(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納聽評課記錄專題10數(shù)列10.3《數(shù)列求通項》（解析版）一.基本信息

聽課日期為2023年11月15日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學(xué)科/課程名稱為高考數(shù)學(xué)，班級/年級為高三（1）班，教學(xué)主題或章節(jié)為數(shù)列求通項公式，屬于新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)內(nèi)容。本次聽課旨在通過觀摩高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，研究數(shù)列求通項公式這一核心知識點的教學(xué)策略，為后續(xù)復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考。授課教師李明對數(shù)列部分有深入理解，本節(jié)課聚焦于數(shù)列通項公式的求法，涵蓋公式法、遞推關(guān)系法、構(gòu)造法等常見題型，注重方法的歸納與遷移應(yīng)用。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計劃清晰，圍繞數(shù)列通項公式的求法展開，分為公式法、遞推關(guān)系法、構(gòu)造法三個模塊，每個模塊設(shè)置典型例題進(jìn)行講解。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材配套習(xí)題、多媒體課件、錯題本等均有涉及。多媒體課件制作精良，動畫演示了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式推導(dǎo)過程，便于學(xué)生直觀理解；教材中的例題和習(xí)題選取典型，覆蓋了高考?？碱}型，如通過遞推關(guān)系求通項、構(gòu)造等差或等比數(shù)列求通項等。

2.教學(xué)過程

開始階段：教師以高考真題導(dǎo)入，展示一道關(guān)于數(shù)列通項的題目，引導(dǎo)學(xué)生思考解題思路。導(dǎo)入方式自然，通過提問“如何快速求出數(shù)列的通項公式”激發(fā)學(xué)生興趣，效果較好，約3分鐘進(jìn)入主題。

展開階段：教師采用講授與討論結(jié)合的方式展開教學(xué)。首先講解公式法，通過兩個例題（等差數(shù)列與等比數(shù)列）總結(jié)通項公式的基本求法，強調(diào)公式的適用條件。隨后過渡到遞推關(guān)系法，以“a_n+1=2a_n-1”為例，引導(dǎo)學(xué)生通過迭代法或構(gòu)造等差數(shù)列求解。課堂中設(shè)置小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生分組探究構(gòu)造法，如將非等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，教師巡視指導(dǎo)，約20分鐘完成。例題講解時，教師注重解題步驟的規(guī)范，強調(diào)“先分析類型，再選擇方法”的思維模式，并點撥易錯點，如遞推關(guān)系中的初始項確定。

結(jié)束階段：教師用5分鐘總結(jié)歸納，板書梳理三種方法的適用場景，并要求學(xué)生對比等差與等比數(shù)列求通項的異同。最后布置作業(yè)，包括教材原題、高考真題改編題，并提醒學(xué)生整理錯題本，注重反思解題方法。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過提問、追問、點評等方式與學(xué)生互動。例如，在講解遞推關(guān)系法時，教師提問“如何判斷是否需要構(gòu)造等差數(shù)列？”，學(xué)生回答后教師補充“觀察相鄰項的差是否為常數(shù)”，互動有效。小組討論環(huán)節(jié)，教師參與指導(dǎo)，如糾正學(xué)生將“a_n=a_n-1+2”誤判為等比數(shù)列的錯誤。學(xué)生參與度較高，約80%的學(xué)生能主動回答問題或參與討論，課堂反應(yīng)敏捷。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，對數(shù)列求通項公式這一核心知識點有較強的求知欲。在例題講解時，學(xué)生專注聽講，筆記詳實，尤其是對構(gòu)造法的推導(dǎo)過程記錄細(xì)致。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組討論時學(xué)生分工明確，如一人負(fù)責(zé)分析題意，一人嘗試構(gòu)造等差數(shù)列，形成初步解題思路后匯報交流。課堂巡視發(fā)現(xiàn)，約60%的學(xué)生能獨立完成例題的求解，其余學(xué)生通過同伴互助解決問題。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守課堂規(guī)范，教師通過眼神、手勢等方式維持秩序。時間分配合理，導(dǎo)入3分鐘、公式法講解10分鐘、遞推關(guān)系法15分鐘、構(gòu)造法討論20分鐘、總結(jié)5分鐘，各環(huán)節(jié)銜接自然。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，例題講解由淺入深，小組討論留足時間，結(jié)尾留3分鐘答疑，無拖沓現(xiàn)象。

