專題04全等三角形的概念及性質（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結合人教版數(shù)學八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，?？?，壓軸類問題進行專題匯編！題目經典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2025春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谀┤鐖D，在中，D是邊上的中點，連接，把沿翻折，得到，與交于點E，連接，若，，則C到的距離為（）

A． B． C． D．2．（本題2分）（2024江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形與中，．下列條件中：①；②；③；④．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形≌四邊形，上述條件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④3．（本題2分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，點為的中點，如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點以的速度運動．經過（

）秒后，與全等．

A． B． C．或 D．無法確定4．（本題2分）（2025春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，點的對應點為點，連接，下列結論一定正確的是（

）

A． B． C． D．5．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，，若點的坐標為，點，在直線上，點在軸的正半軸上，且點的坐標為，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．6．（本題2分）（2024秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，，點為的中點，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以相同速度由點向點A運動，一個到達終點后另一個點也停止運動，當與全等時，點運動的時間是（

）A． B． C． D．或7．（本題2分）（2024秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點B和點C是對應頂點，，記，，，當時，與之間的數(shù)量關系為（

）A． B． C． D．8．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，邊長為5的大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，連結并延長交于點M．若，則的長為（）A． B． C．1 D．9．（本題2分）（2024秋·山東德州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，過點C作于點D，過點B作于點M，連接，過點D作，交于點N，與交于點E．下列結論：①∠；②；③；④其中正確結論有（）個

A．1 B．2 C．3 D．410．（本題2分）（2025春·浙江·八年級期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務拓展學習上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將延長交于點．記小正方形的面積為，大正方形的面積為，若，，，則的值是（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·廣西欽州·八年級?？茧A段練習）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為．

12．（本題2分）（2024秋·廣東湛江·八年級嶺師附中校聯(lián)考期末）如圖，，，則．

13．（本題2分）（2024秋·廣東東莞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在三角形紙片中，，，，折疊該紙片，使點A和點B重合，折痕與、分別相交于點D和點E，（如圖），則的長為．

14．（本題2分）（2024秋·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為時，與全等．15．（本題2分）（2025春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）點是反比例函數(shù)（）的圖象上一點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則．

16．（本題2分）（2025春·全國·八年級專題練習）如圖，在長方形中，．延長到點E，使，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為時，和全等．17．（本題2分）（2024秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，A、B兩點分別在x軸、y軸上，，，連接．點P在第一象限，若以點P、A、B為頂點的三角形與全等，則點P的坐標為．

18．（本題2分）（2024秋·安徽六安·八年級校考期中）如圖，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，

當點P運動秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．19．（本題2分）（2024秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學校考階段練習）如圖，在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)沿著三角形的邊運動回到點停止，速度為，設運動時間為．（1）如上圖，當時，的面積等于面積的一半；（2）如圖，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點出發(fā)，沿著邊運動回到點A停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，則點Q的運動速度是．20．（本題2分）（2024秋·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC中，BD平分，若，則．三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2024秋·山西陽泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，線段，于點，，射線于點，點從點向點運動，每秒走，點從點沿方向運動，每秒走．若點，同時從點出發(fā)，當出發(fā)秒后，在線段上有一點，使以點，，為頂點的三角形與全等，求的值．

22．（本題8分）（2024秋·山西大同·八年級大同一中?？茧A段練習）綜合與探究【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如，由圖1可以得到，基于此，請解答下列問題．【直接應用】（1）若，，求的值．【類比應用】（2）若，則___________．【知識遷移】（3）將兩塊全等的特制直角三角板（）按如圖2所示的方式放置，其中點，，在同一直線上，點，，也在同一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

23．（本題8分）（2025春·廣東河源·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點是等邊內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得，連接．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出為多少度時，是等腰三角形？24．（本題8分）（2024秋·寧夏石嘴山·八年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校奈恢萌鐖D所示，、、三點都在格點上．

(1)畫出關于軸對稱的；(2)在網格中找出點，使得以，，三點為頂點的與全等，請寫出符合條件的所有點的坐標．25．（本題8分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，的延長線交于點F，交于點G，，，，求的度數(shù)．

26．（本題10分）（2025春·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，點在軸上，點在軸上，點的坐標是．

