數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)題目講解引言數(shù)學(xué)教學(xué)中，重點(diǎn)題目是連接知識(shí)點(diǎn)與高考能力要求的橋梁，其考查的核心素養(yǎng)（如邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算）和解題方法（如分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合）具有普適性。本文選取函數(shù)零點(diǎn)問題、立體幾何翻折問題、數(shù)列錯(cuò)位相減法求和三大高頻考點(diǎn)，結(jié)合典型例題拆解解題邏輯，分析易錯(cuò)點(diǎn)，并提供拓展練習(xí)，助力教師教學(xué)與學(xué)生備考。一、函數(shù)零點(diǎn)問題：定理應(yīng)用與參數(shù)討論（一）考點(diǎn)分析函數(shù)零點(diǎn)問題是高考函數(shù)板塊的“壓軸級(jí)”考點(diǎn)，主要考查零點(diǎn)存在定理（連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)）與函數(shù)單調(diào)性、極值的綜合應(yīng)用。解題的核心邏輯是：通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性→找到極值點(diǎn)→分析極值與端點(diǎn)值的符號(hào)→確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)。當(dāng)函數(shù)含參數(shù)時(shí)，需分類討論參數(shù)對(duì)單調(diào)性、極值的影響，避免漏解。（二）典型例題例1：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3ax+2\)（\(a\in\mathbb{R}\)），討論\(f(x)\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解題思路：1.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)\)。當(dāng)\(a\leq0\)時(shí)，\(f'(x)\geq0\)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。計(jì)算端點(diǎn)極限：\(x\to-\infty\)時(shí)，\(f(x)\to-\infty\)；\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)\to+\infty\)。由零點(diǎn)存在定理，有1個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)\(a>0\)時(shí)，\(f'(x)=0\)得\(x=\pm\sqrt{a}\)，\(f(x)\)的單調(diào)性如下：\((-\infty,-\sqrt{a})\)：單調(diào)遞增；\((-\sqrt{a},\sqrt{a})\)：單調(diào)遞減；\((\sqrt{a},+\infty)\)：單調(diào)遞增。2.計(jì)算極值并判斷符號(hào)：極大值：\(f(-\sqrt{a})=(-\sqrt{a})^3-3a(-\sqrt{a})+2=2a\sqrt{a}+2\)（因\(a>0\)，故恒大于0）；極小值：\(f(\sqrt{a})=(\sqrt{a})^3-3a(\sqrt{a})+2=-2a\sqrt{a}+2\)。3.分類討論極小值符號(hào)：當(dāng)\(f(\sqrt{a})>0\)，即\(-2a\sqrt{a}+2>0\Rightarrowa<1\)時(shí)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上有1個(gè)零點(diǎn)（極大值、極小值均大于0，端點(diǎn)趨向±∞）；當(dāng)\(f(\sqrt{a})=0\)，即\(a=1\)時(shí)，\(f(x)\)在\(x=\sqrt{a}=1\)處取到極小值0，有2個(gè)零點(diǎn)（極小值點(diǎn)為零點(diǎn)，極大值>0，端點(diǎn)趨向±∞）；當(dāng)\(f(\sqrt{a})<0\)，即\(a>1\)時(shí)，\(f(x)\)在\((-\infty,-\sqrt{a})\)、\((-\sqrt{a},\sqrt{a})\)、\((\sqrt{a},+\infty)\)各有1個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)零點(diǎn)。