第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程學(xué)

習(xí)

目

標123能準確敘述一元二次方程的定義，獨立寫出一般形式；能識別方程中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項；能根據(jù)實際問題列出簡單的一元二次方程。經(jīng)歷“實際問題→數(shù)學(xué)建?！拍钌伞钡倪^程，培養(yǎng)抽象能力；通過辨析實例強化對概念關(guān)鍵特征（a≠0

、整式方程）的理解。感受方程在解決現(xiàn)實問題中的價值，增強應(yīng)用意識；在合作探究中體會數(shù)學(xué)的嚴謹性與邏輯性。新知導(dǎo)入雷鋒雕像在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部(全身)的高度比，可以增加視覺美感。數(shù)學(xué)里的美新知導(dǎo)入ACB2m設(shè)雕像上部的高度AC，下部的高度BC，AB=2米設(shè)雕像下部高xm，得方程：x2=2(2－x)整理得：x2＋2x－4=0①要設(shè)計一座高2m的人體雕像,使它的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比,等于下部與全部的高度比,求雕像的下部應(yīng)設(shè)計為高多少米?

由題意可得：BC2=AC?AB=2AC這個方程與我們學(xué)過的一元一次方程不同，如何解這類方程?如何用這類方程解決一些實際問題?新課探究探究點1認識一元二次方程觀察x2＋2x－4=0這一方程有什么特征？方程等號兩邊都是整式有一個未知數(shù)x

x

的最高次數(shù)是2.特征一元二次像這樣的方程應(yīng)用很廣泛新知探究探究點1認識一元二次方程如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?問題1長100cm寬50cm3600cm2小組討論：（1）為了制作無蓋方盒，鐵皮各角切去的正方形的形狀大小應(yīng)該如何？鐵皮各角切去的正方形應(yīng)大小相同（2）設(shè)切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長、寬各為多少？xcm

盒底的長為（100-2x）cm

，盒底的寬為（50-2x）cm

新知探究探究點1認識一元二次方程如圖，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒。如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?問題1長100cm寬50cm3600cm2小組討論：xcm

（3）根據(jù)方盒的底面積為3600cm2，得什么方程？方程整理后得到什么方程？（100-2x）?（50-2x）=3600

整理方程得：x2-75x+350=0②（4）這一方程有什么特征？方程兩邊都是整式，有一個未知數(shù)x，x的最高次數(shù)是2.新知探究探究點1認識一元二次方程問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽?小組討論：（1）這種比賽形式也叫做單循環(huán)比賽，其比賽場次的特點是什么？比賽場次的特點是任何兩隊之間都要比賽一場，而且只比賽一場。（2）全部比賽的場數(shù)為多少場？全部比賽的場數(shù)為:4×7=28（場）新知探究探究點1認識一元二次方程問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽?小組討論：（3）設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽，每個隊要與其他（）個隊各賽一場；共比賽（）場；可以得到（）方程；整理方程后得到（）方程；x

-1

x2-

x=56③（4）方程兩邊都是（），

有一個未知數(shù)（），未知數(shù)的最高次數(shù)是（）2整式x新知探究探究點1認識一元二次方程方程

①

②

③有什么共同點？(1)方程的兩邊都是_____；(2)

都只含_____個未知數(shù)；(3)

未知數(shù)的最高次數(shù)都是__.x2-

75x＋350

=

0

②x2+

2x

-

4

=

0

①x2

-

x

=

56

③整式12一元二次方程

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。(quadraticequationinoneunknown)典例分析探究點1認識一元二次方程例1．下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A．

ax2+x=2

B．

x2-2x-3=0

C．

x2-xy=2

D．

2（x-1）=x

解：A、當(dāng)a≠0時，是一元二次方程，故該選項不符合題意；B、x2-2x-3=0是一元二次方程，故該選項正確，符合題意；C、

x2-xy=2含有兩位未知數(shù)，故該選項不符合題意；D、

2（x-1）=x

是一元一次方程，故該選項不符合題意．B新知探究探究點認識一元二次方程一般形式和結(jié)構(gòu)辨一辨

一元二次方程的一般形式

一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式,為什么要限制ax2+bx+c=0中a≠0，b,c可以為零嗎？ax2+bx+c=0

(a,b,c為常數(shù)，a≠0）一元二次方程的一般形式.當(dāng)ax2+bx+c=0中a=0，方程左邊沒有二次項，方程變?yōu)橐辉匠?，但b,c可以為零。x2-

x=0c=0x2-

81

=0b=0x2=0b=0,c=0新知探究探究點2認識一元二次方程一般形式和結(jié)構(gòu)

ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)一元二次方程的一般形式二次項一次項常數(shù)項典例分析探究點2認識一元二次方程一般形式和結(jié)構(gòu)例2:將方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項．

3x2－3x=5x+10.移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.二次項系數(shù)a=3，一次項系數(shù)b=－8，常數(shù)項為c=－10.

解：去括號，得系數(shù)和項均包含前面的符號.注意新知探究探究點3一元二次方程的解（根）什么是一元一次方程解？類比你能得出什么是一元二次方程的解嗎？交流討論

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

使一元一次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元一次方程的根.典例分析探究點3一元二次方程的解（根）例3．已知m

是一元二次方程x2-3x-1=0

的一個根，則2023-m2+3m的值是（）A．-2023

B．2023

C．2022

D．2024解：∵m是一元二次方程x2-3x-1=0

的一個根，∴m2-3m=1

∴2023-m2+3m=2023-(m2-3m）=2023-1=2022C求代數(shù)式的值注意觀察，有時需用到整體思想——求解時，將所求代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，再將這個整體代入求值整體代入求值拓展提升1．關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是想x1=-3，x2=2（

a,b,m均為常數(shù)，a≠0，則方程a（x+m+2）2+b=0的解是（）A．x1=-3，x2=2

B．x1=-5，x2=2

C．x1=-1，x2=-4

D．無法求解探究點3一元二次方程的解（根）解：根據(jù)題意得：

方程a（x+m+2）2+b=0看作關(guān)于x+2

的一元二次方程，

∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解：

x1=-3，x2=2

，∴關(guān)于x+2

的一元二次方程a（x+m+2）2+b=0的解：

x1+2=-3，x2+2=2，解得x1=-5，x2=2B整體思想鞏固練習(xí)教材P4練習(xí)1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項:（1）一般式：二次項系數(shù)為５，一次項系數(shù)－4，常數(shù)項－1.（2）一般式：二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)0，常數(shù)項－81.（3）一般式：二次項系數(shù)為4，一次項系數(shù)8，常數(shù)項－25.（4）一般式：二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)－7，常數(shù)項1.解：鞏固練習(xí)教材P4練習(xí)2.根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：（3）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x；（2）一個矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x；（1）4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；解：（1）設(shè)其邊長為x，則面積為x2（2）設(shè)長為x，則寬（x－2）x(x－2)=100.x2－2x－100=0.（3）設(shè)其中的較短一段為x，則另較長一段為（1－x）x2－3x＋1=0.x·1

=(1－x)24x2=25鞏固練習(xí)3.某市2023年投入教育經(jīng)費2

億元，為了發(fā)展教育事業(yè)，該市每年教育經(jīng)費的年增長率均x為，從2023年到2025年共投入教育經(jīng)費7.28億元，則下列方程正確的是（）A．

2x2=7.28

B．

2（1+x）=7.28

C．

2（1+x)2=7.28

D．2+2（1+x）+2（1+x)2=7.28

解：設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，則2024年度的教育經(jīng)費為：2（1+x）

萬元，2025年度的教育經(jīng)費為：2（1+x)2

萬元，依題意可得方程：2+2（1+x）+2（1+x)2=7.28

D真題感知1.(2024·四川眉山·中考真題)眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x

，則可列方程為()B．D．A．C．D

真題感知

A

（1）學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及一般形式；能識別方程中的二次項系數(shù)、