二、二重積分的性質(zhì)一、二重積分的定義第8.6節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)問題的提出：回想：定積分中會求平行截面面積為已知的旋轉(zhuǎn)體體積。一般立體的體積如何求？１．曲頂柱體的體積設(shè)有一立體，它的底是平面上的有界閉區(qū)域它的側(cè)面是以的邊界曲線為準線而母線平行于的一、二重積分的定義柱面，此立體稱為曲頂柱體。這里且在上連續(xù)。它的頂是曲面柱體體積=特點：平頂.曲頂柱體體積=曲頂柱體特點：曲頂.分析：底面積×高？回憶：曲邊梯形面積如何求？思想是以直代曲、以不變代變。如何創(chuàng)造條件使平與曲這對矛盾轉(zhuǎn)化？播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：2)用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，1)先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，3)

曲頂柱體的體積設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域其中表示第個小閉區(qū)域，也表示它的面積，2)作乘積

3)求和上任取一點在每個1)二重積分定義積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素零時，這和式的極限存在；即如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于記為4)二重積分，在閉區(qū)域上的則稱此極限為函數(shù)對二重積分定義的說明：(1)

在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的；在小區(qū)域內(nèi)的點的取法是任意的。(2)二重積分中面積元素象征著積分和中的因此

在直角坐標(biāo)系下用平行于D則面積元素為(3)坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域故在直角坐標(biāo)系下二重積分可寫為中是()(A)最大小區(qū)間長(B)小區(qū)域最大面積(C)小區(qū)域直徑(D)最大小區(qū)域直徑D選擇題若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則上的二重積分在D上的二重積分存在。1)當(dāng)時，二重積分表示以為底的曲頂柱體體積。為頂，以此時，二重積分表示曲頂柱體體積的負值。2)當(dāng)被積函數(shù)時，柱體在面下方，二重積分的存在定理二重積分的幾何意義3)當(dāng)在的若干部分區(qū)域上是正的，而在其它部分區(qū)域上是負的，體積取為正，面下方的柱體體積取為負，在上的二重積分就等于這些區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和。例設(shè)為圓域二重積分則面上方的柱體可以把二、二重積分的性質(zhì)

為D的面積,則可加性線性運算特別,由于則4.若在D上推論設(shè)D的面積為

,則有保序性5.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此6.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.

區(qū)域：關(guān)于某變量的軸對稱,

函數(shù)：關(guān)于另一變量有奇偶性,“偶倍奇零”如：例1.比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上例2設(shè)D為圓域，求二重積分解:被積函數(shù)表示球心在（0,0,0）點半徑為1的上半球面，積分區(qū)域D恰好為上半球面在平面上的投影區(qū)域.表示以圓域D為底，以上半球面為頂?shù)陌肭虻捏w積.故例3設(shè)D為圓域，求二重積分解:積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)第一項關(guān)于x是奇函數(shù)，因此故二重積分內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

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求曲頂柱體的體積采用“分割、近似求和、取極限”的方法，