6.教學(xué)技術(shù)使用

教師有效利用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學(xué)。多媒體課件動態(tài)展示數(shù)列圖像，幫助學(xué)生直觀理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式差異；課堂中使用的電子白板便于實時書寫解題步驟，學(xué)生可通過平板提交討論結(jié)果，教師即時反饋。技術(shù)手段提升了信息傳遞效率，尤其對復(fù)雜公式的推導(dǎo)過程演示效果顯著，技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，聚焦于高三學(xué)生掌握數(shù)列通項公式的求法，具體包括理解公式法、遞推關(guān)系法、構(gòu)造法的適用條件，并能運用這些方法解決典型問題。目標(biāo)設(shè)定符合新高考的要求，兼顧知識掌握與能力提升，具有層次性。從課堂表現(xiàn)來看，學(xué)生基本達(dá)到了預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)。公式法部分，通過教師講解和例題示范，學(xué)生能準(zhǔn)確復(fù)述等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程，課堂提問中約90%的學(xué)生能正確回答“等差數(shù)列通項公式如何推導(dǎo)？”。遞推關(guān)系法部分，學(xué)生能理解“an+1=f(an)”型遞推關(guān)系的求解思路，約75%的學(xué)生在小組討論中能嘗試用迭代法或構(gòu)造法求解，如對“a1=1，an+1=2an+1”的求解，多數(shù)學(xué)生能轉(zhuǎn)化為“an+1+1=2(an+1)”后構(gòu)造等比數(shù)列。構(gòu)造法部分是本節(jié)課的難點，但通過小組合作和教師點撥，約60%的學(xué)生能掌握將非等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的技巧，如對“an+1=na2n-1”的求解，部分學(xué)生能想到構(gòu)造等比數(shù)列an+1/a2n-1。課堂練習(xí)中，當(dāng)堂完成基礎(chǔ)題的學(xué)生占比高，中等題約70%的學(xué)生能獨立完成或通過小組討論解決，說明教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較好。

2.知識掌握

學(xué)生對數(shù)列通項公式的知識點理解和記憶情況良好。等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式作為基礎(chǔ)，學(xué)生掌握牢固，課堂筆記中公式推導(dǎo)過程記錄完整，并能聯(lián)系前后知識，如在討論遞推關(guān)系法時，部分學(xué)生會主動回顧“累加法”與“累乘法”的適用場景，體現(xiàn)知識的遷移能力。技能掌握方面，學(xué)生能靈活運用不同方法解決問題。公式法部分，學(xué)生能快速識別題型并套用公式，但部分學(xué)生在等比數(shù)列的符號判斷上仍存在細(xì)微錯誤。遞推關(guān)系法部分，學(xué)生掌握“觀察相鄰項差或商是否為常數(shù)”的判斷方法，但對“an=f(n)型”遞推關(guān)系（如“an=n2”）的求解能力較弱，課堂練習(xí)中僅有少數(shù)學(xué)生能想到用數(shù)學(xué)歸納法或構(gòu)造函數(shù)法解決。構(gòu)造法部分是技能掌握的難點，學(xué)生能理解“轉(zhuǎn)化思想”，但在具體操作中易出現(xiàn)錯誤，如將“an+1=3an+2”誤判為等比數(shù)列，或構(gòu)造錯誤的形式。教師通過針對性講解和變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生強化技能，如補充“an+1=3an+5”的求解，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需“整體變形”才能構(gòu)造等比數(shù)列?？傮w而言，學(xué)生對基礎(chǔ)知識和方法的掌握程度較高，但對復(fù)雜或綜合性問題的解決能力仍有提升空間，技能的熟練度和靈活性有待加強。

