北師大版9年級數學上冊期末試題考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題24分）一、單選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、圖，在△ABC中，AB＝AC，四邊形ADEF為菱形，O為AE，DF的交點，S△ABC＝8，則S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．42、一個四邊形的各邊之比為1∶2∶3∶4，和它相似的另一個四邊形的最小邊長為，則它的最大邊長為（

）A． B． C． D．3、設方程的兩根分別是，則的值為（

）A．3 B． C． D．4、若直角三角形的兩邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是（

）A．6 B．12 C．12或 D．6或5、如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點A的坐標為A（3，0），∠COA=60°，D為邊AB的中點，反比例函數y=（x>0）的圖象經過C，D兩點，直線CD與y軸相交于點E，則點E的坐標為（

）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）6、一元二次方程配方后可化為（

）A． B．C． D．二、多選題（6小題，每小題2分，共計12分）1、關于x的一元二次方程(k－1)x2+4x+k－1=0有兩個相等的實數根，則k的值為（

）A．1 B．0 C．3 D．－32、如圖，∠1＝∠2，則下列各式能說明ABC∽ADE的是（

）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．3、若反比例函數y＝的圖象在每一個象限內y的值隨x的增大而增大，則關于x的函數y＝（1+m）x+m2+3的圖象經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、不能說明△ABC∽△A’B’C’的條件是（

）A．或 B．且C．且 D．且5、等腰三角形三邊長分別為a，b，3，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的兩根，則m的值為（）A．15 B．16 C．17 D．186、下列關于x的方程的說法正確的是（）A．一定有兩個實數根 B．可能只有一個實數根C．可能無實數根 D．當時，方程有兩個負實數根第Ⅱ卷（非選擇題76分）三、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、已知方程x2﹣3x＋1＝0的根是x1和x2，則x1＋x2﹣x1x2＝___．2、如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線BD的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則線段EF的長為__．3、關于的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是__________．4、對任意實數a，b，定義一種運算：，若，則x的值為_________．5、如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OA在x軸上，OC在y軸上，OA=1，OC=2，對角線AC的垂直平分線交AB于點E，交AC于點D．若y軸上有一點P（不與點C重合），能使△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為____．6、如圖，已知在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于點和點，分別交反比例函數，的圖象于點和點，過點作軸于點，連結.若的面積與的面積相等，則的值是_____.7、已知＝，則＝________．8、如圖，點E為矩形ABCD的邊BC長上的一點，作DF⊥AE于點F，且滿足DF＝AB．下面結論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正確的結論是_____．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BD，BC的中點，連接EG，F(xiàn)G，EF．試判定△EFG的形狀，并證明你的結論；（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝8，請直接寫出邊AB長的最小值．

