《一元二次方程單元小結(jié)（第一課時(shí)）》知識(shí)梳理基本概念一元二次方程一般形式一元二次方程的解是整式方程只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2ax2+bx+c=0(a≠0)使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值知識(shí)梳理解法直接開平方法配方法因式分解法利用平方根的意義直接降次對(duì)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左邊因式分解，使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式左邊配成完全平方式的形式，右邊為常數(shù)公式法

知識(shí)梳理

知識(shí)梳理根與系數(shù)的關(guān)系

知識(shí)梳理一元二次方程的基本概念1.定義：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)知識(shí)梳理3.項(xiàng)數(shù)和系數(shù)：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)二次項(xiàng)：ax2

二次項(xiàng)系數(shù)：a一次項(xiàng)：bx一次項(xiàng)系數(shù)：b常數(shù)項(xiàng)：c4.注意事項(xiàng)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；

(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；(3)二次項(xiàng)系數(shù)不為0；(4)整式方程．

知識(shí)梳理解一元二次方程的方法一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解法x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0，

b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各種一元二次方程的解法及適用類型知識(shí)梳理一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)語言文字語言一元二次方程的兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.使用條件1.方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0；2.方程有實(shí)數(shù)根，即Δ≥0.重要結(jié)論重點(diǎn)解析1若關(guān)于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是()A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0解：本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項(xiàng)(二次項(xiàng)系數(shù)不為0)，因此它的系數(shù)m-1≠0，即m≠1，故選A.A重點(diǎn)解析2解：根據(jù)一元二次方程根的定義可知，將x=0代入原方程一定會(huì)使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程，即m2-1=0，解得m=±1.又二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，所以m≠1，即m=-1.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一個(gè)根為0，則m=

.-1這種解題方法我們稱之為“有根必代”.重點(diǎn)解析3解：配方法的關(guān)鍵是配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.用配方法解方程x2-2x-5=0時(shí)，原方程應(yīng)變?yōu)?)A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9

C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9A重點(diǎn)解析4解：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三邊長為9或4．邊長為9，3，6不能構(gòu)成三角形；而4，3，6能構(gòu)成三角形，所以三角形的周長為3+4+6=13，故選A．三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長為()A.13 B.15 C.18 D.13或18A重點(diǎn)解析5已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是()A. B.m<2 C.m≥0 D.m<0A

重點(diǎn)解析6已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根分別為m，n，則m2－mn＋n2＝

．25解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知

m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.深化練習(xí)1(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次項(xiàng)系數(shù)是

，一次項(xiàng)系數(shù)是

，常數(shù)項(xiàng)是

.4-20(2)一元二次方程x2+px-2=0的一個(gè)根為2，則p的值為

.-1解：把x=2代入方程x2+px-2=0得4+2p-2=0，解得p=-1．深化練習(xí)2菱形ABCD的一條對(duì)角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長為()A.16 B.12

C.16或12 D.24A解：方程x2-7x+12=0可轉(zhuǎn)化為(x-3)(x-4)=0，x-3=0或x-4=0，所以x1=3，x2=4，因?yàn)榱庑蜛BCD的一條對(duì)角線長為6，所以邊AB的長是4，所以菱形ABCD的周長為16．故選A．用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0(要求寫出必要解題步驟).深化練習(xí)3

深化練習(xí)3用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0(要求寫出必要解題步驟).

深化練習(xí)4下列所給方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是()A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0D

深化練習(xí)5若關(guān)于

x的一元二次方程

x2-x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

m的值可能是

(寫出一個(gè)即可)．0

深化練習(xí)6

A

一元二次方程及方程的根1.已知(

m

－2)

x︱

m︱－3

x

＋25＝0是關(guān)于

x

的一元二次方程，則

m

的值

為(

B

)A.±2B.－2C.2D.1B12345678910111213141516172.將下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)

系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)是1的方程是(

A

)A.2

x2＋1＝－3

x

B.2

x2－1＝－3

x

C.2

x2－3

x

＝1D.2

x2＋3

x

＝1A12345678910111213141516173.若

x

＝1是一元二次方程

x2－2

x

＋

m

＝0的一個(gè)根，則

m

的值是

(

B

)A.0B.1C.－1D.－24.用公式法解一元二次方程3

x2－4

x

＝8時(shí)，化方程為一般形式，其中

的

a

，

b

，

c

依次為(

D

)A.3，－4，8B.3，4，8C.3，4，－8D.3，－4，－8BD1234567891011121314151617

解一元二次方程5.若(

m2＋

n2－3)2＝16，則

m2＋

n2的值為(

C

)A.6B.－1或7C.7D.0【解析】(

m2＋

n2－3)2＝16，整理，得

m2＋

n2＋3＝±4，即

m2＋

n2＝7

或

m2＋

n2＝－1.∵

m2＋

n2＞0，∴

m2＋

n2＝7.C12345678910111213141516176.小明在解方程

x2－4

x

＝2時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下：∵

a

＝1，

b

＝－4，

c

＝－2，(第一步)∴

b2－4

ac

＝(－4)2－4×1×(－2)＝24＞0.(第二步)

