18.2.3正方形課時(shí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索正方形的性質(zhì)及判定的過程,掌握正方形的性質(zhì)及判定定理,發(fā)展學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過對四邊形進(jìn)行分類,增強(qiáng)對平行四邊形、矩形、菱形及正方形定義的理解,明確它們之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生自主構(gòu)建知識框架的意識,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志:能說出正方形的性質(zhì),能根據(jù)定義得出正方形的判定方法.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志:能梳理出平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系,能用不同的語言描述它們之間的關(guān)系.學(xué)習(xí)重點(diǎn)探索正方形的定義、性質(zhì)及判定.學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系以及正方形的性質(zhì)與判定定理的應(yīng)用.課時(shí)活動設(shè)計(jì)回顧矩形、菱形與平行四邊形的關(guān)系?說一說是如何研究它們的?思考平行四邊形是否存在邊、角同時(shí)特殊的情形?是什么圖形?從哪方面入手研究?設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧矩形、菱形與平行四邊形的關(guān)系以及研究路徑,為正方形的研究提供研究思路,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的一致性.通過邊、角同時(shí)特殊,同學(xué)們?nèi)菀紫氲降氖钦叫?幫助學(xué)生將平行四邊形的知識結(jié)構(gòu)化,便于理解與記憶.學(xué)生動手演示(幾何畫板)可變化的平行四邊形,其他學(xué)生觀察變化過程中邊和角同時(shí)特殊的情況,你能類比矩形或者菱形的定義試著給正方形下個(gè)定義嗎?定義:有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.兩層含義:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形(菱形);(2)有一個(gè)角是直角的平行四邊形(矩形).設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過觀察平行四邊形的運(yùn)動變化,在運(yùn)動變化過程中找到平行四邊形的特例,讓學(xué)生體會菱形、矩形、正方形與平行四邊形的關(guān)系,增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)分類方法的認(rèn)識.通過類比矩形和菱形,提煉正方形的定義,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.思考平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間有什么關(guān)系?請用數(shù)學(xué)語言描述它們之間的關(guān)系.小組活動:小組合作探究,然后進(jìn)行展評.引導(dǎo)學(xué)生梳理它們之間的關(guān)系以及特殊化的演進(jìn)過程.設(shè)計(jì)意圖:通過梳理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系,加深學(xué)生對知識的理解與掌握,增強(qiáng)學(xué)生分類的意識,感受幾何圖形的研究由一般到特殊的演進(jìn)過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,那么正方形具有哪些性質(zhì)呢?為什么具有這些性質(zhì)呢?你能用不同的語言描述這些性質(zhì)嗎?對稱性:是軸對稱圖形,有四條對稱軸;邊:對邊平行且相等;角:四個(gè)角都是直角;對角線:互相垂直平分且相等,每一條對角線平分一組對角.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,因此正方形兼有矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì),在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生從對稱性、邊、角、對角線四個(gè)方面描述正方形的性質(zhì),幫助學(xué)生養(yǎng)成有條理的思考問題的習(xí)慣.學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述性質(zhì),發(fā)展數(shù)學(xué)的抽象能力,提升用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng).思考如何判定一個(gè)四邊形是正方形,根據(jù)定義我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)四邊形既是矩形又是菱形時(shí),那么這個(gè)四邊形是正方形,請根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定定理進(jìn)行分類梳理正方形的判定方法:(1)從四邊形出發(fā)的判定方法;(2)從平行四邊形出發(fā)的判定方法;(3)從矩形出發(fā)的判定方法;(4)從菱形出發(fā)的判定方法.設(shè)計(jì)意圖:通過梳理正方形的判定方法既可以幫助學(xué)生理清知識間的聯(lián)系,還可以幫助學(xué)生養(yǎng)成有條理的思考問題的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.例題練習(xí),鞏固理解先獨(dú)立完成教材第58頁例5,然后小組展評.例求證:正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力和推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,加深學(xué)生對性質(zhì)的理解.本節(jié)課我們研究了正方形的定義、性質(zhì)和判定,請同學(xué)們帶著以下問題進(jìn)行總結(jié):(1)正方形的性質(zhì)和判定分別有哪些?怎樣得到的這些定理?通過本節(jié)的學(xué)習(xí)你積累了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?(2)正方形與平行四邊形、矩形、菱形有怎樣的關(guān)系?你能用一張圖表示這個(gè)關(guān)系嗎?設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過自主反思,可進(jìn)一步加深對平行四邊形、矩形、菱形、正方形關(guān)系的理解,幫助學(xué)生將所學(xué)知識形成一個(gè)完整的體系.知能演練提升能力提升1.四個(gè)角相等,四條邊也相等的四邊形一定是()A.正方形 B.菱形C.矩形 D.平行四邊形2.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道題.從下列四個(gè)條件①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使?ABCD成為正方形,如圖,現(xiàn)有下列四種選法,你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()A.①② B.②③ C.①③ D.②④3.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一動點(diǎn),則DN+MN的最小值為()A.8 B.10C.217 D.824.如圖,將n個(gè)邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放,點(diǎn)A1,A2,…,An分別是正方形對角線的交點(diǎn),則n個(gè)這樣的正方形重疊部分的面積和為()…A.14cm2 B.n4C.n-14cm2 D.5.矩形各內(nèi)角平分線若能圍成一個(gè)四邊形,則這個(gè)四邊形一定是.

6.如圖,在正方形ABCD中,E是對角線BD上一點(diǎn),AE的延長線交CD于點(diǎn)F,連接CE.若∠BAE=56°,則∠CEF=.

7.如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F分別在OD,OC上,且DE=CF,連接DF,AE,AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證:AM⊥DF.8.如圖,在正方形ABCD中,G是BC邊上任意一點(diǎn)(不與B,C重合),DE⊥AG于點(diǎn)E,BF∥DE,且交AG于點(diǎn)F.求證:AF-BF=EF.創(chuàng)新應(yīng)用9.如圖①,在正方形ABCD中,P是BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于點(diǎn)F.圖①圖②(1)求證:PC=PE;(2)求∠CPE的度數(shù);(3)如圖②,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.知能演練·提升能力提升1.A四個(gè)角相等的四邊形是矩形,四條邊相等的四邊形是菱形,既是菱形又是矩形的四邊形一定是正方形,故選A.2.B3.B連接BM交AC于點(diǎn)N(圖略),此時(shí)DN+MN有最小值,且DN+MN=BM=BC2+4.C5.正方形6.22°在正方形ABCD中,∠BAD=∠ADF=90°,∠BAE=56°,∴∠DAF=34°,∠DFE=56°.∵AD=CD,∠ADE=∠CDE,DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),∴∠DCE=∠DAF=34°.∵∠DFE是△CEF的外角,∴∠CEF=∠DFE-∠DCE=56°-34°=22°.7.證明在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF.∴∠AEO=∠DFO,∠OAE+∠DFO=90°.∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.8.證明∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°.∵DE⊥AG,∴∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠BAF.又BF∥DE,∴∠BFA=∠DEG=∠AED=90°,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AE=BF,∴AF-BF=AF-AE=EF.創(chuàng)新應(yīng)用9.(1)證明∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP.∵DP=DP,∴△ADP≌△CDP.∴PA=PC.又PA=PE,∴PC=PE.(2)解∵△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP