第2

章規(guī)則金屬波導2.1基本概念和公式

2.2-典型例題分析

2.3基本要求2.4部分習題及參考解答

2.1基本概念和公式

2.1.1導波原理

1.規(guī)則金屬波導內(nèi)的電磁波

1)規(guī)則金屬波導的定義

截面尺寸、形狀、材料及邊界條件不變的均勻填充介質(zhì)的金屬波導管稱為規(guī)則金屬波導。

2)波導內(nèi)電磁波的表達式

規(guī)則金屬波導如圖2-1所示,對它的分析,一般采用場分析方法,即麥克斯韋方程加邊界條件的方法。圖2-1金屬波導管結(jié)構(gòu)圖

金屬波導內(nèi)部的電磁波滿足矢量亥姆霍茲方程,即

其中,k2=ω2με。

將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量,即

其中,az為z方向的單位矢量;t表示橫向坐標,代表直角坐標中的(x,y)。

設z方向為其電磁波的傳播方向,對無限長的無耗波導,其縱向(傳播方向)電場和磁場分別為

其中,β為相移常數(shù)。

無源區(qū)電場和磁場應滿足的麥克斯韋方程為

將麥克斯韋方程在直角坐標系中展開,并將式(2-13)代入即可得電磁場的橫向場分量:

其中,k2c=k2-β2-為傳輸系統(tǒng)的本征值。

3)結(jié)論

①既滿足上述方程又滿足邊界條件的解有許多,每一個解對應一個波型,也稱之為模式,不同的模式具有不同的傳輸特性。

②k2c=k2-β2,是一個與導波系統(tǒng)橫截面形狀、尺寸及傳輸模式有關的參量。當相移常數(shù)β=0時意味著波導系統(tǒng)中電磁波不再傳播,即截止,稱kc為截止波數(shù)

2.電磁波的傳輸特性描述波導傳輸特性的主要參數(shù)有:相移常數(shù)、截止波數(shù)、相速、波導波長、群速、波阻抗及傳輸功率。

1)相移常數(shù)和截止波數(shù)

相移常數(shù)β和截止波數(shù)kc的關系式為

2)相速vp

電磁波的等相位面移動速度稱為相速,即

其中,c為真空中光速。

3)波導波長λg

導行波的波長稱為波導波長,它與波數(shù)的關系式為

4)波阻抗

某個波形的橫向電場和橫向磁場之比為波阻抗,即

不同的模式具有不同的波阻抗。

5)傳輸功率

波導中某個波形的傳輸功率為

式中,Z為該波形的波阻抗;Et和Ht分別為電磁場的橫向電場和磁場;S表示在橫截面上的積分。

3.導行波的分類

根據(jù)截止波數(shù)kc的不同,可將導行波分為以下三種情況。

1)kc2=0(即kc=0)

kc=0意味著該導行波既無縱向電場又無縱向磁場,只有橫向電場和磁場,故稱為橫電磁波,簡稱TEM波。這是一種不可能在金屬波導中存在的模式。

2)kc2>0這時只要Ez和Hz中有一個不為零即可滿足邊界條件,可分為兩種情形:

①TM波:Ez≠0而Hz=0的波稱為磁場純橫向波,簡稱TM波,又稱為E波。

②TE波:Ez=0而Hz≠0的波稱為電場純橫向波,簡稱TE波,又稱為H波。

3)kc2<0

在由光滑導體壁構(gòu)成的金屬波導中不可能存在kc2<0的情形,只有當某種阻抗壁(比如在介質(zhì)波導)中才有這種可能。

4)結(jié)論

①在規(guī)則金屬波導中,不存在TEM波,而只能存在TM波或TE波。

②無論是TM波還是TE波,其相速均比無界媒質(zhì)空間中的速度要快,故稱之為快波。

③在金屬波導中,波導波長均大于它的工作波長。

2.1.2-矩形波導

1.矩形波導中的場

1)矩形波導的定義由金屬材料制成的矩形截面、內(nèi)充空氣的規(guī)則金屬波導稱為矩形波導。它是微波技術中最常用的傳輸系統(tǒng)之一,如圖2-2-所示。圖2-2-矩形波導