(1)動點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位的速度向點勻速運動；同時動點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位的速度向點勻速運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．設運動時間為．解答下列問題：①當點在線段的垂直平分線上時，求的值；②是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值，并判斷此時的度數(shù)；(2)矩形沿直線折疊，使得點落在對角線上的點處，折痕與、軸分別交于點、．①求點的坐標；②若點是平面內任一點，在軸上是否存在點，使、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．27．（本題10分）（2025春·浙江·八年級專題練習）如圖，點O為矩形的對稱中心，．點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為，點F的運動速度為，點G的運動速度為．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動，在運動過程中，關于直線的對稱圖形是設點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）(1)當__________s時，四邊形為正方形；(2)當x為何值時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形可能全等？(3)是否存在實數(shù)t，使得點與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．專題04全等三角形的概念及性質（專項培優(yōu)訓練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：較難試卷說明：本套試卷結合人教版數(shù)學八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，?？?，壓軸類問題進行專題匯編！題目經典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復習，考前強化必備！適合成績中等及偏上的學生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2025春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谀┤鐖D，在中，D是邊上的中點，連接，把沿翻折，得到，與交于點E，連接，若，，則C到的距離為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交于點M，由翻折知，，垂直平分，證為等邊三角形，利用含30度的直角三角形性質及勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交于點M，

∵，D是邊上的中點，∴，由翻折知，，垂直平分，∴，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴C到的距離為，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理、折疊的性質、全等三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．2．（本題2分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形與中，．下列條件中：①；②；③；④．添加上述條件中的其中一個，可使四邊形≌四邊形，上述條件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④【答案】B【分析】連接，通過證明，，故①符合要求，同理可得③④符合要求，即可得到結論．【詳解】解：連接，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴四邊形與中，，，，，∴四邊形≌四邊形．故①符合要求；同理根據③④的條件證得四邊形≌四邊形．綜上所述，符合要求的條件是①③④，故選：B．【點睛】此題主要考查了全等形，全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：．3．（本題2分）（2025春·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，點為的中點，如果點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點以的速度運動．經過（

）秒后，與全等．

A． B． C．或 D．無法確定【答案】B【分析】根據全等三角形的性質，進行分類討論，列出方程即可求解．【詳解】

如圖，設兩點分別從兩點同時出發(fā)運動時，則，，∴，，∵是中點，∴，①當時，∴，即，解得：，此時，不符合題意，舍去，②當時，∴，即，解得：，綜上可知：，故選：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質，學會用分類討論的思想思考問題．4．（本題2分）（2025春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，點的對應點為點，連接，下列結論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據旋轉的性質得出，進而得出是兩個頂角相等的等腰三角形，即可求解．【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，∴∴，，，∴，∴，即，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．5．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，在平面直角坐標系中，，若點的坐標為，點，在直線上，點在軸的正半軸上，且點的坐標為，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，于，由，，就可以得出，再結合勾股定理就可以得出結論．【詳解】解：如圖所示，作于，于，，點的坐標為，點，在直線上，到的距離為，，，，，，，在和中，，，，在中，，，，點的坐標為，，點的坐標為，故選：A．【點睛】本題主要考查了坐標與圖象的性質的運用，垂直的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等腰三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．6．（本題2分）（2024秋·八年級單元測試）如圖，已知中，，，點為的中點，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以相同速度由點向點A運動，一個到達終點后另一個點也停止運動，當與全等時，點運動的時間是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據，求出，根據點為的中點，求出，分時，時，兩種情況進行討論，并注意驗證當時，不成立，從而可以求出t的值．【詳解】解：∵，∴，∵點為的中點，∴，∵點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以相同速度由點向點A運動，∴，，當時，，即，解得：；當時，，即，解得：，此時，，∵，∴此種情況不成立，綜上分析可知，，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質和等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的性質，注意分類討論．7．（本題2分）（2024秋·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點B和點C是對應頂點，，記，，，當時，與之間的數(shù)量關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據全等三角形的性質得到，再根據平行線的性質，得到，利用，即可解答．【詳解】解：，，，，，，，，，化簡得：．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行線的性質，結合圖形和題意找到角之間的關系是解題的關鍵．8．（本題2分）（2025春·八年級單元測試）如圖，邊長為5的大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，連結并延長交于點M．若，則的長為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】過點作于點，設與交與點，利用已知條件和正方形的性質得到為等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一性質，平行線的性質，對頂角相等和等量代換得到為等腰三角形，再利用等腰三角形的三線合一的性質和平行線分線段成比例定理解答即可得出結論．【詳解】解：過點作于點，設與交與點，如圖，四邊形是正方形，，，，．由題意得：，，．．，，，，，．，，，，，．，，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，依據題意恰當?shù)靥砑虞o助線是解題的關鍵．9．（本題2分）（2024秋·山東德州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，過點C作于點D，過點B作于點M，連接，過點D作，交于點N，與交于點E．下列結論：①∠；②；③；④其中正確結論有（）個