結(jié)論：\(a\leq1\)時(shí)，\(f(x)\)有1個(gè)零點(diǎn)；\(a=1\)時(shí)，\(f(x)\)有2個(gè)零點(diǎn)；\(a>1\)時(shí)，\(f(x)\)有3個(gè)零點(diǎn)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.漏解：忽略\(a\leq0\)的情況，直接討論\(a>0\)，導(dǎo)致結(jié)果不完整；2.極值計(jì)算錯(cuò)誤：計(jì)算\(f(-\sqrt{a})\)時(shí)，容易漏掉負(fù)號(hào)（如誤算為\(-a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+2\)）；3.零點(diǎn)個(gè)數(shù)誤判：當(dāng)\(a=1\)時(shí)，極小值點(diǎn)為零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)而非3個(gè)（需注意“極值點(diǎn)為零點(diǎn)”時(shí)，函數(shù)圖像與x軸相切）。（四）拓展練習(xí)練習(xí)1：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\in\mathbb{R}\)），討論\(f(x)\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。（答案提示：\(a\leq1\)時(shí)1個(gè)零點(diǎn)，\(a>1\)時(shí)2個(gè)零點(diǎn)）二、立體幾何翻折問題：不變量與空間關(guān)系轉(zhuǎn)化（一）考點(diǎn)分析翻折問題是立體幾何中的“能力型”考點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)空間圖形的想象能力和邏輯推理能力。解題的關(guān)鍵是區(qū)分翻折前后的“不變量”與“變量”：不變量：翻折前的線段長度（如邊長）、角度（如直角）、平行關(guān)系等；變量：翻折后的垂直關(guān)系、二面角大小、點(diǎn)的位置等。通常采用空間直角坐標(biāo)系法（將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算）或幾何法（找垂線、求夾角）解決，其中坐標(biāo)系法更易操作。（二）典型例題例2：矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(E\)為\(CD\)的中點(diǎn)，將\(\triangleADE\)沿\(AE\)翻折至\(\triangleAD'E\)的位置，使得平面\(AD'E\perp\)平面\(ABCE\)，求直線\(BD'\)與平面\(ABCE\)所成角的正弦值。解題思路：1.建立空間直角坐標(biāo)系：以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB\)為\(x\)軸，\(AD\)為\(y\)軸，過\(A\)且垂直于平面\(ABCE\)的直線為\(z\)軸（平面\(AD'E\perp\)平面\(ABCE\)，交線為\(AE\)，故\(D'\)在平面\(ABCE\)內(nèi)的投影為\(AE\)的中點(diǎn)）。坐標(biāo)設(shè)定：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)；\(E\)為\(CD\)中點(diǎn)，故\(E(1,1,0)\)；\(\triangleADE\)為等腰直角三角形（\(AD=DE=1\)），翻折后\(AD'=1\)，\(D'E=1\)，\(AE=\sqrt{2}\)；\(D'\)在平面\(AD'E\)內(nèi)，且平面\(AD'E\perp\)平面\(ABCE\)，故\(D'\)到\(AE\)的垂線垂足為\(AE\)中點(diǎn)\(F(0.5,0.5,0)\)，\(D'F=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，因此\(D'(0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。2.計(jì)算直線與平面所成角：平面\(ABCE\)的法向量為\(\mathbf{n}=(0,0,1)\)（\(z\)軸方向）；直線\(BD'\)的方向向量為\(\overrightarrow{BD'}=D'-B=(-1.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})\)；直線與平面所成角\(\theta\)滿足\(\sin\theta=\left|\frac{\overrightarrow{BD'}\cdot\mathbf{n}}{|\overrightarrow{BD'}|\cdot|\mathbf{n}|}\right|\)。