高職高考數(shù)學(xué)專題數(shù)列專項(xiàng)訓(xùn)練引言數(shù)列是高職高考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一，通常占15%-20%的分值（具體以當(dāng)年大綱為準(zhǔn)）?？疾橹攸c(diǎn)集中在等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列求和的常用方法（分組、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消）。數(shù)列問題注重邏輯推理與運(yùn)算能力的結(jié)合，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)水平的關(guān)鍵模塊。本文將從基礎(chǔ)概念、核心題型、解題技巧、綜合應(yīng)用四個(gè)維度展開，結(jié)合高職高考真題風(fēng)格設(shè)計(jì)例題與訓(xùn)練題，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破數(shù)列難點(diǎn)。一、數(shù)列的基本概念數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作$\{a_n\}$，其中$a_n$稱為第$n$項(xiàng)（通項(xiàng)），$n$為項(xiàng)數(shù)（正整數(shù)）。1.1通項(xiàng)公式與遞推公式通項(xiàng)公式：表示$a_n$與$n$之間的函數(shù)關(guān)系，形如$a_n=f(n)$（如等差數(shù)列$a_n=2n-1$）。遞推公式：表示相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，需結(jié)合初始條件求通項(xiàng)（如$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$，推導(dǎo)得$a_n=2n-1$）。例題：已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_n=a_{n-1}+4$（$n\geq2$），求$a_5$。解：由遞推公式得$a_2=a_1+4=7$，$a_3=11$，$a_4=15$，$a_5=19$。技巧：遞推公式為線性關(guān)系（如$a_n=a_{n-1}+d$）時(shí)，可通過累加求通項(xiàng)。二、等差數(shù)列：定義、通項(xiàng)與求和2.1定義與通項(xiàng)公式定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù)（公差$d$），即$a_n-a_{n-1}=d$（$n\geq2$）。通項(xiàng)公式：$a_n=a_1+(n-1)d$（$a_1$為首項(xiàng)，$d$為公差）。例題：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，求$a_1$與$d$，并求$a_{10}$。解：設(shè)公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}$，解得$a_1=1$，$d=2$。故$a_{10}=1+9\times2=19$。技巧：求等差數(shù)列通項(xiàng)，關(guān)鍵是通過方程組求$a_1$和$d$。2.2前$n$項(xiàng)和公式公式推導(dǎo)：利用倒序相加法（如$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，$S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$，相加得$2S_n=n(a_1+a_n)$）。基本形式：1.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$（已知首項(xiàng)、末項(xiàng)）；2.$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$（已知首項(xiàng)、公差）。例題：等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$d=3$，求$S_{10}$。解：$S_{10}=10\times2+\frac{10\times9}{2}\times3=20+135=155$。技巧：若已知$a_m$和$a_k$，可通過$a_m=a_1+(m-1)d$、$a_k=a_1+(k-1)d$聯(lián)立求$a_1$和$d$。三、等比數(shù)列：定義、通項(xiàng)與求和3.1定義與通項(xiàng)公式定義：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為非零常數(shù)（公比$q$），即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$（$n\geq2$，$q\neq0$）。通項(xiàng)公式：$a_n=a_1q^{n-1}$（$a_1$為首項(xiàng)，$q$為公比）。例題：已知等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_2=4$，$a_4=16$，求$a_1$與$q$，并求$a_5$。解：設(shè)公比為$q$，則$\begin{cases}a_1q=4\\a_1q^3=16\end{cases}$，兩式相除得$q^2=4$，故$q=2$（$q=-2$舍去，因高職高考多考正公比），$a_1=2$。$a_5=a_4q=32$。技巧：求等比數(shù)列通項(xiàng)，關(guān)鍵是通過方程組求$a_1$和$q$；注意$q=1$時(shí)為常數(shù)列（$a_n=a_1$）。3.2前$n$項(xiàng)和公式公式推導(dǎo)：利用錯(cuò)位相減法（如$S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$，$qS_n=a_1q+\cdots+a_1q^n$，相減得$S_n(1-q)=a_1(1-q^n)$）?；拘问剑?.$S_n=na_1$（$q=1$，常數(shù)列）；2.$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$）。例題：等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$q=2$，求$S_5$。解：$S_5=\frac{1\times(1-2^5)}{1-2}=31$（或直接計(jì)算$1+2+4+8+16=31$）。技巧：若$q>1$，可變形為$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$，避免負(fù)數(shù)運(yùn)算。四、數(shù)列求和的常用方法高職高考中，數(shù)列求和的難度集中在非等差、等比數(shù)列的求和，需掌握以下三種方法：4.1分組求和法適用場景：數(shù)列由多個(gè)等差/等比數(shù)列或常數(shù)項(xiàng)組成（如$a_n=2n+3^n$，$b_n=5-2^n$）。解題步驟：將數(shù)列拆分為多個(gè)易求和的子數(shù)列，分別求和后相加。例題：求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_n=3n+2^n$。解：$S_n=\sum_{k=1}^n(3k+2^k)=3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n2^k$等差數(shù)列求和：$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$；等比數(shù)列求和：$\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2$；故$S_n=3\times\frac{n(n+1)}{2}+(2^{n+1}-2)=\frac{3n(n+1)}{2}+2^{n+1}-2$。4.2錯(cuò)位相減法適用場景：數(shù)列由等差數(shù)列×等比數(shù)列組成（如$a_n=n\times2^n$，$b_n=(2n-1)\times3^n$）。