全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試大綱與重點(diǎn)一、競(jìng)賽概述全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽是由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦的國(guó)家級(jí)學(xué)科競(jìng)賽，旨在選拔具有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教育的深化與拓展。競(jìng)賽分為省級(jí)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱“聯(lián)賽”）和中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（簡(jiǎn)稱“CMO”，即決賽）兩個(gè)層級(jí)：聯(lián)賽：面向全國(guó)高中生，分為一試（基礎(chǔ)綜合）和二試（高級(jí)專題），是CMO的選拔賽；CMO：由聯(lián)賽優(yōu)秀選手組成，是中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的最高級(jí)別，也是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）的國(guó)內(nèi)選拔賽。二、聯(lián)賽（省級(jí)賽區(qū)）考試大綱與重點(diǎn)聯(lián)賽是競(jìng)賽體系的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)的深度理解與靈活應(yīng)用，同時(shí)滲透競(jìng)賽特有的思維方法（如構(gòu)造法、放縮法、反證法）。（一）一試：基礎(chǔ)綜合能力測(cè)試一試為120分鐘，題型包括選擇題、填空題和解答題，覆蓋高中數(shù)學(xué)全部核心內(nèi)容，但難度高于高考，強(qiáng)調(diào)解題速度與準(zhǔn)確性。1.代數(shù)部分函數(shù)：重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性（如抽象函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)）、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（求極值、切線方程、不等式證明）、復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)（如含絕對(duì)值的函數(shù)）。數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式；遞推數(shù)列（線性遞推如\(a_{n+1}=pa_n+q\)、非線性遞推如\(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\)）、數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分組求和）、數(shù)列不等式（放縮法、數(shù)學(xué)歸納法）。不等式：均值不等式（算術(shù)-幾何均值、調(diào)和-算術(shù)均值）、柯西不等式（向量形式與代數(shù)形式）、排序不等式、絕對(duì)值不等式（如三角不等式）、分式不等式與高次不等式（如穿針引線法）。復(fù)數(shù)與向量：復(fù)數(shù)的三角形式（模與輻角的運(yùn)算）、復(fù)數(shù)的幾何意義（復(fù)平面與向量對(duì)應(yīng)關(guān)系）；向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）、坐標(biāo)運(yùn)算（如用向量證明平行/垂直）、向量分解（基底法）。2.幾何部分立體幾何：空間線面關(guān)系（平行、垂直的判定與性質(zhì)）、空間向量（用坐標(biāo)法求解線面角、二面角）、體積與表面積（如棱錐、球的體積）。解析幾何：圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義與性質(zhì)（如焦半徑、離心率）、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（聯(lián)立方程、判別式、韋達(dá)定理）、軌跡方程（參數(shù)法、代入法）。3.數(shù)論與組合部分?jǐn)?shù)論初步：整數(shù)的整除性（如最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、歐幾里得算法）、同余（模運(yùn)算、剩余類）、素?cái)?shù)與合數(shù)（如素因數(shù)分解、費(fèi)馬小定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用）。組合計(jì)數(shù)：排列與組合（可重排列、圓排列、錯(cuò)位排列）、容斥原理（如計(jì)算有限集合的并集元素個(gè)數(shù)）、抽屜原理（簡(jiǎn)單應(yīng)用，如“n+1個(gè)元素放入n個(gè)抽屜”）。（二）二試：高級(jí)專題能力測(cè)試二試為180分鐘，共4道解答題（各50分），分別對(duì)應(yīng)代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四個(gè)板塊，是聯(lián)賽的核心區(qū)分點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理與創(chuàng)新思維。1.代數(shù)板塊多項(xiàng)式：多項(xiàng)式的整除性（如因式定理、余式定理）、不可約多項(xiàng)式（Eisenstein判別法）、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）。不等式：高級(jí)不等式的應(yīng)用（如赫爾德不等式、冪平均不等式）、不等式的放縮技巧（如裂項(xiàng)放縮、利用函數(shù)單調(diào)性放縮）。