小明解答過程開始出錯(cuò)的步驟是(

C

)CA.第一步B.第二步C.第三步D.第四步12345678910111213141516177.已知關(guān)于

x

的方程2(

x

＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1＝－2，

x2＝1，則關(guān)于

x

的方程2(

x

－4＋

a

)2＋

b

＝0的解為

?.【解析】∵關(guān)于

x

的方程2(

x

＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1＝－2，

x2＝1，∴關(guān)于

x

的方程2(

x

－4＋

a

)2＋

b

＝0的解是

x1－4＝－2，

x2－4＝1.∴

x1＝2，

x2＝5.x1＝2，

x2＝5

1234567891011121314151617

一元二次方程根的判別式8.一元二次方程

x2－3

x

＋1＝0根的情況為(

B

)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根B1234567891011121314151617

BA.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根1234567891011121314151617【解析】由題意，得該方程為

x2－4

x

＝－4，整理，得

x2－4

x

＋4＝0，

Δ＝

b2－4

ac

＝(－4)2－4×1×4＝0，∴該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.123456789101112131415161710.已知關(guān)于

x

的一元二次方程(

k

－1)

x2－4

x

－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根，則

k

的取值范圍是(

C

)A.

k

≥－4B.

k

＞－3C.

k

＞－3且

k

≠1D.

k

≥－3且

k

≠1C1234567891011121314151617

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

123456789101112131415161712.若

a

，

b

是一元二次方程2

x2＋3

x

－4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2

a2＋5

a

＋2

b

的值是

?.

1

1234567891011121314151617

一元二次方程的應(yīng)用13.如圖，有一面積為600m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻(墻長35m)，另三邊用竹籬笆圍成，其中一邊開有1m的門，竹籬笆的總長為69m.設(shè)雞場垂直于墻的一邊為

xm，則下列方程正確的是(

A

)A.

x

(69＋1－2

x

)＝600B.

x

(69－1－2

x

)＝600C.

x

(69－2

x

)＝600D.

x

(35＋1－2

x

)＝600A1234567891011121314151617【解析】∵竹籬笆的總長為69m，雞場垂直于墻的一邊為

xm，∴雞場平行于墻的一邊為(69＋1－2

x

)m.根據(jù)題意得

x

(69＋1－2

x

)＝600.123456789101112131415161714.某種品牌的手機(jī)經(jīng)過四，五月份連續(xù)兩次降價(jià)，每部售價(jià)由3200元

降到了2500元，設(shè)平均每月降低的百分率為

x

，根據(jù)題意列出的方程

是

?.3200(1－

x

)2＝2500

1234567891011121314151617解：設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給

x

個(gè)人，根據(jù)題意可得1＋

x

＋

x

·

x

＝157，解得

x1＝12，

x2＝－13(不符合題意，舍去)答：平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給12個(gè)人.15.隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達(dá)，信息傳播越來越快捷，如果有一個(gè)人收

到一條信息后，轉(zhuǎn)發(fā)了此信息，收到轉(zhuǎn)發(fā)的信息的人會(huì)將其再轉(zhuǎn)發(fā)給其

他沒有此信息的人，經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有157人收到此信息，請問平

均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給幾個(gè)人？123456789101112131415161716.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝12cm，

BC

＝6cm，點(diǎn)

P

沿著邊

AB

從點(diǎn)

A

開始以2cm/s的速度向點(diǎn)

B

移動(dòng)，點(diǎn)

Q

沿著邊

DA

從點(diǎn)

D

開始以1

cm/s的速度向點(diǎn)

A

移動(dòng)，如果

P

，

Q

同時(shí)出發(fā)，用

t

表示移動(dòng)的時(shí)間(0≤

t

≤6)，那么：(1)求四邊形

QAPC

的面積；1234567891011121314151617

1234567891011121314151617(2)當(dāng)

t

為何值時(shí)，△

PCQ

的面積是31c