3.1.4[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解事件間的相互關(guān)系．2．理解互斥事件、對(duì)立事件的概念．3．會(huì)用概率的加法公式求某些事件的概率．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．集合間的基本關(guān)系描述關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一元素均為B中的元素A?B或B?A空集空集是任何集合的子集??B2.集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示意義{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}[知識(shí)鏈接]1．互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件(或稱互不相容事件)．2．事件的并一般地，由事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生(即A發(fā)生，或B發(fā)生，或A，B都發(fā)生)所構(gòu)成的事件C，稱為事件A與B的并(或和)．記作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所組成的集合．如圖中陰影部分所表示的就是A∪B.3．互斥事件的概率加法公式(1)假定A，B是互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．①(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥(彼此互斥)，那么事件“A1∪A2∪…∪An”發(fā)生(是指事件A1，A2，…，An中至少有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．②公式①或公式②叫做互斥事件的概率加法公式．4．對(duì)立事件不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互為對(duì)立事件．事件A的對(duì)立事件記作eq\x\to(A).由于A與eq\x\to(A)是互斥事件，所以P(Ω)＝P(A∪eq\x\to(A))＝P(A)＋P(eq\x\to(A))，又由Ω是必然事件，得到P(Ω)＝1.所以P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，即P(eq\x\to(A))＝1－P(A).要點(diǎn)一事件關(guān)系的判斷例1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．解(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10規(guī)律方法要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個(gè)事件包含的所有結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生．在互斥的前提下，看兩個(gè)事件的并事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對(duì)立事件．跟蹤演練1從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋任取2個(gè)球，觀察紅球個(gè)數(shù)和白球個(gè)數(shù)，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．(1)至少有1個(gè)白球，都是白球；(2)至少有1個(gè)白球，至少有一個(gè)紅球；(3)至少有一個(gè)白球，都是紅球．解(1)不是互斥事件，因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”即“1個(gè)白球1個(gè)紅球或兩個(gè)白球”和“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件．(2)不是互斥事件．因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”即“1個(gè)白球1個(gè)紅球或2個(gè)白球”，“至少有1個(gè)紅球”即“1個(gè)紅球1個(gè)白球或2個(gè)紅球”，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件．(3)是互斥事件也是對(duì)立事件．因?yàn)椤爸辽儆?個(gè)白球”和“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以是互斥事件也是對(duì)立事件．要點(diǎn)二事件的運(yùn)算例2在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系；(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果．解在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C，事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,4或6}．B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}，B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2,3,4或6}．C∩D＝?，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}．規(guī)律方法事件間運(yùn)算方法：(1)利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．跟蹤演練2盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有一個(gè)紅球，兩個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中兩個(gè)紅球，一個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系；(2)事件C與A的交事件是什么事件．解(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，或3個(gè)紅球，故C∩A＝A.要點(diǎn)三互斥、對(duì)立事件的概率例3某公務(wù)員去開會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去的概率；(2)求他不乘輪船去的概率；(3)如果他乘某種交通工具的概率為0.5，請(qǐng)問(wèn)他有可能乘哪種交通工具？解(1)記“他乘火車”為事件A，“他乘輪船”為事件B，“他乘汽車”為事件C，“他乘飛機(jī)”為事件D.這四個(gè)事件兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，故它們彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火車或乘飛機(jī)去的概率為0.7.(2)設(shè)他不乘輪船去的概率為P，則P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘輪船去的概率為0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火車或乘輪船去，也有可能乘汽車或乘飛機(jī)去．規(guī)律方法1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和．3．當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常常考慮其反面，通過(guò)求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題．跟蹤演練3(2013·大同高一檢測(cè))甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩?1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).即甲獲勝的概率是eq\f(1,6).(2)法一設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).法二設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).1．給出以下結(jié)論：①互斥事件一定對(duì)立．②對(duì)立事件一定互斥．③互斥事件不一定對(duì)立．④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析對(duì)立必互斥，互斥不一定對(duì)立，∴②③正確，①錯(cuò)；又當(dāng)A∪B＝A時(shí)，P(A∪B)＝P(A)，∴④錯(cuò)；只有A與B為對(duì)立事件時(shí)，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤錯(cuò)．2．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則(A．A?BB．A＝BC．A＋B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3答案C解析設(shè)A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.3．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.4．(2013·保定高一檢測(cè))從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么，互斥而不對(duì)立的事件是()A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球B．至少有一個(gè)紅球與都是白球C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球D．恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球答案D解析A項(xiàng)中，若取出的3個(gè)球是3個(gè)紅球，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件，所以A項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)中，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，則它們是互斥事件且是對(duì)立事件，所以B項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)中，若取出的3個(gè)球是1個(gè)紅球2個(gè)白球時(shí)，它們同時(shí)發(fā)生，則它們不是互斥事件，所以C項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)中，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個(gè)球都是紅球，則它們都沒(méi)有發(fā)生，故它們不是對(duì)立事件，所以D項(xiàng)符合題意．5．某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．答案兩次都不中靶1．互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們兩者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有