2)矩形波導中的場

①矩形金屬波導中只能存在TE波和TM波,TE波是所有TEmn模式場的總和,而TM波是所有TMmn模式場的總和。

②TE10模是矩形波導TE波的最低次模,其余稱為高次模。

③TM11模是矩形波導TM波的最低次模,其它均為高次模。

2.矩形波導的傳輸特性

1)截止波數(shù)與截止波長矩形波導TEmn和TMmn模的截止波數(shù)均為

它們對應的截止波長均為

其中,a為矩形波導的寬邊長度;b為窄邊長度。BJ32矩形波導各模式的截止波長,如圖2-3所示。

此時,相移常數(shù)為

其中,λ=2π/k為工作波長。圖2-3BJ32波導各模式截止波長分布圖

2)結(jié)論

①當工作波長λ小于某個模的截止波長λc時,此?？稍诓▽е袀鬏?稱為傳導模。

②當工作波長λ大于某個模的截止波長λc

時,此模在波導中不能傳輸,稱為截止模。

③一個模式能否在波導中傳輸取決于波導結(jié)構(gòu)和工作頻率(或波長)。對相同的m和n,TEmn和TMmn模具有相同的截止波長,故又稱為簡并模,它們雖然場分布不同,但具有相同的傳輸特性。

3.主模TE10

1)主模的定義及特點在導行波中截止波長λc

最長的導行模稱為該導波系統(tǒng)的主模。矩形波導的主模為TE10模,因為該模式具有場結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定、頻帶寬和損耗小等特點,所以實用時幾乎毫無例外地工作在TE10模式。

2)TE10模場的表達式

3)TE10模的傳輸特性

(1)截止波長與相移常數(shù)TE10模的截止波數(shù)為

其截止波長為

相移常數(shù)為

(2)波導波長與波阻抗

TE10模的波導波長為

其波阻抗為

(3)相速與群速

TE10模的相速vp和群速vg

分別為

式中,c為自由空間光速。

(4)傳輸功率與功率容量

TE10模的傳輸功率為

其中,是Ey分量在波導寬邊中心處的振幅值。

空氣矩形波導傳輸TE10模時的功率容量為

其中,a、b為波導的尺寸,單位為cm。

負載不匹配時的功率容量P'br和匹配時的功率容量Pbr的關系為

其中,ρ為駐波系數(shù)。

2.1.3圓波導

1.圓波導中的場

1)圓波導的定義由金屬材料制成的圓形截面、內(nèi)充空氣的規(guī)則金屬波導稱為圓形波導,簡稱圓波導,如圖2-4所示。

2)圓波導中的場

①與矩形波導一樣,圓波導中也只能傳輸TE波和TM波。

②TE11模是圓波導中的主模,TM01模是圓波導第一個高次模,而TE01模的損耗最低,這三種模式是常用的模式。圖2-4圓波導及其坐標系

2.圓波導的傳播特性

與矩形波導不同,圓波導的TE波和TM波的傳輸特性各不相同。

1)截止波長

圓波導TEmn模、TMmn模的截止波長分別為

式中,υmn和μmn分別為m

階貝塞爾函數(shù)及其一階導數(shù)的第n個根。m表示場沿圓周分布的整波數(shù),n表示場沿半徑分布的最大值個數(shù)。在所有的模式中,TE11模的截止波長最長,其次為TM01模,三種典型模式的截止波長分別為

圓波導中各模式截止波長的分布如圖2-5所示。圖2-5圓波導中各模式截止波長的分布圖

2)簡并模式

在圓波導中的場可能有兩種簡并模式,它們是E－H簡并和極化簡并。

(1)E－H簡并

由于λcTE0n=λcTM1n,從而形成了TE0n模和TM1n模的簡并,稱為E－H簡并。

(2)極化簡并

任意極化方向的電磁波都可以看成是偶對稱極化波和奇對稱極化波的線性組合。偶對稱極化波和奇對稱極化波具有相同的場分布,稱為極化簡并。

正因為存在極化簡并,波在傳播過程中由于圓波導細微的不均勻而引起極化旋轉(zhuǎn),從而導致不能單模傳輸。同時,也正是因為有極化簡并現(xiàn)象,圓波導可以構(gòu)成極化分離器、極化衰減器等。

