第03講復(fù)數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：復(fù)數(shù)的概念 2題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 3題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義 5題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù) 6題型五：復(fù)數(shù)的模 7題型六：復(fù)數(shù)的三角形式 8題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題 10題型八：復(fù)數(shù)方程 1202重難創(chuàng)新練 1403真題實(shí)戰(zhàn)練 20題型一：復(fù)數(shù)的概念1．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為.故選：B2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若的虛部為2，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】由題得，則.故.故選：D.3．（2024·甘肅張掖·三模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】因?yàn)?，則，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算4．（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則以下結(jié)論正確的為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，且，，，所以四邊形為菱形，且，又，與軸正半軸所成的角為，所以與軸正半軸所成的角為，所以與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，則，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC5．（多選題）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A項(xiàng)中，，故A正確；B項(xiàng)中，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)中，，故C正確；D項(xiàng)中，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.6．（多選題）（2024·福建泉州·一模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，可得因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足，可得，則，可得且，由時(shí)，可得或，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，方程，無(wú)解；對(duì)于A中，當(dāng)，可得，可得；當(dāng)，可得，可得，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，且，則，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)，可得，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，當(dāng)，可得，可得，則；當(dāng)，可得，可得，則，所以D正確.故選：AD.7．（2024·北京西城·三模）在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A．i B．-i C． D．【答案】B【解析】z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以故選：B.8．（2024·高三·黑龍江綏化·期中）已知復(fù)數(shù)和（i是虛數(shù)單位），則．【答案】/【解析】由題意，得，，則.故答案為：.題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義9．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，，若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，則有，解得，所以，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.10．（2024·青海海西·模擬預(yù)測(cè)）已知，復(fù)數(shù)，則“”是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則可得，故“”是“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的充要條件．故選：C．11．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，則，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.12．（2024·高三·湖南岳陽(yáng)·期中）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】設(shè)，則，代入，得，∴，．∴．∴在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，位于第二象限．故選：B．題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)13．（2024·北京海淀·二模）若，則.【答案】1【解析】因?yàn)椋?，即，所以，解?故答案為：1.14．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則．【答案】【解析】依題意，，所以，所以.故答案為：15．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為.【答案】/0.5【解析】，所以，則的虛部為.故答案為：16．（2024·山東青島·二模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù).【答案】【解析】易知，所以.故答案為：.題型五：復(fù)數(shù)的模17．（2024·高三·上?！て谥校┮阎獜?fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于．【答案】【解析】設(shè)，由可得，則，解得：，故，所以復(fù)數(shù)z的模等于.故答案為：.18．（2024·高三·上海嘉定·期中）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則．【答案】【解析】，，故答案為：19．（2024·高三·遼寧大連·期中）設(shè)復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，則.【答案】【解析】由題意設(shè)：，，，所以得：，化簡(jiǎn)得：，，，化簡(jiǎn)得：，，所以得：，所以得：.故答案為：.20．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則【答案】【解析】，則，故.故答案為：.題型六：復(fù)數(shù)的三角形式21．（2024·高三·遼寧·期中）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，），是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)的數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故.故選：A.22．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?故選：B.23．復(fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，令，則，所以，因?yàn)椋?，所以的三角形式?故選：D.24．歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則下列運(yùn)算一定正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故選：C.題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題25．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若為虛數(shù)單位，，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，所求式子的幾何意義表示點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最大值，如圖所示，最大值為.故選：D.26．（2024·遼寧·二模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【解析】的幾何意義是復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離為1，即點(diǎn)Z在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離．如圖所示，故．故選：B．27．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】設(shè)，則，即，由于，故，解得，則，故選：D28．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．3【答案】B【解析】設(shè)，其中，則，∵，∴，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，∴即為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，∴的最大值為.故選：B.29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，即，因此點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，圓心的坐標(biāo)為，半徑，又，于是可以看成是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，顯然此點(diǎn)在圓外，所以.故選：D30．