函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.一、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（1）已知函數(shù)f（x）＝e｜x｜－cosx，則f（65），f（0），f（－13）的大小關(guān)系為（BA.f（0）＜f（65）＜f（－1B.f（0）＜f（－13）＜f（6C.f（65）＜f（－13）＜f（D.f（－13）＜f（0）＜f（6解析：（1）∵f（x）＝e｜x｜－cosx，∴f（－x）＝e｜－x｜－cos（－x）＝e｜x｜－cosx＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，∴f（13）＝f（－13）.當(dāng)x＞0時，f（x）＝ex－cosx，則f'（x）＝ex＋sinx，當(dāng)x∈（0，＋∞）時，f'（x）＝ex＋sinx＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f（0）＜f（13）＜f（65），即f（0）＜f（－13）＜（2）（2025·揚(yáng)州模擬）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0]上單調(diào)遞減，f（2）＝0，則不等式f（x－1）f（x）＜0的解集是（D）A.（－2，2） B.（－∞，－2）∪（1，2）C.（－∞，－1）∪（0，3） D.（－2，－1）∪（2，3）解析：（2）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（－2）＝f（2）＝0，當(dāng)－2＜x＜2時，f（x）＜0，當(dāng)x＜－2或x＞2時，f（x）＞0，若f（x－1）f（x）＜0，則f（x－1）<0，f（x）>0或f（x－1）>0，f（x）<0.當(dāng)f（x－1）<0，f（x規(guī)律方法綜合應(yīng)用奇偶性與單調(diào)性的解題技巧（1）比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f（x1）＞f（x2）的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1＜x2（或x1＞x2）求解.二、函數(shù)的奇偶性與周期性（1）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x＋2）為偶函數(shù)，f（2x＋1）為奇函數(shù)，則（B）A.f－12＝0 B.f（－1C.f（2）＝0 D.f（4）＝0解析：（1）因為f（x＋2）為偶函數(shù)，則f（2＋x）＝f（2－x），可得f（x＋3）＝f（1－x），又函數(shù)f（2x＋1）為奇函數(shù)，則f（1－2x）＝－f（2x＋1），所以f（1－x）＝－f（x＋1），所以f（x＋3）＝－f（x＋1）＝f（x－1），即f（x）＝f（x＋4），故函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)F（x）＝f（2x＋1）為奇函數(shù)，則F（0）＝f（1）＝0，故f（－1）＝－f（1）＝0，故選B.（2）〔多選〕函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x＋1）與f（x－1）都是偶函數(shù)，則（CD）A.f（x）是偶函數(shù) B.f（x）是奇函數(shù)C.f（x＋3）是偶函數(shù) D.f（x）＝f（x＋4）解析：（2）∵f（x＋1）是偶函數(shù)，∴f（－x＋1）＝f（x＋1），從而f（－x）＝f（x＋2）.∵f（x－1）是偶函數(shù)，∴f（－x－1）＝f（x－1），從而f（－x）＝f（x－2）.∴f（x＋2）＝f（x－2），即f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù).∵f（－x－1）＝f（x－1），∴f（－x－1＋4）＝f（x－1＋4），即f（－x＋3）＝f（x＋3），∴f（x＋3）是偶函數(shù).規(guī)律方法綜合應(yīng)用奇偶性與周期性的解題技巧周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.三、函數(shù)的奇偶性與對稱性〔多選〕（2025·長沙模擬）若定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2－x）＝f（x），在區(qū)間（0，1）上，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）中心對稱B.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2軸對稱C.在區(qū)間（2，3）上，f（x）單調(diào)遞減D.f（－72）＞f（2解析：ACf（4－x）＝f（2－（x－2））＝f（x－2）＝－f（2－x）＝－f（x），即f（4－x）＋f（x）＝0，故f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）中心對稱，A正確；∵f（2－x）＝f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，B錯誤；根據(jù)題意可得，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，∵f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1軸對稱，關(guān)于點（2，0）中心對稱，則f（x）在（2，3）上單調(diào)遞減，故C正確；又∵f（x）＝f（2－x）＝－f（x－2），則f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），可知f（x）的周期為4，則f（－72）＝f（12）＜f（23），故規(guī)律方法由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡求值、比較大小等.四、函數(shù)的對稱性與周期性〔多選〕（2025·鹽城模擬）已知非常數(shù)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）＝f（x＋1）為偶函數(shù)，下列說法正確的有（）A.f（x）的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱B.g（2025）＝0C.g（x）的最小正周期為4D.對任意x∈R都有f（2－x）＝f（x）解析：ABD因為f（x）為R上的奇函數(shù)，且g（x）＝f（x＋1）為偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于（0，0）中心對稱，且直線x＝1為對稱軸，所以直線x＝－1也是對稱軸，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以f（x）＝f（2－x），A、D正確；由A分析知f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），故f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），所以f（x）是一個周期為4的周期函數(shù)，則g（2025）＝f（2026）＝f（2）＝f（0）＝0，B正確；但不能說明g（x）的最小正周期為4，C錯誤.規(guī)律方法綜合應(yīng)用對稱性與周期性的解題技巧函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f（x）滿足的關(guān)系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.1.