《一元函數的導數及其應用》教學設計教學目標教學目標1．引導學生對本章知識進行小結，構建知識結構圖；2．通過梳理本章知識，總結并構建本章知識網絡圖，提高對本章知識的理解，弄清知識之間的聯系以及相互之間的邏輯關系，掌握本章所學的重點內容．教學重難點教學重難點教學重點：引導學生對本章知識進行小結，構建知識結構圖．教學難點：知識之間的邏輯聯系．課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程1．知識結構問題1：本章內容為一元函數的導數及其應用，我們可以用哪幾個關鍵詞來描述？師生活動：學生思考后回答：定義、運算、幾何意義、應用追問1：你能用知識結構圖來表示嗎？師生活動：學生獨立完成并展示交流，教師可用多媒體展示．追問2：每一個關鍵詞都有相應的內容，如運算里有導數的求導公式、導數的四則運算法則以及復合函數的導數等，依此思路，你能將上面的知識結構圖再補充上相關的內容嗎？師生活動：學生獨立完成并展示交流，教師可用多媒體展示數列這一部分的擴展結構圖．展示一：展示二：展示三：展示四：追問3：你能將導數的概念、導數的公式以及導數四則運算用結構圖來表示嗎？師生活動：學生分組討論，然后派代表展示．追問4：你能將導數在研究函數的單調性上的應用用結構圖來表示嗎？師生活動：學生分組討論，然后派代表展示．設計意圖：通過畫知識結構圖可以讓學生對本章第一部分內容有個全面認識和掌握．通過給出與一元函數的導數及其應用有關的幾個關鍵詞，然后從這幾個詞出發(fā)，逐漸發(fā)散，把與導數相關的各種概念、特殊函數的導數公式、導數的四則運算等知識逐步列入，從而得到這一部分的知識結構圖．在建立框架時，關鍵詞的提出，以及每個關鍵詞統(tǒng)領的教學內容，對學生尤為重要．2．研究思路問題2：你能簡單描述一下一元函數的導數及其應用的研究過程和方法嗎？師生活動：學生討論并回答，教師補充說明．導數微積分的核心內容之一，是現代數學的基本概念，蘊含著微積分的基本思想；導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數性質的基本工具．在“一元函數的導數及其應用”中，通過豐富的實際背景，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，學習導數的概念及其幾何意義，導數的運算法則；并在運用導數研究函數的性質、解決簡單的實際問題的過程中，體會導數的內涵與思想，感受導數的作用．在本章中，用到了數形結合、分類討論、函數與方程以及轉化與化歸的思想方法．數學運算、邏輯推理這兩大核心素養(yǎng)在本章中體現較多，主要涉及以下內容：（1）導數計算；（2）利用導數研究函數的單調性、極值、最值；（3）函數不等式的證明；（4）恒成立（能成立）的轉化．設計意圖：讓學生對“一元函數的導數及其應用”的研究過程和方法有個大致了解．3．具體內容問題3：你能對本章的主要知識點進行歸納和整理嗎？師生活動：分組討論并回答，教師補充完善．（一）導數的定義：1．（1）函數在處的導數：（2）函數的導數：2．利用定義求導數的步驟：①求函數的增量：；②求平均變化率：；③取極限得導數：（二）導數的運算：（1）基本初等函數的導數公式①；②；；③；④⑤⑥；⑦；⑧（2）導數的四則運算法則：法則1：；(口訣：和與差的導數等于導數的和與差).法則2：(口訣：前導后不導相乘，后導前不導相乘，中間是正號)法則3：(口訣：分母平方要記牢，上導下不導相乘，下導上不導相乘，中間是負號)（3）復合函數的導數求法：①換元，令，則②分別求導再相乘③回代（三）導數的物理意義1.求瞬時速度：物體在時刻時的瞬時速度就是物體運動規(guī)律在時的導數，即有．2.v＝s′(t)表示即時速度．a=v′(t)表示加速度．（四）導數的幾何意義：函數在處導數的幾何意義，曲線在點處切線的斜率是．于是相應的切線方程是：．【方法技巧】用導數求曲線的切線，要注意兩種情況：（1）曲線在點處切線：性質：．相應的切線方程是：（2）曲線過點處切線：先設切點，切點為,則斜率k=，切點在曲線上，切點在切線上，切點坐標代入方程得關于a,b的方程組，解方程組來確定切點，最后求斜率k=，確定切線方程．（五）函數的單調性：設函數在某個區(qū)間內可導，（1）該區(qū)間內為增函數；（2）該區(qū)間內為減函數；注意：當在某個區(qū)間內個別點處為零，在其余點處為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的．（3）在該區(qū)間內單調遞增在該區(qū)間內恒成立；（4）在該區(qū)間內單調遞減在該區(qū)間內恒成立；【方法技巧】1．利用導數證明（或判斷）函數f(x)在某一區(qū)間上單調性：（1）求導數(2)判斷導函數在區(qū)間上的符號(3)下結論①該區(qū)間內為增函數；②該區(qū)間內為減函數；2．