ-30^\circ-35^\circ=115^\circ$。思路分析：先求內(nèi)角，再求外角及角平分線分角，最后用三角形內(nèi)角和求$\angleD$。**題型3：三邊關(guān)系——取值范圍與周長計算**例題5：已知三角形兩邊長為3和7，求第三邊的取值范圍。解答：設(shè)第三邊長為$x$，則$7-3<x<7+3$，即$4<x<10$。思路分析：直接應(yīng)用“兩邊之差小于第三邊小于兩邊之和”，注意不包含等號（等于時退化為線段）。例題6：一個三角形周長為12，兩邊長為3和5，求第三邊長度。解答：設(shè)第三邊長為$x$，則$3+5+x=12$，解得$x=4$。驗證：$3+5>4$，$3+4>5$，$5+4>3$，滿足三邊關(guān)系，故第三邊長為4。思路分析：先通過周長求第三邊，再驗證合理性，避免錯誤。**題型4：正弦定理——邊角互求**例題7：在$\triangleABC$中，$a=5$，$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，求$b$的長度。解答：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，得：$$b=a\cdot\frac{\sinB}{\sinA}=5\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin30^\circ}=5\cdot\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=5\sqrt{3}$$思路分析：“已知兩角及一邊”，直接代入正弦定理求解。例題8：在$\triangleABC$中，$a=2\sqrt{3}$，$b=2$，$\angleA=60^\circ$，求$\angleB$的度數(shù)。解答：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}$，得：$$\sinB=b\cdot\frac{\sinA}{a}=2\cdot\frac{\sin60^\circ}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$$分析：$b<a$，故$\angleB<\angleA$（大邊對大角），因此$\angleB=30^\circ$（舍去$150^\circ$，因$150^\circ+60^\circ>180^\circ$）。思路分析：“已知兩邊及一邊對角”，需用“大邊對大角”排除增根。**題型5：余弦定理——邊邊求角與邊角求邊**例題9：在$\triangleABC$中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，求$\angleC$的度數(shù)（保留整數(shù)）。解答：由余弦定理$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，得：$$\cosC=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\times4\times5}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}=0.125$$故$\angleC\approx\arccos(0.125)\approx83^\circ$。思路分析：“已知三邊求角”，代入余弦定理計算余弦值，再用反余弦函數(shù)求角度。例題10：在$\triangleABC$中，$\angleA=120^\circ$，$AB=3$，$AC=4$，求$BC$的長度。解答：由余弦定理$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdotAB\cdotAC\cdot\cosA$，得：$$BC^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos120^\circ=9+16-24\times(-\frac{1}{2})=25+12=37$$故$BC=\sqrt{37}$。思路分析：“已知兩邊及夾角求第三邊”，直接應(yīng)用余弦定理，注意$\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$，符號不能錯。**題型6：綜合應(yīng)用——多定理結(jié)合**例題11：在$\triangleABC$中，$\angleB=45^\circ$，$AB=\sqrt{2}$，$BC=2$，求$AC$的長度及$\angleA$的度數(shù)。解答：求$AC$：由余弦定理$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdotAB\cdotBC\cdot\cosB$，得：$$AC^2=(\sqrt{2})^2+2^2-2\times\sqrt{2}\times2\times\cos45^\circ=2+4-4\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=6-4=2$$故$AC=\sqrt{2}$。求$\angleA$：由正弦定理$\frac{AC}{\sinB}=\frac{BC}{\sinA}$，得：$$\sinA=BC\cdot\frac{\sinB}{AC}=2\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sqrt{2}}=2\cdot\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}=1$$故$\angleA=90^\circ$（驗證內(nèi)角和：$90^\circ+45^\circ+45^\circ=180^\circ$，符合）。思路分析：先通過余弦定理求第三邊，再用正弦定理求角度，結(jié)合兩個定理的應(yīng)用。例題12：如圖，$\triangleABC$中，$AD$是$BC$邊上的高，$AB=5$，$AC=4$，$BC=6$，求$AD$的長度。解答：設(shè)$BD=x$，則$DC=6-x$。在$\text{Rt}\triangleABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=25-x^2$；在$\text{Rt}\triangleADC$中，$AD^2=AC^2-DC^2=16-(6-x)^2$。聯(lián)立方程：$25-x^2=16-(36-12x+x^2)$，展開得$25-x^2=-20+12x-x^2$，解得$x=\frac{15}{4}$。代入$AD^2=25-(\frac{15}{4})^2=25-\frac{225}{16}=\frac{175}{16}$，故$AD=\frac{5\sqrt{7}}{4}$。思路分析：通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程，找到公共邊$AD$的等量關(guān)系，屬于綜合應(yīng)用問題。三、易錯點提醒1.三邊關(guān)系的簡化：只需檢查“較短兩邊之和大于最長邊”，無需逐一驗證所有組合；2.正弦定理的增根：“已知兩邊及一邊對角”時，需用“大邊對大角”排除超過$180^\circ$的角；3.余弦定理的符號：鈍角的余弦值為負，公式中的“$-2ab\cos\theta$”會變?yōu)椤?+2ab|\cos\theta|$”；4.邊與角的對應(yīng)：正弦/余弦定理中，邊$a$對