培優(yōu)課16概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列、

函數(shù)的綜合問題高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第十章計(jì)數(shù)原理與概率05課時(shí)測評02題型二概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合問題題型一概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題01內(nèi)容索引題型一概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題

典例1

概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟為：1.精準(zhǔn)定性：即明確所求概率的“事件屬性”，這是確定概率概型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準(zhǔn)則.2.準(zhǔn)確建模：即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問題.3.解決模型：也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)，準(zhǔn)確應(yīng)用相關(guān)公式.規(guī)律方法

返回題型二概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合問題(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0，1，2，3).(1)

已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；解：由題意，P(X=0)=0.4，P(X=1)=0.3，P(X=2)=0.2，P(X=3)=0.1.所以X的分布列為所以E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.典例2X0123P0.40.30.20.1(2)

設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；證明：記f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，由題知，p為f(x)=0的實(shí)根，由p0=1-p1-p2-p3，得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].記g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1，則g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1，g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.

(3)

根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.解：E(X)≤1，表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)不超過自身個(gè)數(shù)，種群數(shù)量無法維持穩(wěn)定或正向增長，多代繁殖后將面臨滅絕，所以p=1.E(X)>1，表示1個(gè)微生物個(gè)體可以繁殖下一代的個(gè)數(shù)超過自身個(gè)數(shù)，種群數(shù)量可以正向增長，所以面臨滅絕的可能性小于1.

典例3

X345P

概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設(shè)置變量，利用隨機(jī)變量的概率、均值與方差的計(jì)算公式構(gòu)造函數(shù).求解時(shí)可借助二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1.準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時(shí)，由于隨機(jī)變量的均值、方差，隨機(jī)事件概率的計(jì)算中涉及變量較多，式子較為復(fù)雜，所以準(zhǔn)確運(yùn)算化簡是關(guān)鍵.2.注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，二是實(shí)際問題中變量自身范圍的限制.

規(guī)律方法

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X0123P

X-101P

X1012P

5.(26分)為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學(xué)對高三年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測(檢測分為初試和復(fù)試)，共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值及樣本平均數(shù)的估計(jì)值；(7分)解：因?yàn)?0×(0.012+0.026+0.032+a+0.01)=1，所以a