3.情感態(tài)度價值觀

本節(jié)課促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。情感方面，通過高考真題導(dǎo)入和小組討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，課堂氛圍活躍，學(xué)生能積極表達(dá)觀點，如對構(gòu)造法的不同思路進(jìn)行辯論，體現(xiàn)學(xué)習(xí)熱情。教師鼓勵性評價和同伴互助，增強了學(xué)生的自信心，如對錯誤解法的包容和糾正，避免學(xué)生因挫敗感而放棄思考。態(tài)度方面，學(xué)生展現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，如對遞推關(guān)系法中初始項的討論，強調(diào)“從n=1開始驗證”，體現(xiàn)科學(xué)態(tài)度。教師強調(diào)解題步驟的規(guī)范性和書寫的美觀性，培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣。價值觀方面，通過小組合作，學(xué)生認(rèn)識到團(tuán)隊協(xié)作的重要性，如對構(gòu)造法的討論需要分工合作、互相啟發(fā)。教師結(jié)合高考真題，滲透“數(shù)學(xué)建?！彼枷?，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將實際問題抽象為數(shù)列問題，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。課堂中，教師引導(dǎo)學(xué)生反思錯題，形成“錯題是寶貴資源”的意識，培養(yǎng)了反思精神和自主學(xué)習(xí)能力。此外，教師對數(shù)列知識歷史背景的簡述（如斐波那契數(shù)列的引入），拓展了學(xué)生的視野，激發(fā)了對數(shù)學(xué)文化的興趣。整體而言，本節(jié)課在知識傳授的同時，注重學(xué)生情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)，促進(jìn)了其全面發(fā)展。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)目標(biāo)明確、結(jié)構(gòu)清晰、注重能力培養(yǎng)的高效復(fù)習(xí)課。最突出的優(yōu)點在于教師對數(shù)列求通項這一核心知識點的把握精準(zhǔn)，教學(xué)方法靈活多樣，能夠針對不同方法的特點設(shè)計恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動。首先，教學(xué)設(shè)計符合高三學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由易到難，從公式法到遞推關(guān)系法再到構(gòu)造法，層層遞進(jìn)，符合新高考對數(shù)列知識的考查順序。其次，教師善于運用多種教學(xué)方法，如精講點撥、小組討論、當(dāng)堂練習(xí)等，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。特別是構(gòu)造法部分，通過設(shè)置探究性問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。再次，教師注重知識的系統(tǒng)性和方法的歸納總結(jié)，如在課堂結(jié)尾梳理三種方法的適用場景，幫助學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，便于復(fù)習(xí)記憶。此外，課堂管理有效，時間分配合理，師生互動頻繁，教學(xué)技術(shù)使用恰當(dāng)，這些都體現(xiàn)了教師較高的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)能力?？傮w而言，本節(jié)課達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)效果顯著，是一節(jié)值得學(xué)習(xí)的優(yōu)秀復(fù)習(xí)課。

2.改進(jìn)建議

雖然本節(jié)課有許多亮點，但仍有提升空間，針對存在的問題提出以下改進(jìn)措施：

（1）遞推關(guān)系法的教學(xué)可以進(jìn)一步深化。本節(jié)課中，教師對“an=f(n)”型遞推關(guān)系的講解時間較短，部分學(xué)生未能充分理解其求解思路。建議增加典型例題的剖析，如“an+1=an2+an+1”的求解，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)、方程等角度思考，拓展解題方法。同時，可以引入“數(shù)學(xué)歸納法”作為補充，對遞推關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)格證明，提升學(xué)生的邏輯思維能力。

（2）構(gòu)造法的教學(xué)需加強針對性。構(gòu)造法是本節(jié)課的難點，學(xué)生掌握程度不均衡。建議在小組討論前提供“思考框架”，如“如何判斷是否可以構(gòu)造等差或等比數(shù)列？構(gòu)造時需要注意什么？”，引導(dǎo)學(xué)生有序思考。此外，可以設(shè)計分層練習(xí)，對基礎(chǔ)較好的學(xué)生補充“an=f(n)+c”型遞推關(guān)系的求解，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生強化“an+1=kan+b”型的構(gòu)造方法，實現(xiàn)因材施教。

（3）技能訓(xùn)練的強度可以適當(dāng)增加。本節(jié)課的練習(xí)時間約10分鐘，部分學(xué)生未能完成所有題目。建議在課堂中增加“快速搶答”環(huán)節(jié)，對基礎(chǔ)題進(jìn)行鞏固；課后布置變式練習(xí)，如“已知S_n=an^2-an+1，求a_n”，強化知識遷移能力。同時，鼓勵學(xué)生建立“錯題本”，對典型錯誤進(jìn)行歸納反思，提升解題熟練度。

（4）教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用可以更加智能化。本節(jié)課中多媒體課件主要用于展示公式和例題，可以進(jìn)一步利用技術(shù)手段提升互動性。如使用在線答題系統(tǒng)實時收集學(xué)生答案，即時反饋錯誤率；或利用動態(tài)幾何軟件演示數(shù)列圖像的變化，幫助學(xué)生直觀理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。

通過以上改進(jìn)，可以進(jìn)一步提升課堂教學(xué)的深度和廣度，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)列求通項的方法，提高數(shù)學(xué)綜合能力。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以評估改進(jìn)措施的效果。計劃采取以下支持措施幫助教師成長：

（1）安排二次聽課，重點關(guān)注遞推關(guān)系法和構(gòu)造法的改進(jìn)情況。在聽課前，與教師共同制定改進(jìn)目標(biāo)，明確觀察要點；聽課后，進(jìn)行深入交流，肯定進(jìn)步，指出不足，并提供具體改進(jìn)建議。

（2）組織數(shù)列專題教研活動，邀請經(jīng)驗豐富的教師分享