全等三角形專題復習導學案一、學習目標（一）知識與技能1.系統(tǒng)回顧全等三角形的定義、性質及判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），明確其邏輯關系與應用條件；2.掌握全等三角形常見模型（如“手拉手”“一線三等角”）及輔助線技巧（倍長中線、截長補短、作垂線）；3.能熟練運用全等三角形解決線段相等、角相等、線段和差等問題，提升幾何推理能力。（二）過程與方法通過“基礎回顧—模型突破—易錯辨析—綜合應用”的梯度設計，經歷“知識梳理—方法提煉—能力提升”的復習過程，體會轉化、建模等數(shù)學思想。（三）情感態(tài)度與價值觀通過典型例題與變式訓練，增強幾何學習的信心，培養(yǎng)嚴謹?shù)倪壿嬎季S與規(guī)范的書寫習慣。二、基礎回顧：全等三角形的核心概念（一）定義全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形（記作“≌”）。重合的頂點稱為對應頂點，重合的邊稱為對應邊，重合的角稱為對應角。（二）性質1.對應邊相等（如△ABC≌△DEF，則AB=DE，BC=EF，AC=DF）；2.對應角相等（如△ABC≌△DEF，則∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）；3.對應線段（中線、高線、角平分線、中位線）相等；4.面積相等。（三）判定定理（重點）定理名稱適用條件符號表示注意事項SSS（邊邊邊）三邊對應相等△ABC≌△DEF（SSS）無特殊限制，適用于所有三角形SAS（邊角邊）兩邊及其夾角對應相等△ABC≌△DEF（SAS）必須是“兩邊夾一角”，而非“兩邊及一邊的對角”（SSA無效）ASA（角邊角）兩角及其夾邊對應相等△ABC≌△DEF（ASA）夾邊是兩角的公共邊AAS（角角邊）兩角及其中一角的對邊對應相等△ABC≌△DEF（AAS）對邊是其中一個角的對邊HL（斜邊直角邊）直角三角形的斜邊與一條直角邊對應相等Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）僅適用于直角三角形小練習：判斷下列各組三角形是否全等（填“是”或“否”）：1.兩邊及一邊的對角對應相等（）；2.三個角對應相等（）；3.直角三角形的斜邊與一個銳角對應相等（）；4.兩邊及夾角對應相等（）。三、重點突破：全等三角形的常見模型與輔助線技巧（一）常見全等模型1.“手拉手”模型（旋轉型全等）模型特征：兩個等腰三角形共頂點，頂角相等，將其中一個三角形繞頂點旋轉至與另一個三角形重合，形成全等三角形。例：如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD、CE。求證：BD=CE。證明思路：通過旋轉性質，∠BAD=∠CAE（均為∠BAE的余角），結合AB=AC、AD=AE，用SAS判定△ABD≌△ACE，得BD=CE。2.“一線三等角”模型（平移型全等）模型特征：一條直線上有三個相等的角，且兩邊對應相等，形成全等三角形。例：如圖，∠B=∠C=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE。求證：△ABD≌△DCE。證明思路：∠ADB+∠EDC=90°，∠ADB+∠BAD=90°，故∠BAD=∠EDC，結合AB=DC（BC=AB，DC=BC-BD=AB-BD？需調整條件，此處以“AB=CD”為例），用AAS判定全等。（二）常用輔助線技巧1.倍長中線法（中點類問題）適用場景：題目中存在中線或中點，需轉移線段或角。操作方法：延長中線至兩倍，連接對應頂點，構造全等三角形（△ADC≌△EDB，如圖）。例：已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，AB=5，AC=3，求AD的取值范圍。解：延長AD至E，使DE=AD，連接BE?！逜D是中線，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，$\begin{cases}AD=ED\\∠ADC=∠EDB\\CD=BD\end{cases}$，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=3。在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，即5-3<2AD<5+3，故1<AD<4。2.截長補短法（線段和差問題）適用場景：需證明“線段和=第三條線段”（如AB=CD+EF）或“線段差=第三條線段”（如AB-CD=EF）。操作方法：截長：在長線段上截取一段等于其中一條短線段，證明剩余部分等于另一條短線段；補短：延長其中一條短線段至與長線段相等，證明延長后的線段等于另一條短線段。例：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，交AC于D，過C作CE⊥BD，交BD的延長線于E。求證：BD=2CE。證明：延長CE、BA交于F（補短法）。∵BD平分∠ABC，CE⊥BE，∴∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°。在△BEF和△BEC中，$\begin{cases}∠FBE=∠CBE\\BE=BE\\∠BEF=∠BEC\end{cases}$，∴△BEF≌△BEC（ASA），∴CE=EF，即CF=2CE。