第第頁第04講空間向量及其線性運算1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關(guān)運算及空間距離的求解.2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進行空間向量共線、共面的判斷.知識點1空間向量的有關(guān)概念1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2.表示法：（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．幾類特殊的空間向量名稱定義表示法零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量．(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．(3)向量不能比較大?。?4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0．易錯辨析：（1）空間向量就是空間中的一條有向線段？答：有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來．（2）單位向量都相等？答：單位向量長度相等，方向不確定（3）共線的單位向量都相等?答：共線的單位向量是相等向量或相反向量（4）若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓？答：將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球（5）任一向量與它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的．（6）若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反？答：|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定（7）若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))？答：向量不能比較大?。?）空間中，a∥b，b∥c，則a∥c？答：平行向量不一定具有傳遞性，當b＝0時，a與c不一定平行（9）若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p？答：向量的相等滿足傳遞性（10）若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同？答：當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但當兩個向量相等時，不一定起點相同，終點也相同知識點2空間向量的線性運算（一）空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；（二）空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意點：(1)當λ＝0或a＝0時，λa＝0．(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度．(3)向量λa與向量a一定是共線向量．非零向量a與λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一個平面內(nèi)，而平面向量滿足數(shù)乘運算的分配律，所以空間向量也滿足數(shù)乘運算的分配律．(5)根據(jù)空間向量的數(shù)乘運算的定義，結(jié)合律顯然也成立．(6)實數(shù)與空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±a無法運算．知識點3共線向量與共面向量1．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.注：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空間中四點共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使得對空間中任意一點，都有用途共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。2.直線l的方向向量如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點，則?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．3.與空間向量的線性運算相關(guān)的結(jié)論(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)).(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).(3)若O為空間中任意一點，則①點P是線段AB中點的充要條件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))；②若G為△ABC的重心，則eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))．易錯辨析：（1）若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量?答：空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.所以，任意兩個空間向量總是共面，而三個向量可能共面也可能不共面在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線？答：在平面內(nèi)共線的向量在空間一定共線在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線？答：在空間共線的向量，平移到同一平面內(nèi)一定共線1、空間向量有關(guān)概念問題的解題策略(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．(2)空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念．熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵．2、解決空間向量線性運算問題的方法進行向量的線性運算，實質(zhì)上是在正確運用向量的數(shù)乘運算及運算律的基礎(chǔ)上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．注：(1)向量減法是加法的逆運算，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．首尾相連的若干向量構(gòu)成封閉圖形時，它們的和向量為零向量．3、空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．4、利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)．5、空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點6、判定空間圖形中的兩向量共線技巧要判定空間圖形中的兩向量共線，往往尋找圖形中的三角形或平行四邊形，并利用向量運算法則進行轉(zhuǎn)化，從而使其中一個向量表示為另一個向量的倍數(shù)關(guān)系，即可證得這兩向量共線．7、證明空間三點P，A，B共線的方法(1)eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))(λ∈R)．(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．8、解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．9、證明空間四點P，M，A，B共面的等價結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．10、證明三點共線和空間四點共面的方法比較考點一：空間向量的概念辨析例1．下列命題中，正確的是（

）.A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)向量模長的定義以及向量的定義即可逐一判斷.【詳解】對于A;比如,不相等，但，故A錯誤；對于B;向量的模長可以有大小之分，但是向量不可以比較大小，所以B錯誤；對于C;向量相等，則其模長相等，方向相同，故C正確；對于D；若，，但不相等，故D錯誤；故選：C變式1．【多選】下列說法正確的是（

）A．空間向量與的長度相等B．平行于同一個平面的向量叫做共面向量C．若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓D．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底【答案】AB【分析】利用空間向量的有關(guān)概念逐項判斷.【詳解】對于A，向量與是相反向量由相反向量的定義知，向量與的長度相等，故A正確；對于B，平行于平面m的向量，均可平移至一個平行于m的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，故B正確；對于C，若將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故C錯誤；對于D，空間任意三個不共面的非零向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選：AB.變式2．下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.【答案】D【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個選項即可.【詳解】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；若，則?的長度相等但方向不確定，B錯誤；向量不能比較大小，C錯誤；由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.考點二：空間向量的線性運算例2．（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】.故選：C變式1．已知是三個不共面向量，已知向量則_________.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解.【詳解】，，故答案為：例3．在正方體中，下列各式中運算的結(jié)果為向量的是（