解題步驟：1.寫出$S_n$的表達(dá)式（含$n$項(xiàng)）；2.乘以等比數(shù)列的公比$q$，得到$qS_n$；3.用$S_n-qS_n$（或$qS_n-S_n$），消去中間項(xiàng)；4.化簡得到$S_n$。例題：求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_n=n\times3^n$。解：$S_n=1\times3+2\times3^2+3\times3^3+\cdots+n\times3^n$①$3S_n=1\times3^2+2\times3^3+\cdots+(n-1)\times3^n+n\times3^{n+1}$②①-②得：$-2S_n=3+3^2+3^3+\cdots+3^n-n\times3^{n+1}$等比數(shù)列求和：$3+3^2+\cdots+3^n=\frac{3(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}$；故$-2S_n=\frac{3^{n+1}-3}{2}-n\times3^{n+1}$，兩邊除以$-2$得：$S_n=\frac{(2n-1)\times3^{n+1}+3}{4}$。4.3裂項(xiàng)相消法適用場景：數(shù)列的通項(xiàng)為分式形式，且分母為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積（如$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，$b_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$）。解題步驟：將通項(xiàng)裂分為兩個(gè)分式的差，求和時(shí)中間項(xiàng)抵消，僅保留首尾項(xiàng)。常見裂項(xiàng)形式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$；$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（根號型裂項(xiàng)）。例題：求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$。解：$a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，故$S_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$中間項(xiàng)抵消后，$S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。五、綜合應(yīng)用：數(shù)列與實(shí)際問題高職高考中，數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用主要涉及增長率問題（等比數(shù)列）、累加問題（等差數(shù)列），需將實(shí)際場景轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型。5.1增長率問題（等比數(shù)列）例：某企業(yè)2023年利潤為100萬元，計(jì)劃每年利潤增長10%（即下一年利潤是上一年的1.1倍），求2025年的利潤及____年的總利潤。解：2023年利潤$a_1=100$萬元，公比$q=1.1$；2025年為第3項(xiàng)，$a_3=a_1q^2=100\times1.1^2=121$萬元；總利潤$S_3=\frac{100\times(1-1.1^3)}{1-1.1}=331$萬元（或直接計(jì)算$100+110+121=331$）。5.2累加問題（等差數(shù)列）例：某倉庫堆放貨物，第一層放10件，第二層放12件，第三層放14件，依此類推，每層比上一層多放2件，求第5層的貨物數(shù)量及前5層的總數(shù)量。解：第$n$層貨物數(shù)量為等差數(shù)列，$a_1=10$，$d=2$，故$a_5=10+(5-1)\times2=18$件；前5層總數(shù)量$S_5=\frac{5\times(10+18)}{2}=70$件（或直接計(jì)算$10+12+14+16+18=70$）。六、專項(xiàng)訓(xùn)練題6.1選擇題（每題4分）1.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$d=2$，則$a_6=$（）A.13B.15C.17D.192.等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$q=3$，則$S_4=$（）A.80B.81C.82D.833.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)$a_n=2n-1+3^n$，則$S_2=$（）A.14B.16C.18D.206.2填空題（每題4分）1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_3=7$，$a_5=11$，則公差$d=$______；2.等比數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_2=6$，$a_4=24$，則公比$q=$______；3.數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2+2n$，則$a_3=$______。6.3解答題（每題10分）1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，$a_4=14$，求通項(xiàng)公式$a_n$及前$n$項(xiàng)和$S_n$。2.求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_n=n+2^n$。3.求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，其中$a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$。七、訓(xùn)練題答案與解析6.1選擇題1.A（$a_6=3+(6-1)\times2=13$）；2.C（$S_4=\frac{2\times(1-3^4)}{1-3}=82$）；3.B（$S_2=(1+3)+(2+4)=4+6=10$？不，等一下，$a_1=2\times1-1+3^1=1+3=4$，$a_2=2\times2-1+3^2=3+9=12$，所以$S_2=4+12=16$，選B）。6.2填空題1.2（$d=\frac{a_5-a_3}{5-3}=\frac{11-7}{2}=2$）；2.2（$q^2=\frac{a_4}{a_2}=4$，$q=2$）；3.9（$a_3=S_3-S_2=(9+6)-(4+4)=15-8=7$？不，$S_n=n^2+2n$，$a_3=S_3-S_2=(3^2+2\times3)-(2^2+2\times2)=15-8=7$？等一下，題目說$S_n=n^2+2n$，則$a_1=S_1=1+2=3$，$a_2=S_2-S_1=(4+4)-3=5$，$a_3=S_3-S_2=(9+6)-8=7$，對，答案是7）。6.3解答題1.解：設(shè)等差數(shù)列公差為$d$，則$a_4=a_1+3d$→14=5+3d→$d=3$；通項(xiàng)公式$a_n=5+(n-1)\times3=3n+2$；前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(5+3n+2)}{2}=\frac{n(3n+7)}{2}$。2.解：$S_n=\sum_{k=1}^n(k+2^k)=\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n2^k$；$\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$，$\sum_{k=1}^n2^k=2^{n+1}-2$；故$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+2^{n+1}-2$。3.解：$a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$；$S_n=(\f