∵∠BAC=90°，CE⊥BE，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ACF+∠CDE=90°。又∠ADB=∠CDE（對頂角相等），∴∠ABD=∠ACF。在△ABD和△ACF中，$\begin{cases}∠ABD=∠ACF\\AB=AC\\∠BAD=∠CAF=90°\end{cases}$，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF=2CE。3.作垂線法（角平分線、直角問題）適用場景：需證明角平分線性質（角平分線上的點到兩邊距離相等）或構造直角三角形全等。例：如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，P是OM上一點，過P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D。求證：PC=PD。證明：由角平分線定義，∠COP=∠DOP=45°。在△COP和△DOP中，$\begin{cases}∠COP=∠DOP\\∠OCP=∠ODP=90°\\OP=OP\end{cases}$，∴△COP≌△DOP（AAS），∴PC=PD。四、易錯點辨析：規(guī)避常見錯誤（一）SSA不能判定全等反例：如圖，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC與△ABD不全等（AC=AD，但BC≠BD）。結論：兩邊及一邊的對角對應相等時，三角形不唯一，故SSA無法判定全等。（二）對應邊/角找錯錯誤示例：△ABC≌△DEF，若AB=DE，BC=EF，則∠A=∠F（錯誤，應為∠A=∠D，∠B=∠E）。糾正方法：全等三角形的對應邊與對應角需“對應頂點”一致，即△ABC≌△DEF時，頂點A對應D，B對應E，C對應F，故對應邊為AB=DE，BC=EF，AC=DF；對應角為∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。（三）HL定理的誤用錯誤示例：用HL判定兩個銳角三角形全等（錯誤，HL僅適用于直角三角形）。糾正方法：HL定理的前提是“直角三角形”，需明確指出“Rt△ABC≌Rt△DEF”。五、綜合應用：提升解題能力例：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：AE=AF=$\frac{1}{4}$AB。分析：1.由AB=AC，D是BC中點，得AD是中線、角平分線、高（等腰三角形“三線合一”），故∠BAD=∠CAD=60°，AD⊥BC；2.在Rt△ADE中，∠BAD=60°，故∠ADE=30°，得AE=$\frac{1}{2}$AD（直角三角形30°角所對直角邊是斜邊的一半）；3.設AB=AC=2a，在Rt△ABD中，∠BAD=60°，得AD=AB·cos60°=a，故AE=$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{4}$AB，同理AF=$\frac{1}{4}$AB。證明：（略，需規(guī)范書寫全等或直角三角形性質的步驟）六、達標檢測：鞏固所學（一）基礎題（每題5分，共20分）1.下列條件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEC.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FD.AB=DE，BC=EF，∠C=∠F2.如圖，△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，則∠F=（）A.50°B.60°C.70°D.80°3.直角三角形全等的判定方法有（）（多選）A.SSSB.SASC.ASAD.AASE.HL4.如圖，AD是△ABC的中線，若AB=3，AC=5，則AD的取值范圍是（）A.1<AD<4B.2<AD<8C.3<AD<5D.0<AD<8（二）中檔題（每題10分，共30分）5.已知：如圖，AB=CD，AE=DF，BE=CF。求證：AB∥CD。6.如圖，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D是AC上一點，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F。求證：DE+DF=AB。7.如圖，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BD、CE交于F。求證：BD=CE，BD⊥CE。（三）難題（每題15分，共30分）8.如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB=45°，點D在BC上，∠ADC=60°，求證：BD=2DC。9.如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M是BC的中點。求證：ME=MF，ME⊥MF。七、總結與反思1.全等三角形的核心是“對應”：對應邊相等、對應角相等，判定時需嚴格遵循定理條件；2.輔助線的作用是“轉化”：將分散的條件集中，或構造全等三角形以利用已知條件；3.易錯點需重點關注：SSA不能判定全等、對應邊/角找錯、HL定理的適用范圍。反思：通過本專題復習，你對全等三角形的理解有哪些提升？還有哪些問題需要進一步鞏固？答案提示（一）基礎題：1.B2.C3.ABCDE4.A（二）中檔題：5.證明△ABE≌△DCF（SSS），得