）.①；②；③；④.A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算結(jié)合空間向量基本定理逐項分析運算.【詳解】對①：，①正確；對②：，②正確；對③：以為基底向量，則，，根據(jù)空間向量基本定理可知：，③錯誤；對④：，④錯誤.故選：A.例4．在斜三棱柱中，的中點為，，則可用表示為_______________．【答案】【分析】利用空間向量的線性運算可求.【詳解】.故答案為：.變式1．四面體中，，是的中點，是的中點，設(shè)，，，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用空間向量的基底表示，再利用向量線性運算求解即可.【詳解】因為，所以，因為Q是的中點，所以，因為M為PQ的中點，所以，故選：C.變式2．如圖，在平行六面體中，P是的中點，點Q在上，且，設(shè)，，．則（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為P是的中點，所以，又因為點Q在上，且，所以，所以，故選：C.例5．在四面體中，是棱的中點，且，則的值為__________.【答案】0【分析】利用空間向量加減法法則，把用表示出來，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，因為是棱的中點，所以，則，所以，故答案為：0.考點三：空間向量共線問題空間向量共線的判斷例6．如圖，正方體中，O為上一點，且，BD與AC交于點M.求證：三點共線．【答案】證明見解析.【分析】取空間的基底，利用空間向量基本定理探求的關(guān)系，即可推理作答.【詳解】在正方體中，令，，BD與AC交于點M，即點M是的中點，于是，，因此，即，而直線與直線有公共點，所以三點共線.例7．已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個點是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理分別判斷，，，四組向量是否共線，即可得解.【詳解】若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，，若，則存在唯一實數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點不共線，，所以，又點為兩向量的公共端點，所以三點共線.故選：D.由空間向量共線求參數(shù)值例8.對于空間任意兩個非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分和必要條件的定義法，再結(jié)合共線向量的定義即可求解．【詳解】顯然能推出，但包括向量，同向共線和反向共線兩種情況，即當時，得或，因此推不出，故“”是“”的必要不充分條件．故選：B．變式1．設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且A，C，D三點共線，則實數(shù)k的值為______.【答案】【分析】由向量加法得，由A，C，D三點共線得，即可求【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∴，∴.故答案為：.空間共線向量定理的推論及其應(yīng)用例9．在正方體中，點E在對角線上，且，點F在棱上，若A、E、F三點共線，則________．【答案】【分析】設(shè)，可得，根據(jù)A、E、F三點共線即可求得.【詳解】因為正方體中，，設(shè)，又，所以，即，因為A、E、F三點共線，所以，解得，即.故答案為：.考點四：空間向量共面問題空間向量共面的判斷例11．當，且不共線時，與的關(guān)系是（

）A．共面B．不共面C．共線D．無法確定【答案】A【分析】利用平面向量的加減法的法則，結(jié)合向量共面的定義進行判斷.【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應(yīng)的向量分別為，所以與共面.故選：A.變式1．如圖，在長方體中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【分析】根據(jù)空間向量的運算法則化簡得到，即可得到是共面向量.【詳解】由空間向量的運算法則，可得，又由，可得，所以是共面向量.故答案為：共面.例12．已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線B．與共線C．，，，四點不共面D．，，，四點共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，A錯誤；對于B，，，，又，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，B錯誤；對于C、D，若，，，四點共面，則有，，即，故，故，，，四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.空間向量共面求參數(shù)例13．已知向量，，是空間向量的一組基底，，，，若A，B，C，D四點共面．則實數(shù)的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)點共面可得向量共面，進而根據(jù)平面向量基本定理即可列等式求解.【詳解】由于A，B，C，D四點共面，所以存在唯一的實數(shù)對，使得,即，所以，故答案為：變式1．已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)向量共面定理，結(jié)合向量運算，整理可得系數(shù)的方程組，求得參數(shù)，可得答案.【詳解】四點共面的充要條件是，，整理可得，由，則，解得，故選：A.變式2．已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．B．C．1D．2【答案】D【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合配方法進行求解即可.【詳解】因為，點在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當時，的有最小值2．故選：D變式3．在正方體中，E為中點，，使得，則（