（2025·杭州調(diào)研）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞減，且f（3）＝0，則不等式（2x－5）f（x－1）＜0的解集為（）A.（－∞，－2）∪（52，4） B.（4，＋∞C.（－2，52）∪（4，＋∞） D.（－∞，－2解析：C因為f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，＋∞）上單調(diào)遞減，且f（3）＝0，所以f（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞增，且f（－3）＝0，函數(shù)的大致圖象如圖，則當(dāng)x＜－3或x＞3時，f（x）＜0；當(dāng)－3＜x＜3時，f（x）＞0，不等式（2x－5）f（x－1）＜0化為2x－5>0，f（x－1）<0或2x－5<0，f（x－1）>0，所以2x－5>0，x－1>3或22.（2025·保定一模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件：①f（x）的周期為2；②f（x－2）為奇函數(shù)；③當(dāng)x∈[0，1）時，f（x1)?f（x2）x1－x2＞0（x1≠x2）恒成立.則f（－15A.f（112）＞f（4）＞f（－15B.f（4）＞f（112）＞f（－15C.f（－152）＞f（4）＞f（11D.f（－152）＞f（112）＞f（解析：C因為f（x－2）為奇函數(shù)，f（x）的周期為2，所以f（x）為奇函數(shù)，因為當(dāng)x∈[0，1）時，f（x1)?f（x2）x1－x2＞0，所以f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在（－1，0）上單調(diào)遞增，所以f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增，因為f（－152）＝f（－152＋2×4）＝f（12），f（4）＝f（4－2×2）＝f（0），f（112）＝f（112－2×3）＝f（－12），所以f（12）＞f（0）＞f3.（2025·新鄉(xiāng)2月測試）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則下列函數(shù)的圖象一定關(guān)于點（－1，0）成中心對稱的是（）A.y＝（x－1）f（x－1） B.y＝（x＋1）f（x＋1）C.y＝xf（x）＋1 D.y＝xf（x）－1解析：B構(gòu)造函數(shù)g（x）＝xf（x），該函數(shù)的定義域為R，所以g（－x）＝－xf（－x）＝－xf（x）＝－g（x），函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，故函數(shù)g（x）圖象的對稱中心為坐標(biāo)原點.對于A選項，函數(shù)y＝（x－1）f（x－1）的圖象由函數(shù)g（x）的圖象向右平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝（x－1）f（x－1）圖象的對稱中心為（1，0）；對于B選項，函數(shù)y＝（x＋1）f（x＋1）的圖象由函數(shù)g（x）的圖象向左平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝（x＋1）f（x＋1）圖象的對稱中心為（－1，0）；對于C選項，函數(shù)y＝xf（x）＋1的圖象由函數(shù)g（x）的圖象向上平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf（x）＋1圖象的對稱中心為（0，1）；對于D選項，函數(shù)y＝xf（x）－1的圖象由函數(shù)g（x）的圖象向下平移1個單位長度得到，故函數(shù)y＝xf（x）－1圖象的對稱中心為（0，－1）.4.已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，f（2x＋1）是奇函數(shù)，且f（x）＋g（3－x）＝－4，y＝g（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，f（4）＝2，則f（22）＋g（24）＝（）A.4 B.8C.－4 D.－6解析：D因為y＝g（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，所以g（3－x）＝g（x－1）.因為f（x）＋g（3－x）＝－4①，所以f（4－x）＋g（3－（4－x））＝－4，即f（4－x）＋g（x－1）＝－4②，①－②得，f（x）＝f（4－x），所以y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝2對稱.令h（x）＝f（2x＋1），則h（x）是奇函數(shù)，所以h（x2）＋h（－x2）＝f（x＋1）＋f（－x＋1）＝0，即f（x＋1）＝－f（－x＋1），所以f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，所以f（4－x）＝－f（x－2），所以f（x）＝－f（x－2）＝f（x－4），所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù).因為f（x）＋g（x－1）＝－4，所以g（x）＝－4－f（x＋1）.因為f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，所以g（x）也是以4為周期的周期函數(shù)，取x＝0，f（1）＝－f（1），所以f（1）＝0.因為f（4）＝2，所以f（0）＝2，所以f（2）＝－f（0）＝－2，f（3）＝f（1）＝0.取x＝3，所以f（3）＋g（0）＝－4，所以g（0）＝－4，所以f（22）＋g（24）＝f（2）＋g（0）＝－2－4＝－6，故選5.〔多選〕已知定義域為R的函數(shù)f（x）在（－1，0]上單調(diào)遞增，f（1＋x）＝f（1－x），且圖象關(guān)于點（2，0）對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.f（0）＝f（2）B.f（x）的最小正周期T＝2C.f（x）在（1，2]上單調(diào)遞減D.f（2023）＞f（2024）＞f（2025）解析：AC由f（1＋x）＝f（1－x）知，f（x）圖象的對稱軸為直線x＝1，所以f（0）＝f（2），故A正確；由f（1＋x）＝f（1－x）知，f（2＋x）＝f（－x），又圖象關(guān)于點（2，0）對稱，即f（2＋x）＝－f（2－x），故f（4＋x）＝－f（－x），所以－f（2＋x）＝f（4＋x），即－f（x）＝f（2＋x），所以f（x）＝f（x＋4），f（x）的最小正周期為4，故B錯誤；因為f（x）在（－1，0]上單調(diào)遞增，且T＝4，所以f（x）在（3，4]上單調(diào)遞增，又圖象關(guān)于點（2，0）對稱，所以f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，因為f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f（x）在（1，2]上單調(diào)遞減，故C正確；根據(jù)f（x）的周期為4，可得f（2023）＝f（－1），f（2024）＝f（0），f（2025）＝f（1），由C選項的分析可知，函數(shù)f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，在（－1，0]上單調(diào)遞增，所以f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增，所以f（1）＞f（0）＞f（－1），則f（2025）＞f（2024）＞f（2023），故D錯誤.6.（2025·滄州一模）已知函數(shù)f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），若實數(shù)a滿足f（a）＋f（1－2a）＞0，則a的取值范圍是（0，1）.解析：