第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第一章集合與邏輯、不等式課程標(biāo)準(zhǔn)1.探索并了解基本不等式的證明過程.

2.掌握基本不等式，并能用基本不等式解決簡單的最值問題.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)

2aba=b2

微提醒應(yīng)用基本不等式求最值要注意：

“一正，二定，三相等”，忽視任何一個條件，就可能會出錯.

x=y小x=y大

自主檢測√√√

√3.(用結(jié)論)已知0<x<3，則x(3－x)的最大值為_____.

4.若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.

25

返回考點探究提升能力考點一利用基本不等式求最值

多維探究

5典例1(2)已知0<x<1，則x(3－2x)的最大值為_______.

√典例2

√

典例3

(2)已知正數(shù)x，y滿足x2+2xy－3=0，則2x+y的最小值是______.

3

典例4

規(guī)律方法3.當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，然后利用基本不等式求最值.注意：角度4中的換元法實質(zhì)還是配湊法或者常數(shù)代換法的拓展，在已知條件或者所求表達(dá)式的分母上出現(xiàn)一次二項式時，可嘗試使用.規(guī)律方法

√√

11

考點二利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍

師生共研

√

典例5

√

分離參數(shù)是處理此類問題的首選方法，一般轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值或轉(zhuǎn)化為求某個函數(shù)的最值問題.規(guī)律方法對點練2.(2025·廣東佛山模擬)若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y－xy=0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是__________.

[－2，8]

考點三利用基本不等式解決實際問題

師生共研典例6

第19屆亞運會于2023年9月在中國杭州舉辦，某公益團(tuán)隊聯(lián)系亞運會組委會舉辦一場紀(jì)念品展銷會，并將所獲利潤全部用于社區(qū)體育設(shè)施建設(shè).據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套紀(jì)念品(一個會徽和一個吉祥物)售價定為x元時，銷售量可達(dá)到(15－0.1x)萬套.為配合這個活動，生產(chǎn)紀(jì)念品的廠家將每套紀(jì)念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為50元，浮動價格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10.約定不計其他成本，即銷售每套紀(jì)念品的利潤=售價－供貨價格.則每套紀(jì)念品的最大利潤為________元.

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利用基本不等式解決實際問題的策略

利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.規(guī)律方法對點練3.某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計三個等高的宣傳欄(欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角梯形的高為________cm時，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小).

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)1.(多選)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y滿足x2+y2－xy=1，則

A．x+y≤1 B．x+y≥－2C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1√√

(湘教版必修一P62T9)若x>0，y>0，且xy=x+y+3，求x+y的取值范圍.點評：該高考題與教材習(xí)題都是條件求最值問題，都涉及到x+y與xy的轉(zhuǎn)化及不等關(guān)系.從命題情境角度上，高考真題與教材題目“形似”，都考查了二元二次方程相關(guān)的知識.從解題方法上看“法同”，通過構(gòu)造變形采用基本不等式法和換元法求解.體現(xiàn)了高考試題對于同一考點可以變換角度與變換題型進(jìn)行考查.教材呈現(xiàn)

√真題再現(xiàn)

返回教材呈現(xiàn)

課時測評

√

√

√

4.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是A．80元 B．120元

C．160元 D．240元√

√√

√√√

0

8.已知x>0，y>0，xy=x+4y+