2、如圖，∠1=∠2=∠3,試找出圖中兩對相似三角形，并說明為什么?3、如圖，已知正比例函數y＝2x和反比例函數的圖象交于點A（m，﹣2）．（1）求反比例函數的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值小于反比例函數值時自變量x的取值范圍；（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移個單位長度得到點B，在x軸上是否存在點P，使S△OCP＝S四邊形OABC？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．4、已知點P(2，2)在反比例函數y＝(k≠0)的圖象上．(1)當x＝－3時，求y的值；(2)當1＜x＜3時，求y的取值范圍．5、解方程：(1)x2－x－2＝0；(2)3x(x－2)＝2－x．6、某種病毒傳播非?？?，如果1人被感染，經過2輪感染后就會有81人被感染．(1)每輪感染中平均1人會感染幾人？(2)若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會不會超過700人？-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】根據菱形的性質，結合AB=AC，得出DF為△ABC的中位線，DF∥BC，，從而得出AE為△ABC的高，得出，再根據菱形的面積公式，即可得出菱形的面積．【詳解】解：∵四邊形ADEF為菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正確．故選：C．【考點】本題主要考查了菱形的性質，中位線的性質，等腰三角形的性質和判斷，平行線的性質，菱形的面積，三角形面積的計算，根據菱形的性質和等腰三角形的性質得出DF為△ABC的中位線，是解題的關鍵．2、C【解析】【分析】設它的最大邊長為，根據相似圖形的性質求解即可得到答案【詳解】解：設它的最大邊長為，∵兩個四邊形相似，∴，解得，即該四邊形的最大邊長為．故選C．【考點】本題考查了相似多邊形的性質，牢記“相似多邊形對應邊的比相等”是解題的關鍵．3、A【解析】【分析】本題可利用韋達定理，求出該一元二次方程的二次項系數以及一次項系數的值，代入公式求解即可．【詳解】由可知，其二次項系數，一次項系數，由韋達定理：，故選：A．【考點】本題考查一元二次方程根與系數的關系，求解時可利用常規(guī)思路求解一元二次方程，也可以通過韋達定理提升解題效率．4、D【解析】【分析】根據題意，先將方程的兩根求出，然后對兩根分別作為直角三角形的直角邊和斜邊進行分情況討論，最終求得該直角三角形的面積即可．【詳解】解方程得，當3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為；當4為斜邊，3為直角邊時根據勾股定理得另一直角邊為，面積為；則該直角三角形的面積是6或，故選：D．【考點】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關鍵．5、B【解析】【分析】作CE⊥x軸于點E，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，設C的坐標為（x，x），表示出D的坐標，將C、D兩點坐標代入反比例函數的解析式，解關于x的方程求出x即可得到點C、D的坐標，進而求得直線CD的解析式，最后計算該直線與y軸交點坐標即可得出結果．【詳解】解：作CE⊥x軸于點E，則∠CEO=90°，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，則BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D為AB的中點，∴AM=FM，∴DM=BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE=OE，∴設C的坐標為（x，x），∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+x，即D點的坐標為(3+x，)，把C、D的坐標代入y=得：k=x?x=(3+x)?，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，2），D（4，），設直線CD解析式為：y=ax+b，則，解得，∴直線CD解析式為：，∴當x=0時，，∴點E的坐標為(0，)．故選：B．【考點】本題主要考查了平行四邊形的性質、運用待定系數法求函數的解析式以及含度角的直角三角形的性質．根據反比例函數圖象經過C、D兩點，得出關于x的方程是解決問題的關鍵．6、B【解析】【分析】根據題意直接對一元二次方程配方，然后把常數項移到等號右邊即可．【詳解】解：根據題意，把一元二次方程配方得：，即，∴化成的形式為．故選：B．【考點】本題考查配方法解一元二次方程，注意掌握配方法的一般步驟：把常數項移到等號的右邊；把二次項的系數化為1；等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．二、多選題1、C【解析】【分析】由方程有兩個相等的實數根，根據根的判別式可得到關于k的方程，則可求得k的值．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+k﹣1＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝0，即42﹣4(k﹣1)2＝0，且k﹣1≠0，解得k＝3或k＝-1．故選C．【考點】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當?<0時，一元二次方程沒有實數根．2、ABC【解析】【分析】根據∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一組對應角相等或兩組對應邊成比例即可．【詳解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠B，∴ABC∽ADE，故A選項正確；B、∵∠DAE＝∠BAC，∠E＝∠C，∴ABC∽ADE，故B選項正確；C、∵∠DAE＝∠BAC，，∴ABC∽ADE，故C選項正確；D、對應邊成比例但無法證明其夾角相等，故其不能推出兩三角形相似．故選：ABC．【考點】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應角相等的三角形相似；②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似，熟練掌握相似三角形的判定是解決本題的關鍵．