黑龍江省虎林市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專項(xiàng)練習(xí)考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m和n（m＜n），過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則（）A．m2+2mn+n2=0 B．m2﹣2mn+n2=0 C．m2+2mn﹣n2=0 D．m2﹣2mn﹣n2=02、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm3、我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．水深、葭長(zhǎng)各幾何？”．其大意是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺(丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺)的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？若設(shè)這跟蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為x尺，根據(jù)題意，所列方程正確的是(

)A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2＝(x＋1)2C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2＝(x＋1)24、我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為尺，將它向前水平推送尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．5、△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC的面積是（

）A．65 B．60 C．30 D．266、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．77、如圖，所有陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面積依次為2，4，3，則正方形D的面積為()A．9 B．8 C．27 D．45第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，在中，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．2、如圖，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高18cm，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開(kāi)口1cm的F處有一蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度為_(kāi)_________cm（容器壁厚度忽略不計(jì)）．3、如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點(diǎn)E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為_(kāi)_．4、如圖，某農(nóng)舍的大門是一個(gè)木制的長(zhǎng)方形柵欄，它的高為2m，寬為1.5m，現(xiàn)需要在相對(duì)的頂點(diǎn)間用一塊木板加固，則木板的長(zhǎng)為_(kāi)_______．5、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．6、如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．7、圖，在菱形ABCD中，，是銳角，于點(diǎn)E，M是AB的中點(diǎn)，連接MD，若，則的值為_(kāi)_____．8、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是__．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一組勾股數(shù)，求m的值．2、我們知道，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．（1）如圖1，點(diǎn)P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準(zhǔn)外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長(zhǎng)．3、如圖，在四邊形中，，，于，（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．4、如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．5、如圖，高速公路上有A，B兩點(diǎn)相距10km，C，D為兩村莊，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C，D兩村莊到E站的距離相等，求BE的長(zhǎng)．6、如圖所示，在中，，，，為邊上的中點(diǎn).（1）求、的長(zhǎng)度；（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長(zhǎng)度.7、在邊長(zhǎng)為8的等邊ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且CE=2AD，射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交BC邊于F．（1）如圖1，求證：∠AED=∠BDF；（2）如圖2，在射線DF上取DP=DE，連接BP，①求∠DBP的度數(shù)；②取邊BC的中點(diǎn)M，當(dāng)PM取最小值時(shí)，求AD的長(zhǎng).-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得m2+m2=（n-m）2，整理即可求解【詳解】m2+m2=（n﹣m）2，2m2=n2﹣2mn+m2，m2+2mn﹣n2=0．故選C.2、B【解析】【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選B．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開(kāi)圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．3、C【解析】【分析】設(shè)這跟蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為x尺，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：設(shè)這跟蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為x尺，根據(jù)題意得：52＋(x－1)2＝x2故選：C【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4、C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意知：OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：[x-（5-1）]2+102=x2．即．故選：C．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，進(jìn)而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理證明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC==30．故選：C．【考點(diǎn)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及勾股定理逆定理，熟練掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．6、A【解析】【詳解】解：由勾股定理的幾何意義可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故選A．【考點(diǎn)】勾股定理包含幾何與數(shù)論兩個(gè)方面，幾何方面，一個(gè)直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和．這里，邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積．7、A【解析】【分析】設(shè)正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程2+4=x-3，求出即可．【詳解】∵正方形A、B、C的面積依次為2、4、3，∴根據(jù)圖形得：2+4=x?3．解得：x=9．故選A．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，根據(jù)圖形推出四個(gè)正方形的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題1、【解析】【分析】過(guò)作，為垂足，通過(guò)已知條件可以求得，，從而求得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過(guò)作，為垂足，，又，，又，，在與中，，，，∴，在中，，設(shè)，則由勾股定理可得即解得故答案為．