第頁第05講直線斜率與直線間的位置關(guān)系1.1傾斜角與斜率課程標準學習目標①理解直線的傾斜角與斜率的概念。②掌握直線的傾斜角的范圍與斜率存在的意義.。③了解直線的方向向量與直線、直線的斜率的關(guān)系。④會用兩點坐標求直線的斜率。⑤在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素。通過本節(jié)課的學習，理解直線的傾斜角與斜率的概念，了解直線的方向向量與直線的斜率的關(guān)系，會求直線的斜率與傾斜角，掌握確定直線的條件及直線傾斜角與斜率的取值范圍.知識點01：直線傾斜角的定義以軸為基準，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當直線與軸平行或者重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識點02：直線的斜率我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時，直線的斜率不存在?！炯磳W即練1】已知直線的傾斜角是，則此直線的斜率是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角是，所以此直線的斜率是.故選:C.知識點03：斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在【即學即練2】圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由圖象可得，，故選：C知識點04：直線斜率的坐標公式如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標的順序無關(guān)，橫縱坐標的次序可以同時調(diào)換；（3）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行?！炯磳W即練3】經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【詳解】（1）由題意，存在，直線AB的斜率．（2）由題意得，存在，直線CD的斜率．（3）∵，∴直線的斜率不存在．題型01求直線的傾斜角【例1】已知是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因為是直線的一個方向向量，故直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，故選：D【變式1】若直線的方向向量是，則直線的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角是，故選：B.題型02直線斜率的定義【例1】已知直線的傾斜角是，則該直線的斜率是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意知：直線的斜率.故選：A.【例2】若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】k=tan120°=.故選：B．題型03斜率與傾斜角變化關(guān)系【例1】下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大；B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率；D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【答案】D【詳解】對于:直線的傾斜角,,所以錯誤；對于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯誤；對于:當直線的傾斜角為時直線斜率不存在，所以錯誤；對于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.故選：.【變式1】已知直線經(jīng)過第二、四象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）.A．B．C．D．【答案】D【詳解】直線傾斜角的取值范圍是，又直線經(jīng)過第二、四象限，∴直線的傾斜角的取值范圍是，故選：D.題型04已知兩點求斜率【典例1】分別判斷經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)存在，斜率為，傾斜角為；(2)存在，斜率為，傾斜角為；(3)存在，斜率為，傾斜角為；(4)不存在.【詳解】（1）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為（2）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為.（3）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率存在，所以斜率為，設(shè)傾斜角為，則，故，即傾斜角為.（4）解：因為，所以經(jīng)過的直線斜率不存在，【變式1】若經(jīng)過點和的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】，【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，所以斜率，解得．所以的取值范圍是，．故答案為：，．題型05已知斜率求參數(shù)【例1】若直線經(jīng)過兩點，，且其傾斜角為135°，則的值為（

）A．0B．C．D．【答案】D【詳解】經(jīng)過兩點，的直線的斜率為，又直線的傾斜角為135°，∴，解得．故選：D【例2】過點，的直線的斜率為1，那么的值為（

）A．1或4B．4C．1或3D．1【答案】D【詳解】解：因為直線過點P(2，m)，Q(m，4)，且斜率為1，所以，解得，故選：D【變式1】已知點，直線的傾斜角為，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C題型06利用直線斜率處理共線問題【例1】三點，，在同一條直線上，則值為（

）A．2B．C．或D．2或【答案】D【詳解】由題意可得，因為A，B，C三點共線，所以，即，解得或．所以的值為2或．故選：D．【變式1】若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（

）A．B．C．6D．12【答案】C【詳解】因為，又，所以，即.故選：C.題型07求斜率或傾斜角的取值范圍【例1】已知兩點，，直線過點，若直線與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】如圖所示：

若直線與線段相交，則或，因為，，所以直線的斜率取值范圍是.故選：A.【變式1】已知,,直線過定點,且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是(

)A．B．C．D．或【答案】D【詳解】畫出圖像,如圖:結(jié)合圖像可知,要保證線段與直線相交需滿足斜率的取值范圍:或故選:D.【變式2】已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】，則，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以當時，直線的傾斜角；當時，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B題型08斜率公式的幾何意義的應(yīng)用【例1】若實數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為______【答案】【詳解】如圖，，，，則，.因為，可表示點與線段上任意一點連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.【例2】點在函數(shù)的圖象上，當，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】由表示與點所成直線的斜率，又由是在部分圖象上的動點，如圖所示：可得，則，所以，即的取值范圍為.故答案為：.