3)傳輸功率

TEmn模和TMmn模的傳輸功率分別為

3.三種常用模式

1)主模TE11模TE11模的截止波長最長,是圓波導中的主模。它的場結(jié)構(gòu)分布圖如圖2-6所示。由于圓波導中TE11模的場分布與矩形波導的TE10模的場分布很相似,因此工程上容易通過矩形波導的橫截面逐漸過渡變?yōu)閳A波導,如圖2-7所示,從而構(gòu)成方圓波導變換器。圖2-6圓波導TE11場結(jié)構(gòu)分布圖圖2-7方圓波導變換器

2)圓對稱TM01模

TM01模是圓波導的第一個高次模,其場分布如圖2-8所示。由于它具有圓對稱性,故不存在極化簡并模,因此常作為雷達天線與饋線的旋轉(zhuǎn)關節(jié)中的工作模式。另外,因其磁場只有Hφ

分量,故波導內(nèi)壁電流只有縱向分量,因此它可以有效地和軸向流動的電子流交換能量,所以可將其應用于微波電子管中的諧振腔及直線電子加速器中的工作模式。圖2-8圓波導TM01場結(jié)構(gòu)分布圖

3)低損耗的TE01模

TE01模是圓波導的高次模式,比它低的模式有TE11、TM01和TE21,它與TM11是簡并模。它也是圓對稱模故無極化簡并,其電場分布如圖2-9所示。其磁場只有徑向和軸向分量,故波導管壁無縱向電流,只有軸向電流。當傳輸功率一定時,隨著頻率升高,管壁的熱損耗將單調(diào)下降,故其損耗相對其它模式來說是低的。因此,可將工作在TE01模的圓波導用于毫米波的遠距離傳輸或制作高Q值的諧振腔。

2.1.4波導的激勵與耦合

1.激勵與耦合的定義

在波導中產(chǎn)生導行模稱為波導的激勵,從波導中提取微波信息稱為波導的耦合。波導的激勵與耦合本質(zhì)上是電磁波的輻射和接收,是微波源向波導內(nèi)有限空間的輻射或從波導的有限空間內(nèi)接收微波信息。由于輻射和接收是互易的,因此激勵與耦合有相同的場結(jié)構(gòu)。圖2-9圓波導TE01場結(jié)構(gòu)分布圖

2.激勵的方法

1)電激勵將同軸線內(nèi)的導體延伸一小段沿電場方向插入矩形波導內(nèi)構(gòu)成探針激勵,這種激勵稱為電激勵,如圖2-10所示。為了提高功率耦合效率,在探針位置兩邊的波導與同軸線的阻抗應匹配,為此往往在波導一端接上一個短路活塞,如圖2-10(b)所示。圖2-10探針激勵及其調(diào)配

2)磁激勵

將同軸線的內(nèi)導體延伸一小段后彎成環(huán)形,將其端部焊在外導體上,然后插入到波導中所需激勵模式的磁場最強處,并使小環(huán)法線平行于磁力線,這種激勵稱為磁激勵,如圖2-11所示。圖2-11磁激勵示意圖

3)孔縫激勵

在兩個波導的公共壁上開孔或縫,使一部分能量輻射到另一個波導上,由于波導開口處的輻射類似于電流元的輻射,故稱為電流激勵,如圖2-12所示。圖2-12-波導的小孔耦合

2.2-典型例題分析

【例1】空心矩形金屬波導的尺寸為a×b=22.86×10.16mm2,當信源的波長分別為10cm、8cm和3.2cm時,問:①哪些波長的波可以在該波導中傳輸?對于可傳輸?shù)牟ㄔ诓▽?nèi)可能存在哪些模式?②若信源的波長仍如上所述,而波導尺寸為a×b=72.14×30.4mm2,此時情況又如何?

