遼寧省鞍山市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）．A． B． C． D．2．m，n為空間兩條不重合直線，為空間平面，下列命題正確的是（

）A．，，則B．m，n與所成角均為30°，則C．，，，則直線m，n到的距離相等D．，，則m，n可以是異面直線3．已知，則（

）A． B． C．3 D．4．下列三個關(guān)于函數(shù)的命題：①只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位即可得到的圖象；②函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增．其中，真命題的序號是（

）A．① B．② C．③ D．以上皆不對5．如圖1，圓錐的母線長為3，底面圓直徑，點(diǎn)為底面的中點(diǎn)，則在該圓錐的側(cè)面展開圖（圖2）中（

）A． B． C． D．6．定義運(yùn)算：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，則對于翻折后的幾何圖形，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．與平面所成角為60°C．為等邊三角形D．二面角的平面角的正切值是二、多選題9．已知，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則中至少有一個為0C．D．若，則10．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與11．如圖，在棱長為1的正方體中，Q是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)Q，使得B．存在點(diǎn)Q，使得C．對于任意點(diǎn)Q，Q到的距離的取值范圍為D．對于任意點(diǎn)Q，都是鈍角三角形三、填空題12．已知向量的夾角為，則.13．如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余部分繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為.

14．P是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則．四、解答題15．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求關(guān)于的方程的解集．16．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)的圖象．(1)求在區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值；(2)記，若，求的取值范圍．17．如圖，在棱長為1的正方體中，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn).（1）計算棱臺的體積；（2）求證：平面平面.18．已知，，，函數(shù)的最小正周期為．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角中，角、、所對的邊分別是、、，且滿足，，求周長的取值范圍．19．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．

(1)證明：平面ABC；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．

題號12345678910答案CDDCDCABBCDAB題號11答案ABC1．C由復(fù)數(shù)的除法法則計算后，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義確定．【詳解】∵，∴，虛部為．故選：C．2．D根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系、等角定理，結(jié)合圖形，通過舉反例進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，，，則有可能，A錯誤；對于B，m，n與所成角均為30°，則可能相交或平行或異面，B錯誤；