【考點(diǎn)】此題主要考查了三角形全等的證明方法和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，利用已知條件合理構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．2、34【解析】【分析】首先展開(kāi)圓柱的側(cè)面，即是矩形，接下來(lái)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知CF的長(zhǎng)即為所求；然后結(jié)合已知條件求出DF與CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖為圓柱形玻璃容器的側(cè)面展開(kāi)圖，線段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根據(jù)題意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路線的長(zhǎng)度是34cm.故答案為34.【考點(diǎn)】此題是有關(guān)最短路徑的問(wèn)題，關(guān)鍵在于把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，找出最短路徑；3、3或6【解析】【分析】分兩種情況分別求解，（1）當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長(zhǎng)為3或6；故答案為：3或6．【考點(diǎn)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，作出圖形是解題關(guān)鍵．4、2.5m【解析】【詳解】設(shè)木棒的長(zhǎng)為xm，根據(jù)勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的長(zhǎng)為2.5m．故答案為2.5m．5、【解析】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【考點(diǎn)】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．6、##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7、【解析】【分析】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)首先證明，設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可解決問(wèn)題．【詳解】延長(zhǎng)DM交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，四邊形ABCD是菱形，，，，，，≌，，，，設(shè)，，，，，，或舍棄，，故答案為．【考點(diǎn)】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．8、2.5【解析】【分析】首先先過(guò)點(diǎn)D作AB的垂直線段DE，根據(jù)勾股定理把BC求出,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DC，再根據(jù)ABC的面積等于ACD的面積加上ABD的面積，把CD求出，最后BD的長(zhǎng)度即可求出．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DEAB于E，在ABC中，C=，AB=5，AC=3，∴，∵AD平分BAC，∴DE=DC，∵，即，解得CD=1.5，∴BD=4-CD=4-1.5=2.5，故答案為：2.5．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)定理，正確作出輔助線，根據(jù)面積相等把CD求出是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、m＝1【解析】【分析】根據(jù)勾股數(shù)定義：滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)可得：(3m+2)2+(4m+8)2=(5m+8)2，再解方程即可．【詳解】解：m＞0，3m+2，4m+8，5m+8是一組勾股數(shù)，（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，解得：m＝1．【考點(diǎn)】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)定義．2、（1）見(jiàn)解析；（2）AP的長(zhǎng)為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）先利用勾股定理計(jì)算AC=4，再進(jìn)行討論：當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，易得對(duì)應(yīng)AP的值；當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時(shí)AP的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點(diǎn)P是△APD的準(zhǔn)外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當(dāng)P點(diǎn)在AB上，PA＝PB，則APAB；當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當(dāng)P點(diǎn)在AC上，PB＝PC，如圖2，設(shè)AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時(shí)AP，綜上所述，AP的長(zhǎng)為或2或．【考點(diǎn)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及新定義的運(yùn)用能力．理解題中給的定義是解題的關(guān)鍵．3、（1）詳見(jiàn)解析；（2）S四邊形ABCD=56【解析】【分析】（1）由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE，再根據(jù)題意可得Rt△BAE≌Rt△ADC，即可證；（2）根據(jù)勾股定理算出AC，由全等可得BE=AC，再算出△ACD的面積和△ABC的面積相加即可．【詳解】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵BAD=90°，∴∠BAE+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ABE，又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD，∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS)，∴BE=AC．（2）∵AB=AD=10，CD=6，∠ACD=90°，∴，∵Rt△BAE≌Rt△ADC，∴BE=AC=8，∴．【考點(diǎn)】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積，關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識(shí)并靈活使用．4、216平方米【解析】【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理計(jì)算AC，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根據(jù)面積公式計(jì)算即可．【詳解】連接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15∴，∴∠ACB=90°，∴這塊空地的面積為：==216（平方米），故這塊草坪的面積216平方米．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5、4km【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出BE的長(zhǎng)為xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)BE＝xkm，則AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由題意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的長(zhǎng)是4km．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．6、（1）BD＝2，；（2），【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=4，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得到BD，然后再一次運(yùn)用勾股定理求出AD即可；（2）設(shè)，則，，利用勾股定理列出方程解，從而得解.【詳解】（1）∵在中，，，∴在中，∴又∵為邊上的中點(diǎn)∴∴在中，∴（2）折疊后如圖所示，為折痕，聯(lián)結(jié)設(shè)，則，在中，，即解得：∴∴【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，也考查了折疊的性質(zhì).是常見(jiàn)中考題型.7、（1）見(jiàn)解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可；（2）①方法一：連接EP，過(guò)點(diǎn)P作GQ∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)G，