函數(shù)方程：簡(jiǎn)單函數(shù)方程的求解（如代入法、換元法、柯西函數(shù)方程）。2.幾何板塊平面幾何：重點(diǎn)考查經(jīng)典定理（梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、歐拉定理）、幾何變換（旋轉(zhuǎn)、反射、位似）、三角形五心（重心、垂心、外心、內(nèi)心、旁心）的性質(zhì)。解題技巧：輔助線構(gòu)造（如延長(zhǎng)線段構(gòu)造全等三角形、作垂線利用勾股定理）、面積法（如割補(bǔ)法、三角函數(shù)面積公式）、復(fù)數(shù)/向量法（將幾何問(wèn)題代數(shù)化）。3.數(shù)論板塊整數(shù)性質(zhì)：同余方程（如線性同余方程、中國(guó)剩余定理）、素?cái)?shù)分布（如素?cái)?shù)定理的初步應(yīng)用）、歐拉函數(shù)（\(\phi(n)\)的性質(zhì)與計(jì)算）。不定方程：一次不定方程（\(ax+by=c\)的解的結(jié)構(gòu)）、二次不定方程（如佩爾方程\(x^2-dy^2=1\)的基本解）、高次不定方程（如費(fèi)馬方程\(x^n+y^n=z^n\)的特殊情況）。4.組合板塊組合計(jì)數(shù)：生成函數(shù)（普通生成函數(shù)與指數(shù)生成函數(shù)，如求解遞推關(guān)系）、斯特林?jǐn)?shù)（第一類與第二類斯特林?jǐn)?shù)的應(yīng)用）。組合設(shè)計(jì)：抽屜原理（加強(qiáng)版，如“每個(gè)抽屜最多放k個(gè)元素”）、極端原理（考慮最大/最小元素）、圖論初步（樹(shù)的性質(zhì)、圖的連通性）。三、決賽（CMO）考試大綱與重點(diǎn)CMO是聯(lián)賽的延伸，難度接近IMO，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)初步知識(shí)的掌握與綜合應(yīng)用能力。（一）代數(shù)部分抽象代數(shù)：群論初步（群的定義、子群、Lagrange定理、循環(huán)群）、多項(xiàng)式環(huán)（不可約多項(xiàng)式的判定、因式分解）。線性代數(shù)：矩陣的行列式（性質(zhì)與計(jì)算）、線性空間（基與維數(shù)、線性變換）、特征值與特征向量（應(yīng)用于遞推數(shù)列）。（二）幾何部分立體幾何：空間幾何定理（如空間向量的叉積、多面體的歐拉公式）、球面幾何（球面三角形的邊角關(guān)系、球面距離）。射影幾何：射影平面（齊次坐標(biāo)）、對(duì)偶原理（點(diǎn)與線的對(duì)偶關(guān)系）、交比（projectivegeometry的核心概念）。（三）數(shù)論部分高級(jí)數(shù)論：二次剩余（勒讓德符號(hào)、二次互反律）、原根（存在性與性質(zhì)）、莫比烏斯反演（數(shù)論函數(shù)的卷積）。丟番圖方程：橢圓曲線初步（如\(y^2=x^3+ax+b\)的整數(shù)解）、費(fèi)馬大定理的特殊情況（如\(n=3,4\)時(shí)的證明）。（四）組合部分圖論：圖的染色問(wèn)題（頂點(diǎn)染色、邊染色、四色定理）、平面圖（歐拉公式、庫(kù)拉托夫斯基定理）、組合博弈論（Nim游戲、SG函數(shù)）。組合設(shè)計(jì)：平衡不完全區(qū)組設(shè)計(jì)（BIBD）、Steiner系統(tǒng)（如Steiner三元系）。四、核心重點(diǎn)與備考策略（一）各階段核心重點(diǎn)提煉聯(lián)賽一試：核心是“基礎(chǔ)扎實(shí)”，重點(diǎn)掌握函數(shù)、數(shù)列、解析幾何的常規(guī)題型，提高解題速度（如10分鐘內(nèi)完成一道選擇題）。聯(lián)賽二試：核心是“專題突破”，每個(gè)板塊（代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合）都有?？碱}型（如幾何中的“共點(diǎn)線”問(wèn)題、數(shù)論中的“同余分析”問(wèn)題），需總結(jié)解題模板。CMO：核心是“知識(shí)拓展”，重點(diǎn)學(xué)習(xí)抽象代數(shù)、線性代數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)“創(chuàng)新思維”（如構(gòu)造反例、推廣已知結(jié)論）。（二）備考策略與技巧1.基礎(chǔ)階段（高一至高二上）構(gòu)建體系：復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容（如函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的遞推關(guān)系），同時(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)（如柯西不等式、梅涅勞斯定理）。教材推薦：《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)教程》（一試）、《數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書》（二試專題）。2.強(qiáng)化階段（高二下至高三上）專題突破：分板塊復(fù)習(xí)二試內(nèi)容（如用1個(gè)月復(fù)習(xí)幾何定理，1個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)論同余），做大量競(jìng)賽題（如歷年聯(lián)賽二試真題、《IMO預(yù)選題》）。技巧總結(jié)：整理“錯(cuò)題本”，記錄典型題型與解題技巧（如“幾何中的旋轉(zhuǎn)法適用于等腰三角形問(wèn)題”）。3.沖刺階段（高三上）真題模擬：按照聯(lián)賽/CMO的時(shí)間要求做模擬題（如每周做1套聯(lián)賽二試真題），適應(yīng)考試節(jié)奏。思維提升：參加競(jìng)賽培訓(xùn)或小組討論，學(xué)習(xí)“一題多解”（如用幾何法與代數(shù)法解決同一道題），培養(yǎng)靈活思維。五、結(jié)語(yǔ)全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽不僅是一場(chǎng)考試，更