解當信源波長λ小于某種模式的截止波長時,此種模式才能傳輸,而矩形波導的主模為TE10,若信源波長小于主模截止波長時,則此信號就能通過波導。

①矩形波導中幾種模式的截止波長為

由于λ=10cm和λ=8cm兩種信源的波長均大于主模TE10的截止波長,所以它們不能通過波導,只有波長為3.2cm的信源能通過波導。

又因為λcTE20<λ<λcTE10,所以,此時波導內(nèi)只存在TE10模。

②當波導的尺寸為a×b=72.14×30.4mm2-時,幾種模式的截止波長變?yōu)?/p>

可見,此時,三種波長的信源均可以通過波導。

【例2】矩形波導截面尺寸為a×b=72mm×30mm,波導內(nèi)充滿空氣,信號源頻率為3GHz,試求:

①波導中可以傳播的模式。

②該模式的截止波長λc、相移常數(shù)β、波導波長λg、相速vp、群速和波阻抗。

解①由信號源頻率可求得其波長為

矩形波導中,TE10、TE20的截止波長為

可見,波導中只能傳輸TE10模。

波導波長為

波阻抗為

【例3】一圓波導的半徑a=3.8cm,空氣介質(zhì)填充。試求:

①TE11、TE01、TM01三種模式的截止波長。

②當工作波長為λ=10cm時,求最低次模的波導波長λg。

③求傳輸模單模工作的頻率范圍。

解①三種模式的截止波長為

②當工作波長λ=10cm時,只出現(xiàn)主模TE11,其波導波長為

③只有信號的波長滿足條件λcTM01<λ<λcTE11,即

時,才能實現(xiàn)單模傳輸,因此單模傳輸?shù)念l率范圍為

2.3基本要求

★了解規(guī)則金屬波導的分析方法及其與雙線傳輸線的異同?！镎莆站匦谓饘俨▽У膫鞑ツＪ郊皞鬏斕匦?了解波導波長、截止波長和工作波長三者的關系。掌握單模傳輸?shù)臈l件,主要掌握TE10模的傳輸特性包括截止波數(shù)及截止波長、波導波長、波阻抗、相速和群速及傳輸功率等的分析與求解

★了解矩形波導的衰減和帶寬問題。

★了解圓波導中傳輸?shù)哪Ｊ?掌握圓波導中的三種常用模式的特點。

★掌握波導的激勵與耦合的方法。

2.4部分習題及參考解答

【2.1】試說明規(guī)則金屬波導內(nèi)不能傳輸TEM波的原因。

答這是因為:如果內(nèi)部存在TEM波,則要求磁場應完全在波導的橫截面內(nèi),而且是閉合曲線。由麥克斯韋第一方程知,閉合曲線上磁場的積分應等于與曲線相交鏈的電流。由于空心金屬波導中不存在軸向即傳播方向的傳導電流,故必要求有傳播方向的位移電流。由于位移電流的定義式為Jd=?D/?t,這就要求在傳播方向上要有電場存在。顯然,這個結(jié)論與TEM波(既不存在傳播方向的電場也不存在傳播方向的磁場)的定義相矛盾。所以,規(guī)則金屬波導內(nèi)不能傳輸TEM波。

【2.2】矩形波導的橫截面尺寸為a=22.86mm,b=10.16mm,將自由空間波長為20mm,30mm和50mm的信號接入此波導,問能否傳輸?若能,出現(xiàn)哪些模式?

解當λ<λc時信號能傳輸,矩形波導中各模式的截止波長為

因此,λ=50mm的信號不能傳輸;λ=30mm的信號能傳輸,工作在主模TE10;λ=20mm的信號能傳輸,矩形波導存在TE10、TE20、TE01三種模式。

【2.3】矩形波導截面尺寸為a×b=23mm×10mm,波導內(nèi)充滿空氣,信號源頻率為10GHz,試求:

①波導中可以傳播的模式。

②該模式的截止波長λc、相移常數(shù)β、波導波長λg及相速vp。

解信號波長為

因而波導中可以傳輸?shù)哪Ｊ綖門E10,

此時,有

【2.4】用BJ100矩形波導以主模傳輸10GHz的微波信號,則

①求λc、λg、β和波阻抗Zw。

②若波導寬邊尺寸增加一倍,上述各量如何變化?

③若波導窄邊尺寸增大一倍,上述各量如何變化?

④若尺寸不變,工作頻率變?yōu)?5GHz,上述各量如何變化?

②寬邊增大一倍,有

③窄邊增大一倍,由于b'=2b=20.32mm<a,因而傳輸?shù)闹髂Ｈ匀粸門E10、λc、β、g和Zw與①中相同。

【2.5】試證明工作波