計(jì)算得：\(\overrightarrow{BD'}\cdot\mathbf{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(|\overrightarrow{BD'}|=\sqrt{(-1.5)^2+0.5^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{3}\)，\(|\mathbf{n}|=1\)，故\(\sin\theta=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤：翻折后點(diǎn)的坐標(biāo)需基于“不變量”（如\(AD'=AD=1\)）和“垂直關(guān)系”（如\(D'F\perp\)平面\(ABCE\)），容易誤將\(D'\)的坐標(biāo)設(shè)為\((0,1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)（忽略翻折后\(D'\)不在\(y\)軸上）；2.夾角類型混淆：直線與平面所成角是方向向量與法向量夾角的余角，需用\(\sin\theta\)而非\(\cos\theta\)；3.不變量忽略：翻折前\(AD\perpDE\)，翻折后\(AD'\perpD'E\)，此條件是確定\(D'\)位置的關(guān)鍵，容易遺漏。（四）拓展練習(xí)練習(xí)2：將邊長為2的正方形\(ABCD\)沿對(duì)角線\(AC\)翻折，使得平面\(ABC\perp\)平面\(ADC\)，求異面直線\(AB\)與\(CD\)所成角的余弦值。（答案提示：\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)）三、數(shù)列求和：錯(cuò)位相減法的規(guī)范步驟與易錯(cuò)點(diǎn)規(guī)避（一）考點(diǎn)分析錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的“經(jīng)典方法”，適用于等差數(shù)列×等比數(shù)列型數(shù)列（即\(a_n=b_n\cdotc_n\)，其中\(zhòng)(b_n\)為等差數(shù)列，\(c_n\)為等比數(shù)列，公比\(q\neq1\)）。解題的核心步驟是：寫\(S_n\)→乘公比→錯(cuò)位減→化簡，需嚴(yán)格遵循步驟，避免符號(hào)和計(jì)算錯(cuò)誤。（二）典型例題例3：求數(shù)列\(zhòng)(a_n=(2n-1)\cdot2^n\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。解題思路：1.寫出\(S_n\)的表達(dá)式：\(S_n=1\times2^1+3\times2^2+5\times2^3+\cdots+(2n-1)\times2^n\)①2.乘公比2（等比數(shù)列的公比）：\(2S_n=1\times2^2+3\times2^3+5\times2^4+\cdots+(2n-1)\times2^{n+1}\)②3.錯(cuò)位相減（①-②）：左邊：\(S_n-2S_n=-S_n\)；右邊：\(2^1+(3\times2^2-1\times2^2)+(5\times2^3-3\times2^3)+\cdots+[(2n-1)\times2^n-(2n-3)\times2^n]-(2n-1)\times2^{n+1}\)。展開右邊：第一項(xiàng)：\(2^1=2\)；中間項(xiàng)：每一項(xiàng)為\(2\times2^k\)（\(k=2,3,\cdots,n\)），即\(2^3+2^4+\cdots+2^{n+1}\)，共\(n-1\)項(xiàng)，和為\(2^{n+2}-8\)（等比數(shù)列求和公式：\(S=\frac{a_1(q^m-1)}{q-1}\)，其中\(zhòng)(a_1=8\)，\(q=2\)，\(m=n-1\)）；最后一項(xiàng)：\(-(2n-1)\times2^{n+1}\)。因此，右邊化簡為：\(2+(2^{n+2}-8)-(2n-1)\times2^{n+1}=2^{n+2}-6-(2n-1)\times2^{n+1}\)。4.整理得\(S_n\)：左邊\(-S_n=\)右邊，故\(S_n=(2n-1)\times2^{n+1}-2^{n+2}+6=2^{n+1}(2n-3)+6\)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.公比找錯(cuò)：等比數(shù)列的公比是\(c_n\)的公比（如例3中\(zhòng)(c_n=2^n\)，公比為2），容易誤乘等差數(shù)列的公差；2.符號(hào)錯(cuò)誤：錯(cuò)位相減時(shí)，②式的第一項(xiàng)需與①式的第二項(xiàng)對(duì)齊，相減時(shí)容易漏掉負(fù)號(hào)（如誤將\(3\times2^2-1\times2^2\)算成\(1\times2^2-3\times2^2\)）；3.項(xiàng)數(shù)錯(cuò)數(shù)：中間項(xiàng)的等比數(shù)列項(xiàng)數(shù)為\(n-1\)項(xiàng)（如例3中從\(2^3\)到\(2^{n+1}\)），容易誤算為