5.1二體軌道rr21F=?F21m2m22，則描述衛(wèi)星m2相對(duì)地球的二體問題基d2rμrdt2r2r d2rμrdt2r2re是地心引力常數(shù)，μ=398600.5.2衛(wèi)星軌道要素為描述衛(wèi)星在空間的位置，定義赤道慣性坐標(biāo)系OXYZ：坐標(biāo)原點(diǎn)O在地球+=+=0+=01式中r=(x2+y2+z2)2。這是一個(gè)六階的非線性微分方程，如給定了六個(gè)初始條件——t0時(shí)刻衛(wèi)星位置x(t0),y(t0),z(t0)和速度(t0),(t0),(t0)，則此 3 3將方程組（5.2）各式交叉乘以x,y,z，再兩兩相減、消去r,可得xy?yx=x?z=0z?x=0xy?yx=c1yz?zy=c2zx?xz=c323是三個(gè)積分常數(shù)。再將以上各式順序乘以z,x,y，然后相加，得c1z+c2x+c3y=0這是一個(gè)平面方程，它說明在二體問題中衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道總是在一個(gè)平面衛(wèi)星相對(duì)于地心的動(dòng)量矩h等于衛(wèi)星地心矩矢量和速度矢量的矢積：量矩h保持恒定，其方向和幅值決定于積分常數(shù)c1,c2,c3。顯然，動(dòng)量矩h的方向和衛(wèi)星軌道面的法線是平行的，稱h和Z軸的夾角為軌道傾角i；軌道平面和地球赤道面的交線為節(jié)線ON，在圖5.2中節(jié)點(diǎn)N為軌道的升交點(diǎn)，節(jié)線ON與X軸的夾角稱為升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω,這兩個(gè)參數(shù)(i,Ω)確定了軌道平面在空間坐標(biāo)中的方hx=hsinisinΩhy=?hsinicosh=hcosiz或i=arccos,Ω=arct因此，積分常數(shù)c1,c2,c3確定了與軌道特性直接有關(guān)的三描述衛(wèi)星在軌道平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)只需用二維坐標(biāo)。令此坐標(biāo)為(ξ,η)，衛(wèi)星的運(yùn)+ξ=0+η=01式中r=(ξ2+η2)2，再令ξ=rcosθ,η=rsinθ,將上式化成極坐標(biāo)形式，如?r=?r+2=0r2=h顯然，這個(gè)積分常數(shù)h就是衛(wèi)星相對(duì)于地心的量矩。如圖5.3所示，衛(wèi)星在軌道平ΔA1′ΔθsinΔθΔt=2rrΔtΔθ=1r2=1h開普勒第二規(guī)律。而動(dòng)量的矩的幅值h等于此面積速度的兩倍。利用式（5.7將式（5.5）中自變量替換為θ,可得21μ21μrh1=[1+ecos(θ?ωrhr=p1+ecos(θ?ω)式中p=h2/μ。這就是衛(wèi)星的軌道方程，它說明衛(wèi)星沿圓錐曲線運(yùn)動(dòng)，圓錐曲線于橢圓的長(zhǎng)軸）的長(zhǎng)度。如圖5.4所示，半通徑p和偏心率e與橢圓半長(zhǎng)軸a、半短軸b的關(guān)系是p=a(1?e2)=b--2由于p=,半長(zhǎng)軸a與積分常數(shù)h(h=c+c+c)的關(guān)系是h2因?yàn)榉e分常數(shù)e是獨(dú)立的，所以半長(zhǎng)軸a與動(dòng)量矩的幅值h是對(duì)應(yīng)的。a3μa3μ然，A,P點(diǎn)必定在橢圓的長(zhǎng)軸上，而極角ω決定了此橢圓長(zhǎng)軸在軌道平面上的方向，稱ω為近地點(diǎn)幅角；衛(wèi)星相對(duì)于橢圓長(zhǎng)軸的極角稱為真近點(diǎn)角,,r=1+ecosf衛(wèi)星近地點(diǎn)(f=0)和遠(yuǎn)地點(diǎn)(f=180o)的地心距rP,rA與半長(zhǎng)軸和偏心率e=APr?APAPr+APπab。根據(jù)式（5.8有=hn==Tμμ3a以上說明了衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程式（5.2）的五次積分，它們的五個(gè)積分常數(shù)得出任何時(shí)刻衛(wèi)星的位置。如圖5.5所示，衛(wèi)星的橢圓軌道有一個(gè)半徑圓和內(nèi)圓上得Q,R兩點(diǎn)，它們相對(duì)于橢圓中心的中心角是E，稱為衛(wèi)星的偏近ξ從幾何圖形可求得偏近點(diǎn)角E與真近點(diǎn)角f的關(guān)系是acosE=ae+rcosfbsinE=rsinfsinE=1?e2sinf1+ecosfcosE=e+cosf1+ecosfsinf=1?e2sinE1?ecosEcosf=tan=tan，且與同象限r(nóng)cosf=a(cosE?e)rsinf=a1?e2sinE（5.23）r=a(1?ecosE) df=dE1?ecosE dE=df1+ecosE有了上述的基本關(guān)系式，可將式（5.7）進(jìn)行積分，由于ω是常數(shù)，r2df=h(t?tP)利用式（5.115.12和（5.235.24）等，可將上式化成。t?tP==dE=(E?esinE)n(t?tP)=E?esinE（5.26）它轉(zhuǎn)過的中心角就是平近點(diǎn)角M。在給定時(shí)刻t，三種近點(diǎn)角M,E,f都是對(duì)應(yīng)的。用迭代法求解，令第0步的E值為E0，第一步以后的各次E值為E1=M+esinE0E2=M+esinE1E=M+e?sinM+e2sin2M+e3sin3M+…（5.27）真近點(diǎn)角f的級(jí)數(shù)計(jì)算式是：f=M+2e?sinM+e2sin2M+e3sin3M+…（5.28）常稱此六個(gè)常數(shù)為軌道要素。