第第頁第18講橢圓的簡單幾何性質(zhì)1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)．2.通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，了解橢圓的簡單應(yīng)用，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識點1橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）注：(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上．(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點．(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a＋c，最小值為a－c.(4)橢圓有四個頂點、兩個焦點，共六個特殊點，研究橢圓時一定要注意這六個特殊點的位置．(5)已知橢圓的四個頂點，可以使用幾何作圖找出其焦點，方法是：以短軸的端點為圓心，a為半徑作弧交長軸于兩點，這兩點就是該橢圓的焦點．(6)橢圓的離心率e的大小反映橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓．拓展：用離心率e＝eq\f(c,a)來刻畫橢圓的扁平程度．如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，記e＝eq\f(c,a)，則0<e<1，e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越接近于圓．(7)常用橢圓方程的設(shè)法①與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為：②有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）知識點2點與橢圓的位置關(guān)系點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.知識點3直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．知識點4直線與橢圓相交的弦長公式1．定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．2．求弦長的方法(1)交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點間的距離公式來求．(2)根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).注：（1）已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標(biāo)為，則的斜率為，運(yùn)用點差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：1、用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定焦點位置；(3)求出a，b，c；(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì)．注：長軸長、短軸長、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是a，b，c的兩倍．2、利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．列方程(組)時常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．3、求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍．4、判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．5、解決橢圓中點弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；(2)點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，變形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).6、求與橢圓有關(guān)的最值、范圍問題的方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理．(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求解，注意橢圓的范圍．7、解決和橢圓有關(guān)的實際問題的思路(數(shù)學(xué)抽象)(1)通過數(shù)學(xué)抽象，找出實際問題中涉及的橢圓，將原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)確定橢圓的位置及要素，并利用橢圓的方程或幾何性質(zhì)求出數(shù)學(xué)問題的解．(3)用解得的結(jié)果說明原來的實際問題．考點一：由標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)例1．橢圓與橢圓的關(guān)系為（

）A．有相同的長軸長與短軸長B．有相同的焦距C．有相同的焦點D．有相同的離心率變式1．橢圓的焦點為、，點在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A．B．3C．D．考點二：利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2．求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點和；(3)經(jīng)過兩點.(4)過點且與橢圓有相同焦點.變式1．與橢圓有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是（

）A．B．C．D．考點三：點與橢圓的位置關(guān)系（一）點和橢圓位置關(guān)系的判斷例3．已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交B．相切C．相離D．不確定（二）根據(jù)點和橢圓位置關(guān)系求參數(shù)例4．點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A．B．C．D．（三）點和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用例5．已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為_________.考點四：橢圓的離心率問題求橢圓的離心率例6．設(shè)，是橢圓的兩個焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為_______.變式1．已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（

）A．B．C．D．變式2．已知橢圓的左?在頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（

）A．B．C．D．求橢圓的離心率的取值范圍例7．已知橢圓的左右焦點為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．變式1．已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A．B．C．D．考點五：直線與橢圓的位置關(guān)系例8．直線：與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交B．相切C．相離D．相切或相交考點六：弦長及中點弦問題（一）弦長問題例10．已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為_________．（二）中點弦問題例11．已知橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程為______.變式1．直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為_________．

一、單選題1．已知橢圓的一個焦點為，則的離心率為（

）A．B．C．D．2．已知橢圓：，若矩形的四個頂點都在上，則稱為矩形的外接橢圓，已知邊長為4的正方形的外接橢圓的短軸長為，則的方程為（

）A．B．C．D．3．已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為，過左焦點作直線與橢圓在第一象限交于點，若為等腰三角形，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．三、填空題4．橢圓的左、右焦點分別為，過點作的角平分線交橢圓的長軸于點，則點的坐標(biāo)為__________.5．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點作直線交橢圓于兩點，若，則橢圓的離心率為____________.三、解答題6.已知點是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)若過點的直線交軌跡于、兩點，是的中點，點是坐標(biāo)原點，記與的面積之和為，求的最大值.7．已知橢圓的焦距為，點在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，為橢圓的下頂點，當(dāng)時，求的取值范圍．橢圓的簡單幾何性質(zhì)隨堂檢測1.橢圓的焦點坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．2.中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A．B．C．D．3.直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相離B．相切C．相交D．無法確定4.已知點和焦點在軸上的橢圓：，且過作橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距的取值范圍是（）A．B．C．D．5.已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A．B．C．D．6.已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（）A．B．C．