對于C，，，，直線m，n到的距離可以不相等，C選項(xiàng)錯誤；

對于D，，，則m，n可以是平行直線，相交直線，也可以是異面直線，D選項(xiàng)正確.故選：D.3．D根據(jù)給定條件，求出，再利用和角的正切求解即得.【詳解】由，得，解得，所以．故選：D4．C對于①，利用三角恒等變換得到，利用左加右減得到平移后的解析式，得到①錯誤；對于②，計算出，②錯誤；對于③，求出，由于在上單調(diào)遞增，得到③正確.【詳解】對于①，，的圖象向右平移個單位得到，①錯誤；對于②，，故圖象不關(guān)于對稱，②錯誤；對于③，時，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，③正確．故選：C5．D根據(jù)圓錐與展開圖的關(guān)系，求對應(yīng)的圓心角，再轉(zhuǎn)化向量，求向量的數(shù)量積.【詳解】如圖，連結(jié)，圓錐底面圓的周長為，母線為3，所以扇形展開圖的圓心角為，則，，，.故選：D6．C根據(jù)所給公式及兩角差的正弦公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因?yàn)椋?，將其圖象向左平移個單位長度得到，又的圖象關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，因此，所以，所以當(dāng)時，的最小值是.故選：C7．A運(yùn)用數(shù)量積定義和余弦定理，結(jié)合基本不等式計算.【詳解】，∴，∴，∴，所以，故選：A．8．B連接,交點(diǎn)為,證明平面，由線面垂直的性質(zhì)即可判斷A，證明平面，即得與平面所成角即，即可判斷B，通過邊長計算可判斷C，取的中點(diǎn)，連接，證明為二面角的平面角，計算即可判斷D.【詳解】如圖，在左圖中，連接,交點(diǎn)為,則易得.對于A，翻折后圖中，,因平面，故得平面，又平面,故得，即A正確；對于B，因二面角是直二面角，平面平面,,則平面,則與平面所成角即,因,則，故B錯誤；對于C，設(shè)正方形的邊長為2，則,則,即為等邊三角形，故C正確；對于D，如圖，取的中點(diǎn)，連接，由B項(xiàng)，已得平面，因平面，則，又，,則，因平面，故平面,因平面,則,即為二面角的平面角.設(shè)正方形的邊長為2，則,，故二面角的平面角的正切值是，即D正確.故選：B.9．BCD舉反例即可求解A，根據(jù)模長的性質(zhì)即可求解BC，根據(jù)模長公式，即可求解D.【詳解】對于A,若，滿足，但，故A錯誤，對于B，由，則或，故中至少有一個為0，B正確，對于C，，C正確，對于D，設(shè)，,故，故，，故D正確，故選：BCD10．AB根據(jù)同一函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域都相同，結(jié)合各選項(xiàng)中的函數(shù)解析式判斷是否為同一函數(shù)即可.【詳解】對于A，與的對應(yīng)法則、定義域都相同，因此與為同一函數(shù)，故A正確；對于B，與的對應(yīng)法則、定義域都相同，因此與為同一函數(shù)，故B正確；對于C，與的對應(yīng)法則不同，因此與不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于D，與的對應(yīng)法則不同，因此與不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：AB.11．ABC證明直線與是異面直線判斷A，當(dāng)與重合時，可判斷BD，設(shè)（），計算出的面積的最大值和最小值后從而可得Q到的距離的最小值和最大值，從而判斷C．【詳解】由平面，平面，，平面，∴直線與是異面直線，A正確；平面，平面，則，又，與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，又平面，所以，即當(dāng)與重合時，，B正確，此時是直角三角形，D錯；設(shè)（），，，，，，所以，，所以時，，或1時，，所以的最大值是，最小值是，記到的距離為，，因此的最大值是，的最小值是，C正確．故選：ABC．

12．利用向量的數(shù)量積的定義，求得，再根據(jù)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.13．在三角形中作于點(diǎn)，求得圓錐的底面半徑和高，計算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)果.【詳解】由題，為等腰直角三角形，作于點(diǎn)，如圖，則繞著直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個全等的圓錐和，

由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為，圓錐的高為2，則圓錐的體積為，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為，因此剩余部分所形成的幾何體的體積為.故答案為：.14．/在中，由余弦定理可得BC的值，在中，由正弦定理可得AB的值，在中，由余弦定理可得AP的值，再由余弦定理可得.【詳解】如圖，在中，，，所以；設(shè)，則，可得．因?yàn)?，所以，．在中，，，所以．由正弦定理得，即，可得．在中，由余弦定理得，可得，所以．故答案為：?5．(1)偶函數(shù)(2)（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合定義證明奇偶性可得；（2）先化簡方程，再結(jié)合周期性與特殊角的三角函數(shù)值求解.【詳解】（1）由題得，令，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)任意，則，則，故函數(shù)為偶函數(shù)．（2）由題得，則，則或，解得或，故該方程的解集為．16．(1)最大值1，最小值(2)（1）先根據(jù)函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的結(jié)論得出的解析式，然后再根據(jù)的性質(zhì)計算出值域；（2）先根據(jù)三角恒等變換的公式對進(jìn)行化簡，然后再根據(jù)的性質(zhì)解不等式.【詳解】（1）由題意得，由于，則，所以當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，又，，則．（2），因?yàn)?，所以，則，，即，所以的取值范圍為．17．（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題可知，，，.根據(jù)棱臺的體積公式，可得.（2）如圖所示:連接，則.又平面，平面所以平面連接，則.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面因?yàn)?，所以平面平?18．(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，，則，故．因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以，故．由，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知．又，則，所以，得．又為銳角三角形，所以，即，解得．由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，故，所以周長的取值范圍為．19．(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、．

因?yàn)?，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因?yàn)?，所以平面ABC.（2）法一：因?yàn)?，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，設(shè)