由于tP和M是對(duì)應(yīng)的，也可用M表示第六個(gè)要素。S為衛(wèi)星的位置；P為衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)；f為真近點(diǎn)角，衛(wèi)是位置相對(duì)于近地5.3衛(wèi)星位置和速度公式衛(wèi)星的向徑r和速度v可能表達(dá)成此六個(gè)軌道要素的函數(shù)。一點(diǎn)B，在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是x,y,z，如將此正交坐標(biāo)系OXYZ繞X軸轉(zhuǎn)x=xy′=ycosθ+zsinθz′=?ysinθ+zcosθ?x′??100??x??x?cosθ?sinθX(θ)表示，下標(biāo)X表?x′′??cosθ0?sinθ??x??x??x′′??cosθ?y′′?=??sinθsinθ0??x??x?如在第一次旋轉(zhuǎn)后，第二次繞新坐標(biāo)系中的Y′軸轉(zhuǎn)?角，第三次繞第二次旋Z(ψ)RY(?)RX(θ)?y?（5.32）上式中旋轉(zhuǎn)矩陣R的下標(biāo)X,Y,Z表示每次坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)軸在坐標(biāo)系中的序號(hào)（下同）。這里順便指出，如令X,Y,Z軸的單位矢量是ux,uy,uz，令X′,Y′,Z′軸的單位矢量是u,u,u，如圖5.7所示，繞X軸轉(zhuǎn)θ角后，同樣有下列等式：xy=ux=cosθuy+sinθuzu=?sinθuy+cosθuz?u??ux??u?=Rz(ψ)Ry(?)Rx(θ)?uy?（5.33）z??定義地心軌道坐標(biāo)系Oxoyozo，兩個(gè)正交的表征軌道特性的矢量e和W可以作為此軌道坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸xo,zo的單位矢量，按右手正交定則，第三根坐標(biāo)軸yo在軌道平面上，如圖5.6所示。地心軌道坐標(biāo)系Oxoyozo與赤道慣性坐標(biāo)系OXYZ之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是這樣的：先將地心軌道坐標(biāo)系繞矢量W轉(zhuǎn)角(換矩陣是Rz(?ω)；再繞節(jié)線ON轉(zhuǎn)角(?i)，轉(zhuǎn)換矩陣是Rx(?i)；最后繞角(?Ω)，轉(zhuǎn)換矩陣是Rz(?Ω)，經(jīng)過這樣三次旋轉(zhuǎn)后，地心軌道坐標(biāo)系和赤道慣xo=rcosfyo=rsinfz=0o應(yīng)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式（5.295.305.31）導(dǎo)出衛(wèi)星在?x??xo??y?=Rz(?Ω)Rx(?i)Rz(?ω)?yo?o???cosωcosΩ?sinωcosisinΩ?sinωcosΩ?cosωcosisinΩsinisinΩ??rcosf?=?cosωsinΩ+sinωcosicosΩ?sinωsinΩ+cosωcosicosΩ?sinicosΩ??rsinf?這就是用軌道要素描述衛(wèi)星位置的公式，其中真近點(diǎn)角f需解開普勒方程。x=rcosδcosαy=rcosδsinα（5.35）z=rsinδ赤經(jīng)α又稱為恒星角或時(shí)角。從圖5.6中的直角球面三角形NDS中，可得出赤經(jīng)α,赤緯δ與軌道要素的關(guān)系：sinδ=sin(ω+f)sinicosδcos(α?Ω)=cos(ω+f)（5.36）cosδsin(α?Ω)=sin(ω+f)cosi1P=ee量r可以表達(dá)成r=rcosfP+rsinfQ=a(cosE?e)P+a1?e2sinEQ（5.37）利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，單位矢量P,Q在赤道慣性坐標(biāo)系中為?1??cosωcosΩ?sinωsinΩcosi?P=Rz(?Ω)Rx(?i)Rz和?0???sinωcosΩ?cosωsinΩcosi?Q=Rz(?Ω)Rx(?i)R式（5.375.385.39）組成衛(wèi)星位置的軌道要素描述。對(duì)式（5.37）進(jìn)行微分，可得衛(wèi)星速度的軌道要素描述，因P,Q為慣性參考矢量，有v==(cosf?rf.sinf)P+(sinf+rf.cosf)Q.=esinf及rf.=(1+ecosf)代入速度矢量v的式子，得衛(wèi)星速度的軌道要素描述為v=[?sinfP+(e+cosf)Q]由上式可得出下列軌道速度公式。利用式（5.12v=μμ sin2f+(e+cosf)2=μμ?Pv=P2μ2μrA=v=vv=vrrrr =Av(1+e2+2ecosf)2sinβ==(1+e2f)（5.43）&根據(jù)動(dòng)量矩公式r2f=h，并引用式（5.41衛(wèi)星速度飛行角又可寫成cosβ==2r2cos2β=μa(1?e2)。1e=?12cos2β+sin2β2 ra22?μr2v2cos2βr=μ(1+e)r2v2cos2βr=μ(1?e)5.4衛(wèi)星軌道定軌公式量要素指出衛(wèi)星在軌道上的位置，由此可直接得出任一時(shí)刻的六個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)位置r和速度v，得出軌道要素的轉(zhuǎn)換關(guān)系。軌道六要素的五個(gè)常量要素可由軌道動(dòng)力學(xué)常量——?jiǎng)恿烤睾蜋C(jī)械能量直接2vμE=?vμ2r