15.3.2.1等邊三角形的性質(zhì)與判定1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.2.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

3.熟練地運用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決問題.

學習目標思考：滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三條邊都相等的三角形是等邊三角形．ABC定義：新知探究探究1

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等嗎？為什么？

已知：如圖，AB=AC=BC.∵AB=AC∴∠B=∠C

同理∠A=∠C

∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°ABC新知探究性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°.ABC符號語言：∵AB=BC=AC，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

新知探究探究2

等邊三角形是軸對稱圖形嗎？若是，它有幾條對稱軸？性質(zhì)：等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.ABC新知探究探究3

等邊三角形每邊上的中線，高和所對角的平分線都三線合一嗎？為什么？性質(zhì)：等邊三角形的三條高線，三條中線，三條角平分線，分別互相重合.ABCDFE新知探究等邊三角形的性質(zhì)：1.等邊三角形的三邊相等.2.等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并每一個角都等于60°.3.等邊三角形的三條高線，三條中線，三條角平分線，分別互相重合.4.等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.ABC總結(jié)歸納判定方法1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.符號語言：∵∠A=∠B=∠C,

∴△ABC是等邊三角形.ABC新知探究知識點一：等邊三角形的性質(zhì)1.(1)等邊三角形是____對稱圖形，且有_______對稱軸；(2)等邊三角形的三條邊都_______，三個角都_______，且都為________；(3)等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．軸三條相等相等60°能力提升2.如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC＝35°，則∠ADB的度數(shù)為()A.25°B．60°C．85°D．95°D知識點二：等邊三角形的判定3.等邊三角形的判定方法：(1)三個角都_______的三角形是等邊三角形；(2)有一個角是60°的____________是等邊三角形；(3)三邊都_______的三角形是等邊三角形．相等等腰三角形相等4.下列條件不能得到等邊三角形的是()A．有兩個內(nèi)角是60°的三角形B．三個外角都相等的三角形C．有兩個角相等的等腰三角形D．有一個角是60°的等腰三角形C知識點三：等邊三角形的性質(zhì)和判定的綜合5.(1)等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì)；(2)等邊三角形三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等；(3)等邊三角形的中線、高和角平分線都相交于一點．6.(1)已知等腰三角形的一邊長為6，一個內(nèi)角為60°，則它的周長是()

A．12B．15C．18D．20(2)如圖，△ABC是等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且EF∥BC，若AB＝6，BE＝4，則EF的長為____．C2【典例導引】7.【例1】如圖，過等邊△ABC的頂點A作射線，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)是()A．100°

B．80°C．60°D．40°A【變式訓練】8.如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE＝21°，則∠ACD的度數(shù)是()

A．45°B．39°

C．29°D．21°B9.【例2】如圖，下列哪個條件能推出△ABC是等邊三角形()A.∠B＝∠CB．AD⊥BC，BD＝CDC．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30°D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACDC10.如圖，已知OA＝5，P是射線ON上的一個動點，∠AON＝60°.當OP＝____時，△AOP為等邊三角形．511.【例3】如圖，AC與BD相交于點O，若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求證：△OCD是等邊三角形．證明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝60°，又∵AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D＝60°，∴△OCD是等邊三角形12.如圖，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于點E，∠BCE＝60°.求證：△BCE是等邊三角形．證明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB，∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CB＝CE.又∵∠BCE＝60°，∴△BCE是等邊三角形13.【例4】(2025·廣州增城區(qū)期末)如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分別為D，E，連接DE.(1)若BE＝6，求AB的長；(2)求證：△CDE是等邊三角形．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∵AE⊥BC，∴AB＝2BE＝2×6＝12(2)∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠C＝60°，∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴CE＝BC，CD＝AC，∴CE＝CD，即∠CED＝∠CDE＝∠C，∴△CDE是等邊三角形14.如圖，點P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N.(1)求證：△PMN是等邊三角形；(2)若AB＝12cm，BP＝4cm，求BM的長．解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MN