2．1.2平面直角坐標(biāo)系中的基本公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩點(diǎn)間的距離的概念，掌握兩點(diǎn)間的距離公式，并會(huì)求兩點(diǎn)間的距離.2.理解坐標(biāo)法的意義，并會(huì)用坐標(biāo)法研究問題．知識點(diǎn)一兩點(diǎn)的距離公式已知平面上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1當(dāng)x1≠x2，y1＝y(tǒng)2時(shí)，d(A，B)＝？思考2當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，d(A，B)＝？思考3當(dāng)x1≠x2，y1≠y2時(shí)，d(A，B)＝？請簡單說明理由．梳理兩點(diǎn)間的距離公式A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離公式d(A，B)＝|AB|＝________________；當(dāng)AB垂直于y軸時(shí)，d(A，B)＝________；當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，d(A，B)＝________；當(dāng)B為原點(diǎn)時(shí)，d(A，B)＝________.知識點(diǎn)二中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則x＝________，y＝________類型一兩點(diǎn)間的距離公式例1(1)已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，則△ABC的周長為()A．4eq\r(2)B．8eq\r(2)C．12eq\r(2)D．16eq\r(2)(2)若A(－5,6)，B(a，－2)兩點(diǎn)的距離為10，則a＝____________.反思與感悟兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用的兩種形式(1)在求到某點(diǎn)的距離滿足某些條件的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)時(shí)，需要根據(jù)已知條件列出關(guān)于x，y的方程或方程組，解之即可．(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式可以判斷三角形的形狀，從三邊長入手，根據(jù)邊長相等判斷是等腰或等邊三角形，根據(jù)勾股定理判斷是直角三角形．還可以根據(jù)兩個(gè)距離之和等于第三個(gè)距離判斷三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(－3,4)，點(diǎn)B(2，eq\r(3))，試在x軸上找一點(diǎn)P，使得d(P，A)＝d(P，B)，并求出d(P，A)．類型二中點(diǎn)公式及應(yīng)用例2已知平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,2)，B(5,7)，對角線交點(diǎn)為E(－3,4)，求另外兩頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．反思與感悟中點(diǎn)公式應(yīng)用的步驟(1)認(rèn)真審題，提煉題設(shè)中的條件．(2)將條件轉(zhuǎn)化為與中點(diǎn)有關(guān)的問題．(3)利用中點(diǎn)公式求解．(4)轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)果．特別提醒：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)為頂點(diǎn)的△ABC的重心坐標(biāo)為(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知三點(diǎn)A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，求x，y的值；(2)求點(diǎn)M(4,3)關(guān)于點(diǎn)N(5，－3)的對稱點(diǎn)．類型三坐標(biāo)法的應(yīng)用例3證明：平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．反思與感悟用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何無素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3證明：直角三角形斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，則d(A，B)等于()A．5eq\r(2) B．5eq\r(13)C．5eq\r(17) D．5eq\r(5)2．已知兩點(diǎn)A(a，b)，B(c，d)，且eq\r(a2＋b2)－eq\r(c2＋d2)＝0，則()A．原點(diǎn)一定是線段AB的中點(diǎn)B．A、B一定都與原點(diǎn)重合C．原點(diǎn)一定在線段AB上但不是中點(diǎn)D．以上結(jié)論都不正確3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)為頂點(diǎn)的三角形是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．無法確定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，點(diǎn)P(2,3)平分線段AB，則a＋b＝________.5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．1．坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個(gè)已知點(diǎn)間的距離．反過來，已知兩點(diǎn)間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標(biāo)法來證明．用坐標(biāo)法解題時(shí)，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標(biāo)系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標(biāo)系會(huì)使計(jì)算有繁簡之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必須“避繁就簡”．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1d(A，B)＝|x2－x1|.思考2d(A，B)＝|y2－y1|.思考3如圖，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).即兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的距離為|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).梳理eq\r(x2－x12＋y2－y12)|x2－x1||y2－y1|eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))知識點(diǎn)二eq\f(x1＋x2,2)eq\f(y1＋y2,2)題型探究例1(1)C(2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝eq\r(－3－42＋2－12)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，|BC|＝eq\r([0－－3]2＋5－22)＝eq\r(18)＝3eq\r(2)，|AC|＝eq\r(0－42＋5－12)＝eq\r(32)＝4eq\r(2).∴△ABC的周長為|AB|＋|BC|＋|AC|＝5eq\r(2)＋3eq\r(2)＋4eq\r(2)＝12eq\r(2).(2)∵|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(－5－a2＋6＋22)＝10，∴a＝1或－11.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)P(x,0)，由題意得d(P，A)＝eq\r(x＋32＋0－42)＝eq\r(x2＋6x＋25)，d(P，B)＝eq\r(x－22＋0－\r(3)2)＝eq\r(x2－4x＋7).由d(P，A)＝d(P，B)，即eq\r(x2＋6x＋25)＝eq\r(x2－4x＋7)，化簡得x＝－eq\f(9,5)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0))，d(P，A)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(9,5)))2＋42)＝eq\f(2\r(109),5).例2解設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則由E為AC的中點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(4＋x1,2)，,4＝\f(2＋y1,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－10，,y1＝6.))設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x2，y2)，則由E為BD的中點(diǎn)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＝\f(5＋x2,2)，,4＝\f(7＋y2,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－11，,y2＝1，))故C點(diǎn)坐標(biāo)為(－10,6)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－11,1)．跟蹤訓(xùn)練2解(1)由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5＋y,2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3.))(2)設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,2)＝5，,\f(y＋3,2)＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－9，))故所求對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，－9)．例3證明如圖所示，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，有A(0,0)．設(shè)B(a,0)，D(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a＋b，c)．因?yàn)閨AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．跟蹤訓(xùn)練3證明如圖所示，以直角三角形的直角頂點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，一直角邊CA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則C(0,0)．設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則斜邊中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．因?yàn)閨OM|＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(b2,4))＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，|BM|＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(b,2)－b2)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，|MA|＝eq\r(a－\f(a,2)2＋\f(b2,4))＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)，所以|OM|＝|BM|＝|MA|.即直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．當(dāng)堂訓(xùn)練1．D2.D3.B4．6解析由中點(diǎn)公式得2＝eq\f(a－2,2)，3＝eq\f(b＋6,2)，∴a＝6，b＝0.∴a＋b＝6.5．解分以下三種情況(如圖所示)．(1)以AC為對角線構(gòu)成?ABCD1