利用導數求單調區(qū)間（1）分析的定義域；（2）求導數；（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間．3．利用單調性求參數的取值（轉化為恒成立問題）（1）在該區(qū)間內單調遞增在該區(qū)間內恒成立；在該區(qū)間內單遞減在該區(qū)間內恒成立；（2）先求出函數在定義域上的單調增或減區(qū)間，則已知中限定的單調增或減區(qū)間是定義域上的單調增或減區(qū)間的子集．注意：若函數f（x）在（a，c）上為減函數，在（c，b）上為增函數，則x=c兩側使函數（x）變號，即x=c為函數的一個極值點，所以（六）函數的極值與其導數的關系：1.①極值的定義：設函數在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或，則稱為函數的一個極大（或小）值，為極大（或極小）值點．②可導函數在極值點處的導數為0（即），但函數在某點處的導數為0，并不一定函數在該處取得極值（如在處的導數為0，但調沒有極值）．【方法技巧】求極值的步驟：第一步：求導數；第二步：求方程的所有實根；第三步：列表考察在每個根附近，從左到右，導數的符號如何變化，若的符號由正變負，則是極大值；若的符號由負變正，則是極小值；若的符號不變，則不是極值，不是極值點．2．函數的最值：①最值的定義：若函數在定義域D內存，使得對任意的，都有，（或）則稱為函數的最大（?。┲担涀鳎ɑ颍谌绻瘮翟陂]區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數在閉區(qū)間上必有最大值和最小值．【方法技巧】求可導函數在閉區(qū)間上的最值方法：第一步：求在區(qū)間內的極值；第二步：比較的極值與、的大小：第三步：下結論:最大的為最大值，最小的為最小值．注意點：（1）極值與最值關系：函數的最值是比較整個定義域區(qū)間的函數值得出的，函數的最大值和最小值點可以在極值點、不可導點、區(qū)間的端點處取得．極值≠最值．函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a)、f(b)中最大的一個．最小值為極小值和f(a)、f(b)中最小的一個．（2）函數在定義域上只有一個極值，則它對應一個最值（極大值對應最大值;極小值對應最小值）（3）注意：極大值不一定比極小值大．如的極大值為，極小值為2．（4）當x=x0時，函數有極值f′(x0)＝0．但是，f′(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值；判斷極值，還需結合函數的單調性說明．問題4：你能說說學習本章的主要知識的心得體會嗎？師生活動：分組討論并回答，教師補充完善．1．導數的幾何意義的應用：利用導數的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點．2．圍繞著切點有三個等量關系：切點(x0，y0)，則k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數問題中經常用到．3．利用導數確定參數的取值范圍時，要充分利用fx與其導數f′x之間的對應關系，然后結合函數的單調性等知識求解.求解參數范圍的步驟為：1對含參數的函數fx求導，得到f′x；2若函數fx在a，b上單調遞增，則f′x≥0恒成立；若函數fx在a，b上單調遞減，則f′x≤0恒成立，得到關于參數的不等式，解出參數范圍；3驗證參數范圍中取等號時，是否恒有f′x＝0.若f′x＝0恒成立，則函數fx在a，b上為常函數，舍去此參數值.4.求連續(xù)函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的方法(1)若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增或遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；(2)若函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]內有極值，則要先求出[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．5．已知函數的極值(最值)情況求參數的值(取值范圍)的方法根據極值和最值的關系，與最值有關的問題一般可以轉化為極值問題．已知f(x)在某點x0處有極值，求參數的值(取值范圍)時，應逆向考慮，可先將參數當作常數，按照求極值的一般方法求解，再依據極值與導數的關系，列等式(不等式)求解．6.解決優(yōu)化問題的步驟1要分析問題中各個數量之間的關系，建立適當的函數模型，并確定函數的定義域.2要通過研究相應函數的性質，如單調性、極值與最值，提出優(yōu)化方