3、ABD【解析】【分析】先根據反比例函數y＝的圖象在每一個象限內，y隨x的增大而增大可得出關于m的不等式，求出m的取值范圍，然后推知函數y＝（1+m）x+m2+3的圖象所經過的象限．【詳解】反比例函數y＝的圖象在每一個象限內y的值隨x值的增大而增大，m+2<0，m<-2，1+m<-1，m2+3>7，函數y＝（1+m）x+m2+3的圖象經過第一、二、四象限，故選：ABD．【考點】本題考查了反比例函數的性質，一次函數的性質，反比例函數的圖象，熟悉函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．4、ABD【解析】【分析】根據相似三角形的判定方法求解即可．【詳解】解：A、或，不能判定，符合題意；B、且，不能判定，符合題意；C、且，能判定，不符合題意；D、且，不能判定，符合題意．故選：ABD．【考點】此題考查了相似三角形的判定方法，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法．相似三角形的判定方法：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似；兩角對應相等的兩個三角形相似．5、BC【解析】【分析】分3為底邊長或腰長兩種情況考慮：當3為底時，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三邊關系確定此種情況存在，再利用根與系數的關系即可求得的值；當3為腰時，則a、b中有一個為3，a+b=8即可求出b，再利用根與系數的關系即可求得的值．【詳解】解：當3為腰時，此時a＝3或b＝3，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此時方程為x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；當3為底時，此時a＝b，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此時方程為x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；綜上所述，m的值為16或17．故答案為：BC．【考點】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，等腰三角形的定義，分3為底邊長或腰長兩種情況討論是解題的關鍵．6、BD【解析】【分析】直接利用方程根與系數的關系以及根的判別式分析求出即可．【詳解】解：當a=0時，方程整理為解得，∴選項B正確；故選項A錯誤；當時，方程是一元二次方程，∴∴此時的方程表兩個不相等的實數根，故選項C錯誤；若時，，∴當時，方程有兩個負實數根∴選項D正確，故選：BD【考點】此題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，正確把握相關知識是解題關鍵．三、填空題1、2【解析】【分析】根據根與系數的關系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，將其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出結論．【詳解】解：∵方程x2﹣3x＋1＝0的兩個實數根為x1、x2，∴x1＋x2＝3、x1x2＝1，∴x1＋x2﹣x1x2＝3﹣1＝2，故答案為：2．【考點】本題考查了根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．2、【解析】【分析】根據矩形的性質和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據相似三角形的性質得到比例式，求出EF即可．【詳解】解：如下圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD10，∵EF是BD的垂直平分線，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴，∴，解得，OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分線，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF，故答案為：．【考點】本題考查的是矩形的性質、線段垂直平分線的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義．3、-3【解析】【分析】由題意可把x=2代入一元二次方程進行求解a的值，然后再進行求解方程的另一個根．【詳解】解：由題意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程為，解方程得：，∴方程的另一個根為-3；故答案為-3．【考點】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關鍵．4、2或-3##-3或2【解析】【分析】根據題意得到關于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案為：2或-3．【考點】本題主要考查了新定義下的實數運算，解一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．5、，或【解析】【分析】設AE=m，根據勾股定理求出m的值，得到點E（1，），設點P坐標為（0，y），根據勾股定理列出方程，即可得到答案．【詳解】∵對角線AC的垂直平分線交AB于點E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴設AE=m，則BE=2-m，CE=m，∴在Rt?BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，∴E（1，），設點P坐標為（0，y），∵△AEP是以為AE為腰的等腰三角形，當AP=AE，則(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，當EP=AE，則(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴點P的坐標為，，，故答案是：，，．【考點】本題主要考查等腰三角形的定義，勾股定理，矩形的性質，垂直平分線的性質，掌握勾股定理，列出方程，是解題的關鍵．6、2.【解析】【分析】過點作軸于.根據k的幾何意義，結合三角形面積之間的關系，求出交點D的坐標，代入即可求得k的值．【詳解】如圖，過點作軸于.把y=0代入得：x=2，故OA=2由反比例函數比例系數的幾何意義，可得，.∵，