）A．B．C．1D．【答案】C【分析】正方體中存在三條互相垂直的直線，故我們可以建立空間直角坐標系進行計算.【詳解】如圖建系，設(shè)棱長為6，則，解之：故選：C空間共面向量定理的推論及其應(yīng)用例14．對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（

）A．O，A，B，C四點共面B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面D．O，P，A，B，C五點共面【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減法，可得三個向量共面，可得答案.【詳解】由，得，即，故共面.又因為三個向量有同一公共點P，所以共面.故選：B變式1．【多選】以下能判定空間四點P、M、A、B共面的條件是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點共面的結(jié)論逐項分析判斷.【詳解】對A：若，結(jié)合向量基本定理知：為共面向量，故四點P、M、A、B共面，A正確；對B：若，且，結(jié)合向量共面的性質(zhì)知：四點P、M、A、B共面，B正確；對C：若，則，可知直線的位置關(guān)系：異面或相交，故四點P、M、A、B不一定共面，C錯誤；對D：若，可知直線的位置關(guān)系：平行或重合，故四點P、M、A、B共面，D正確；故選：ABD.1．在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）．A．B．C．D．【答案】A【分析】利用空間向量線性運算法則進行運算即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以.故選：A.2．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．【詳解】解：，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．3．如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.一、單選題1．下列命題中正確的是（

）A．空間任意兩個向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實數(shù)，使【答案】A【分析】根據(jù)共面向量，共線向量的定義判斷．【詳解】空間任意兩個向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此它們共面，A正確；空間三個向量指能平移到同一平面內(nèi)，而不是指表示它們的直線在同一平面內(nèi)，B錯；若，，但當時，與不一定平行，因此它們所在直線也不一定平行，即使兩個向量平行，它們所在的直線也可能是同一直線，不一定平行，C錯；若，當時，不存在唯一的實數(shù)，使，D錯．故選：A．2．如圖，在中，點分別是棱的中點，則化簡的結(jié)果是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由中點的向量公式與向量的減法運算即可得到答案.【詳解】如圖所示，連接，因為分別是棱的中點，所以.故選：C.4．在平行六面體中，設(shè)，，，則以為基底表示（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由向量的加法法則可得，再將已知條件代入即可得答案.【詳解】因為.故選：A.5．如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點，為的中點，若，則的值是（

）A．B．0C．D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示，得出，結(jié)合條件即可得出答案.【詳解】為的中點，，四邊形為平行四邊形，，.，，，，故選：B.6．已知為三條不共面的線段，若，那么（

）A．1B．C．D．【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量加法法則可得：，即，因為，所以，，，所以，，，所以.故選：B.7．在下列條件中，使點M與點A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先證明四點共面的條件，再根據(jù)四點共面的條件逐項判斷即可求得結(jié)論．【詳解】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以不能得到，，，四點不共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，由條件可得，則，，為共面向量，所以與,一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：C．二、解答題8．如圖，已知為空間的個點，且，，，，，，．(1)求證：四點共面，四點共面；(2)求證：平面平面；【分析】（1）由和，分別得到，，共面和，，共面，即可得證；（2）連接，，化簡得到，證得，利用線面平行的判定定理，證得平面，再由，證得，從而證得平面，結(jié)合面面平行的判定定理，即可證得平面平面．【詳解】（1）解：因為，且，所以向量，，共面，即四點共面．又因為，且，所以，，共面，即，，，四點共面．（2）解：連接，，如圖所示，可得，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為與相交，所以平面平面．空間向量及其線性運算隨堂檢測1.下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的