第4課時(shí)黃金分割教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入如圖，學(xué)生以手中的標(biāo)準(zhǔn)五角星為操作材料，進(jìn)行小組合作探究活動(dòng)．(1)從圖中找出相等的角、相等的線段．(2)在圖中找出兩對(duì)相似比不同的相似三角形．小亮認(rèn)為，eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，eq\f(AF,AG)＝eq\f(FG,AF).你同意他的看法嗎？(3)黃金分割的意義：如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果__eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)__，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，其中點(diǎn)C叫做線段AB的__黃金分割點(diǎn)__，AC與AB的比叫做__黃金比__，近似數(shù)為__0.618__．(4)你能找出五角星圖中有哪幾個(gè)黃金分割點(diǎn)嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：利用五角星，動(dòng)手操作及量一量活動(dòng)，探究黃金分割的定義．建議：學(xué)生通過探究活動(dòng)，親歷知識(shí)的形成過程．●情景導(dǎo)入生活中有很多優(yōu)美的圖畫和建筑物，例如：古埃及胡夫金字塔，這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618.“蒙娜麗莎的微笑”的魅力所在是畫面中處處有黃金分割．為什么翩翩起舞的芭蕾舞演員要踮起腳？為什么身材苗條的時(shí)裝模特還要穿高跟鞋？為什么她們會(huì)給人感到和諧、平衡、舒適、美的感覺？它們都用到了黃金分割原理．【教學(xué)與建議】教學(xué)：用這些來源于生活的美麗圖片吸引學(xué)生的注意力，在好奇的環(huán)境中產(chǎn)生探索黃金分割特征的興趣．建議：可以讓學(xué)生尋找身邊的黃金分割圖形，以便理解黃金分割的特征．命題角度1理解黃金分割的定義要說明一個(gè)點(diǎn)是某線段的黃金分割點(diǎn)，可以證明這個(gè)點(diǎn)把原線段分成的兩部分滿足“較長比整體等于較短比較長”，也可證明這個(gè)點(diǎn)把原線段分成的長短兩部分滿足“較短比較長等于eq\f(\r(5)－1,2)”．【例1】(1)已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則下列等式成立的是(C)A．AB2＝AC·CBB．CB2＝AC·ABC．AC2＝CB·ABD．AC2＝2AB·BC(2)已知點(diǎn)C是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則AC∶AB為(D)A．eq\f(\r(5)－1,2)B．eq\f(3－\r(5),2)C．eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)或eq\f(3－\r(5),2)命題角度2利用黃金分割的性質(zhì)解決實(shí)際問題將現(xiàn)實(shí)中的問題轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)問題中，借助黃金分割的性質(zhì)來解決相關(guān)計(jì)算問題．【例2】(1)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知這本書的長為20cm，則它的寬約為(A)A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm(2)電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．如圖，若舞臺(tái)AB的長為20m，則主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少__7.6__m處，如果他向B點(diǎn)再走_(dá)_4.8__m，也處在比較得體的位置．(精確到0.1m)命題角度3利用黃金矩形求邊長在黃金矩形中剪下最大的正方形后，剩下的矩形仍是黃金矩形，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解．【例3】如圖，一般書本的紙張是原紙張多次對(duì)開得到的，矩形ABCD沿EF對(duì)開后，再把矩形EFCD沿MN對(duì)開，依此類推．若各種開本的矩形都相似，那么eq\f(AB,AD)等于(B)A．0.618B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．2高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．知道黃金分割的定義，會(huì)找一條線段的黃金分割點(diǎn)．2．會(huì)判斷某一點(diǎn)是不是一條線段的黃金分割點(diǎn)．3．能對(duì)黃金分割進(jìn)行簡單應(yīng)用．▲重點(diǎn)找一條線段的黃金分割點(diǎn)．▲難點(diǎn)黃金分割的應(yīng)用．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)展示課件：神奇的金字塔建筑美麗的大自然攝影迷人的芭蕾舞現(xiàn)實(shí)生活中存在許多優(yōu)美的圖畫和建筑，例如古埃及金字塔、大自然攝影、芭蕾舞，這些圖形的邊長之間的比都接近某一個(gè)數(shù)，你知道這個(gè)數(shù)是多少嗎？◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】如圖，動(dòng)手量一量，五角星圖案中，線段AC，BC的長度，再計(jì)算eq\f(AC,AB)與eq\f(BC,AC)的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？