課后鞏固練習一、單選題1．若直線經(jīng)過點，則直線的傾斜角為（）A．0°B．30°C．60°D．90°【答案】A【詳解】因為兩點的縱坐標相等，所以直線平行于軸，所以直線的傾斜角為0°．故選：A2．對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【詳解】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；其中正確說法的個數(shù)為2.故選：B.3．若直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由直線經(jīng)過，兩點，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則有，又，所以.故選：A.4．已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）A．－6B．－4C．0D．6【答案】C【詳解】直線經(jīng)過兩，，又直線的傾斜角為，斜率一定存在，則直線的斜率為，即．故選：C．5．已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由直線的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A6．設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.二、填空題7．已知直線的傾斜角，直線與的交點為，直線和向上的方向所成的角為，如圖，則直線的傾斜角為________．

【答案】【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為和向上的方向所成的角為，所以，，故．故答案為：.8．過原點的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，過A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點，則直線CD的斜率為__________．【答案】【詳解】設(shè)，，則點的坐標為，點的坐標為，點，，共線，，即，可得：，即，又，，故答案為：．三、解答題10．已知兩點，過點的直線與線段有公共點．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）因為，，所以因為直線與線段有公共點，所以由圖可知直線的斜率滿足或，所以直線的斜率的取值范圍是．

（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，因為直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，所以的取值范圍是．B能力提升1．坐標平面內(nèi)有相異兩點，，經(jīng)過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為點，是相異兩點，，且，設(shè)直線的傾斜角為，則，當，傾斜角的范圍為．當，傾斜角的范圍為．故選：B2．已知點，，若點在線段AB上，則的取值范圍（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，因為點在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.3．已知點，若點在線段上，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】可看作與的斜率，則，，因為點在線段上，所以的取值范圍為，故選：A4．已知坐標平面內(nèi)三點.(1)求直線的斜率和傾斜角；(2)若可以構(gòu)成平行四邊形，且點在第一象限，求點的坐標；(3)若是線段上一動點，求的取值范圍.【答案】(1)斜率為1，傾斜角為；(2)；(3).（1）解：因為直線的斜率為.所以直線的傾斜角為；（2）解：如圖，當點在第一象限時，.設(shè)，則，解得，故點的坐標為；（3）解：由題意得為直線的斜率.當點與點重合時，直線的斜率最小，；當點與點重合時，直線的斜率最大，.故直線的斜率的取值范圍為，即的取值范圍為.

1.2兩條直線平行和垂直的判定課程標準學習目標①理解兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件。②能根據(jù)直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直.。③能應(yīng)用兩條直線平行或垂直解決相關(guān)問題，理解用代數(shù)法解決幾何問題.。通過本節(jié)課的學習，理解兩條直線平行與垂直的幾何位置與代數(shù)運算相結(jié)合的條件與意義，能應(yīng)用兩直線的斜率的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，并能解決與兩條直線位置關(guān)系相關(guān)聯(lián)的綜合問題.知識點01：兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.知識點02：兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．題型01兩直線平行關(guān)系的判定【例1】判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．(1)經(jīng)過點，經(jīng)過點；(2)的斜率為，經(jīng)過點.【答案】(1)不平行，理由見解析；(2)不平行，理由見解析【詳解】（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，因為經(jīng)過點，經(jīng)過點，所以，，所以，所以與不平行；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，則，因為經(jīng)過點，所以，所以，所以與不平行.【變式1】判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點；（2）經(jīng)過，兩點，平行于軸，但不經(jīng)過，兩點；（3）經(jīng)過，兩點，經(jīng)過，兩點．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【詳解】（1）經(jīng)過，兩點，則，則，可得兩直線平行.（2）經(jīng)過，兩點，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點，所以；（3）經(jīng)過，兩點，，經(jīng)過，兩點，則，所以.題型02兩直線垂直關(guān)系的判定【例1】判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．(1)經(jīng)過點經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點經(jīng)過點．【答案】(1)不垂直，理由見解析；(2)垂直，理由見解析【詳解】（1）由題知直線，的斜率存在，分別設(shè)為，，，，∴與不垂直．（2）由題意知的傾斜角為90°，則軸；由題知直線的斜率存在，設(shè)為，，則軸，∴．【變式1】（多選）若，，，，下面結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】，，且C不在直線AB上，∴，故A正確；又∵，∴，∴，故B正確；∵，，∴，，∴，故C正確；又∵，，∴∴，故D錯誤．故選:ABC．題型03已知兩直線平行關(guān)求參數(shù)【例1】已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則的值是（