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡為，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值，當(dāng)為時(shí)，到定點(diǎn)的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．題型八：復(fù)數(shù)方程31．（2024·上海浦東新·二模）已知，為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中是虛數(shù)單位，則．【答案】0【解析】是關(guān)于的方程的一個(gè)根，是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，則，即，，.故答案為：032．（2024·上海嘉定·二模）設(shè)，則．【答案】5.【解析】由，則．故答案為：533．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的平方根為【答案】【解析】設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的平方根為，則，即，所以，解得或，所以或，故答案為：或34．已知關(guān)于的方程的兩根為、，滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的值為【答案】4或【解析】，若，則方程的兩根為實(shí)數(shù)，且，解得.若，則方程的兩根為虛數(shù)，該方程可化簡(jiǎn)為：，故兩根分別為，，所以，故，故答案為或.35．已知方程有兩個(gè)虛根，則的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)闉榉匠虄蓚€(gè)根，所以，，方程有虛根，所以，故，故填.1．（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．2．（2024·甘肅蘭州·三模）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】，故.故選：D3．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C．1 D．9【答案】A【解析】因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則也是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以，解得，所以.故選：A4．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.5．（2024·浙江·三模）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，其中i是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C． D．5【答案】D【解析】設(shè)，a，，則則，．∴，，所以，故選：D．6．（2024·安徽安慶·模擬預(yù)測(cè)）（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】.故選：.7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）虛數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】C【解析】由已知，，所以，，所以，解得.故選：C.8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的一個(gè)可能值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，由，得，即，整理得，顯然選項(xiàng)ACD不滿(mǎn)足要求，B符合要求.故選：B9．（多選題）（2024·湖北襄陽(yáng)·二模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，（為虛數(shù)單位），是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為4C．當(dāng)時(shí)，則 D．當(dāng)時(shí)，則【答案】AD【解析】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，由得，所以在直線上.由得，所以在圓上.如圖所示：對(duì)于A：表示復(fù)平面內(nèi)圓上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故A正確；對(duì)于B：表示復(fù)平面內(nèi)圓上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD：因?yàn)槭欠匠淘趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，所以.若，即或，此時(shí)，由得或，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；若，即，此時(shí)，為一對(duì)共軛虛根，，故D正確.故選：AD.10．（多選題）（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，，，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若，則或 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，或，故A正確．對(duì)于B，方法：，，，所以以3為周期，所以，故B正確．方法二（復(fù)數(shù)的三角表示）：，所以的模為1，輻角為，則的模為1，輻角為，所以．故B正確．對(duì)于C，取，，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，，，所以，故D正確．故選：ABD11．（多選題）（2024·山東菏澤·二模）下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若是方程的一個(gè)根，則B．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)為C．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為D．若復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A：若是方程的一個(gè)根，則方程的兩個(gè)根分別，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由題意可知，所以，所以向量表示的復(fù)數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)在圓上，圓的圓心，半徑，則的幾何意義為原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離，又，則的最大值為，C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，，所以，D正確．故選：BCD.12．（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若是的共軛復(fù)數(shù)，則C．若，則D．若，則取最大值時(shí)，【答案】CD【解析】對(duì)于A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，若為純虛數(shù)，則，故，錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，則，錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，即，令，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取到最大值2，此時(shí)，所以，正確.故選：CD13．（2024·天津南開(kāi)·二模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).【答案】【解析】由題.故答案為：.14．（2024·天津北辰·三模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為.【答案】【解析】，所以復(fù)數(shù)Z的虛部為.故答案為：15．（2024·河南南陽(yáng)·三模）若，則【答案】/【解析】，所以，故答案為：.16．（2024·上?！と＃┮阎P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)虛根，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】3【解析】因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)虛根，所以，即，得或，所以中，因?yàn)?，整理得，解得或（舍），故，所以?shí)數(shù)的值為3.故答案為：317．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）已知是關(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則的值為.【答案】【解析】方法一：由已知可得，即，所以，解得，所以.方法二：因?yàn)槭顷P(guān)于的方程（其中p、q為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，所以也是該方程的一個(gè)根，由韋達(dá)定理得，解得，所以.故答案為：.1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.3．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】故選：C.4．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得：．故選：C.5．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，則.故選：B.6．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即．故選：A．7．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.8．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而為實(shí)數(shù)，故，故選：B.9．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）（