解：eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC).【探究2】一般地，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)__C__叫做線段__AB__的黃金分割點(diǎn)，__AC__與__AB__的比叫做黃金比．【探究3】一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)，黃金分割時(shí)，黃金比＝eq\f(較長線段,原線段)，所以一條線段有__兩__個(gè)黃金分割點(diǎn)．◆活動(dòng)3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P96例4)根據(jù)上圖，計(jì)算黃金比．【方法指導(dǎo)】黃金分割的定義．解：由eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，得AC2＝AB·BC.設(shè)AB＝1，AC＝x，則BC＝1－x.∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0.解這個(gè)方程，得x1＝eq\f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－1－\r(5),2)(不合題意，舍去).所以黃金比eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.例2如何找到一條線段的黃金分割點(diǎn)？已知線段AB，按照如下方法畫圖：(1)經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD＝eq\f(1,2)AB；(2)連接DA，在DA上截取DE＝DB；(3)在AB上截取AC＝AE，則點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．提出問題：為什么點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)？【方法指導(dǎo)】設(shè)AB＝2，分別求出AC和BC的長，并計(jì)算eq\f(AC,AB)和eq\f(BC,AC)的值．解：AB＝2，則BD＝DE＝eq\f(1,2)AB＝1.∴AD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴AC＝AE＝AD－DE＝eq\r(5)－1，∴BC＝AB－AC＝2－(eq\r(5)－1)＝3－eq\r(5)，∴AC2＝(eq\r(5)－1)2＝6－2eq\r(5)，AB·BC＝2×(3－eq\r(5))＝6－2eq\r(5).∴AC2＝AB·BC，即eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC).∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．例3在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比值越接近0.618越給人以美感．小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該穿多高的高跟鞋看起來會(huì)更美？【方法指導(dǎo)】想要看起來更美，則鞋底到肚臍的長度與身高之比應(yīng)為黃金比，此題應(yīng)根據(jù)已知條件求出肚臍到腳底的距離，再求高跟鞋的高度．解：設(shè)肚臍到腳底的距離為xm，根據(jù)題意，得eq\f(x,1.60)＝0.60，解得x＝0.96.設(shè)穿上ym高的高跟鞋看起來會(huì)更美，則eq\f(y＋0.96,1.60＋y)＝0.618.解得y≈0.075，而0.075m＝7.5cm.故她應(yīng)該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來會(huì)更美．◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么下列說法錯(cuò)誤的是(D)A．線段AB被點(diǎn)C黃金分割B．點(diǎn)C叫做AB的黃金分割點(diǎn)C．AC與AB的比叫做黃金比D．AC＝eq\f(\r(5)－1,2)BC2．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己一本書的寬與長的比為黃金比．已知這本書的長為10cm，則它的寬約為(A)A．6.18cmB．6.80cmC．16.18cmD．3.82cm3．如圖，扇子的圓心角為α，余下扇形的圓心角為β，α與β的比通常用黃金比來設(shè)計(jì)，這樣的扇子造型美觀，若取黃金比為0.6，則α＝__135°__．4．以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連接EB，延長DA到點(diǎn)F，使EF＝EB.以線段AF為邊作正方形AFGH，點(diǎn)H在AB上，如圖所示．(1)求線段AH，BH的長；(2)求證：AH2＝AB·BH；(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？解：(1)E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝1.在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22.∴BE＝eq\r(5)，∴EF＝BE＝eq\r(5).∴AF＝eq\r(5)－1.∵四邊形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝eq\r(5)－1，∴BH＝AB－AH＝2－(eq\r(5)－1)＝3－eq\r(5)；(2)AH2＝(eq\r(5)－1)2＝6－2eq\r(5)，AB·BH＝2×(3－eq\r(5))＝6－2eq\r(5)，∴AH2＝AB·BH；(3)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)．◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動(dòng)：