）A．－8B．0C．2D．10【答案】A【詳解】由題意可知，，解得．故選：A【例2】若直線與平行，則（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】直線與平行，所以，.故選：C.【變式1】已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．【答案】【詳解】由題意知，解得.故答案為：題型04已知兩直線垂直關(guān)求參數(shù)【例1】過點，的直線與過點，的直線垂直，則的值為（

）A．B．2C．D．【答案】A【詳解】兩條直線垂直，則：，解得，故選：A．【例2】已知經(jīng)過點和點的直線與經(jīng)過點和點的直線互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【詳解】直線的斜率．①當時，直線的斜率．因為，所以，即，解得．②當時，、，此時直線為軸，又、，則直線為軸，顯然．綜上可知，或.故選：C.【變式1】已知三角形三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的高的斜率為（

）A．2B．C．D．【答案】C【詳解】，，，設(shè)邊上的高的斜率為，則，故選：C題型05直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用【例1】已知點，，，是的垂心．則點的坐標為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)C點標為，直線AH斜率，∴，而點B的橫坐標為6，則，直線BH的斜率，∴直線AC斜率，∴，∴點C的坐標為．故選:.【變式1】已知的三個頂點的坐標分別為，，，則頂點的坐標為________.【答案】(3,4)【詳解】設(shè)頂點D的坐標為(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴點D的坐標為(3,4).故答案為：(3,4).課后練習1．已知直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角為，所以，又，所以.故選：C.2．若直線與直線平行，則實數(shù)k的值為（

）A．B．C．D．3【答案】D【詳解】因為直線與直線平行，所以兩直線斜率相等，即.故選：D.3．下列說法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤．故選：C.4．已知直線：，：，若，則實數(shù)（

）A．－2B．－1C．0D．1【答案】D【詳解】已知直線：，：，因為，所以故選：D5．“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】當兩條直線斜率乘積為時，兩條直線互相垂直，充分性成立；當兩條直線互相垂直時，其中一條直線可能斜率不存在，必要性不成立；“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.6．已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直【答案】A【詳解】直線經(jīng)過，兩點

直線的斜率：直線的傾斜角為

直線的斜率：

本題正確選項：二、填空題7．已知三點，則△ABC為__________三角形.【答案】直角【詳解】如圖，猜想是直角三角形，由題可得邊所在直線的斜率,邊所在直線的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案為：直角.8.根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行.（1）直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點；（2）直線平行于y軸，直線經(jīng)過點，；（3）直線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點.【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.【詳解】解：（1）直線的斜率，直線的斜率，顯然，所以直線與不平行.（2）直線與y軸重合，所以直線與平行.（3）直線的斜率，直線的斜率，所以，又，所以E，F(xiàn)，G，H四點共線，直線與重合.故直線與不平行.

第05講直線斜率與直線間的位置關(guān)系隨堂檢測1.已知直線經(jīng)過，兩點，則直線的傾斜角為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：D.2.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意可得直線l的斜率.故選：D3.若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A．B．C．D．【答案】C【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調(diào)遞增，故，所以.故選：C4.已知三點，，在同一條直線上，則實數(shù)的值為（

）A．0B．5C．0或5D．0或-5【答案】C【詳解】因為三點，，在同一條直線上，且直線斜率存在，所以，解得或故選：C5.已知直線經(jīng)過，兩點，且直線，則直線的傾斜角為（

）A．