∴，∴.易證，從而，即的橫坐標為，而在直線上，∴∴.故答案為2【考點】本題是一次函數與反比例函數的交點問題，主要考查了一次函數和反比例函數的圖象與性質，反比例函數“k“的幾何意義，一次函數圖象與反比例函數圖象的交點問題，關鍵是根據兩個三角形的面積相等列出k的方程．7、【解析】【分析】利用比例的性質進行變形，然后代入代數式中合并約分即可．【詳解】解：∵，∴，則．故答案為：．【考點】本題考查比例問題，關鍵掌握比例的性質，會利用性質把比例式進行恒等變形，會根據需要選擇靈活的比例式解決問題．8、①②④．【解析】【分析】證明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正確；在證明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正確；得出BE＝AF，④正確，③不正確；即可得出結論．【詳解】解：四邊形是矩形，，在和中，，①正確在和中，；②正確，④正確，③不正確故答案為：①②④．【考點】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．四、解答題1、∴拋物線的解析式為y＝x（2）①∵A（1，2），B（7，2），當拋物線經過點A時，a＝2，當拋物線經過點B時，2＝49a，∴a＝，∵若G與△ABC有交點，∴≤a≤2．②由題意當a＝時，y＝x2，當y＝8時，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴當反比例函數y＝經過點（14，8）時k的值最大，此時k＝112，∴k的最大值為112【考點】本題考查二次函數綜合題、待定系數法、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用特殊點解決問題，屬于中考壓軸題．2．（1）證明見解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；證明見解析；（3）AB最小值為【解析】【分析】延長BE，DG交于點H，先證△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．結合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．從而得證；（2）延長BA，CD交于點H，由四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，從而得∠HBC+∠HCB=90°，根據三個中點知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，據此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延長BA，CD交于點H，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)．連接HE，EF，HF，由EF≥HF?HE＝BC?AD＝4?2＝2然后結合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，延長BE，DG交于點H，∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都為正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如圖②，延長BA，CD交于點H，∵四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，∴∠HBC+∠HCB=90°∵點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，BD的中點，∴EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，∴∠BGF=∠C，∠EFD=∠HBD，EF=GF，∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．∴△EFG是等腰直角三角形；（3）延長BA，CD交于點H，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)．連接HE，EF，HF，則EF≥HF?HE＝BC?AD＝4?2＝2，由（2）可知AB＝EF≥2，∴AB最小值為【考點】本題是四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理及等腰直角三角形的性質等知識點．2、（2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝整理，得x2﹣5x+7＝0，因為b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程無解．所以△PBQ的面積不可能等于7cm2．【考點】本題主要考查一元二次方程的應用，關鍵在于理解清楚題意，找出等量關系列出方程求解，判斷某個三角形的面積是否等于一個值，只需根據題意列出方程，判斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．7．△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE；理由見解析.【解析】【分析】根據兩個三角形的兩組角對應相等，那么這兩個三角形互為相似三角形證明即可．【詳解】解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB∴△AFD∽△EFB，∴∠B＝∠D．∵∠1＝∠2，∴，∴∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．【考點】本題考查相似三角形的判定定理，熟記判定定理，本題用到了兩組角對應相等的兩個三角形互為相似三角形．3、（1）；（2）或；（3）在x軸上是否存在點P,見解析.【解析】【分析】（1）設反比例函數的解析式為y＝（k＞0），然后根據條件求出A點坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數的解析式；（2）直接由圖象得出正比例函數值小于反比例函數值時自變量x的取值范圍；（3）首先證明四邊形OABC是菱形，然后求出AC、OB的長度，計算出菱形OABC的面積，從而得到△OCP的面積，列方程求解即可.．【詳解】解：（1）設反比例函數的解析式為y＝（k＞0），∵A（m，?2）在y＝2x上，∴?2＝2m，∴m＝?1，∴A（?1，?2），又∵點A在y＝上，∴k＝2，∴