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由，，可得，從而得出，判斷①正確與否；通過證明，得出，判斷②正確與否；先證明是等腰直角三角形，從而得到，判斷③正確與否；先證明，再證明，得出，判斷④正確與否．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故②正確；∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故③正確；∵，∴，由①②知，，∴，∴，由②知，，∴，∴，故④正確；∴正確的有①②③④，故選D．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形的面積等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．10．（本題2分）（2025春·浙江·八年級期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形（如圖所示）．某次課后服務拓展學習上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將延長交于點．記小正方形的面積為，大正方形的面積為，若，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接DG，根據，，得出，根據弦圖由四個全等的直角三角形所組成，推出，根據，且，推出，得到，設CG=DH=x，則CH=x+，根據∠CHD=90°，得到，求得，得到DH=EH=GH=，求出DG=EG=，∠GDE=∠GED=45°，推出∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，推出．【詳解】連接DG，∵CD=CI+DI=1+2=3，∴，∵△ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE，∴∴，∵，且，∴，∴，∴設CG=DH=x，則CH=x+，∵∠CHD=90°，∴，∴，解得（舍去），或，即，∴DH=EH=GH=，∴DG=EG=，∴∠GDE=∠GED=45°，∴∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，∴．故選A．,【點睛】本題主要考查了正方形，全等三角形，勾股定理等，解決問題的關鍵是添加輔助線，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的性質，勾股定理解直角三角形．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（2025春·廣西欽州·八年級?？茧A段練習）如圖，正方形是由四個全等的直角三角形圍成的，若，，則的長為．

【答案】【分析】由全等三角形的性質可得，，，，可得，，可證四邊形是正方形，即可求的長．【詳解】解：如圖，

∵正方形是由四個全等的三角形圍成的，∴，，，，∴，，∴四邊形是菱形，且，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，全等三角形的性質，勾股定理，證明四邊形是正方形是解題的關鍵．12．（本題2分）（2024秋·廣東湛江·八年級嶺師附中校聯(lián)考期末）如圖，，，則．

【答案】1【分析】根據全等三角形的性質，得到，計算即可．【詳解】∵，，∴，∴（）．故答案為：1．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．13．（本題2分）（2024秋·廣東東莞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在三角形紙片中，，，，折疊該紙片，使點A和點B重合，折痕與、分別相交于點D和點E，（如圖），則的長為．

【答案】8【分析】利用折疊的性質，等腰三角形的性質和含角的直角三角形的性質解答即可．【詳解】解：由題意得：，∴，，．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了折疊問題，全等三角形的性質，三角形的內角和，含角的直角三角形的性質，熟練這折疊的性質和含角的直角三角形的性質是解題的關鍵．14．（本題2分）（2024秋·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為時，與全等．【答案】2或【分析】設運動時間為t，根據題意求出對應線段的長度，然后分兩種情況討論：①當，時；②當，時；利用全等三角形的性質列出方程求解即可．【詳解】解：設點Q從點C出發(fā)ts，同時點P從點B出發(fā)ts，①當，時，，，，，，解得：，，，解得：；②當，時，，解得：，解得：；綜上所述，當或時，，故答案為：2或．【點睛】本題主要考查矩形的性質及全等三角形的性質，一元一次方程的應用，理解題意，進行分類討論，列出方程是解題關鍵．15．（本題2分）（2025春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）點是反比例函數(shù)（）的圖象上一點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，若點在反比例函數(shù)的圖象上，則．

【答案】【分析】設，過作軸于，過A作軸于，得到，，根據全等三角形的性質得到，，再利用點在第二象限于是得到結論.【詳解】解：設，點是反比例函數(shù)（）圖象上的一個點，，，，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，.過作軸于，過A作軸于，

.，，，.在與中，，.點在第二象限，∴,，故答案為：.【點睛】本題考查了坐標與圖形變化一旋轉，反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.16．（本題2分）（2025春·全國·八年級專題練習）如圖，在長方形中，．延長到點E，使，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設點P的運動時間為t秒，當t的值為時，和全等．【答案】1秒或10秒【分析】由題意知，分在，，上三種情況求解．【詳解】解：由題意知，分在，，上三種情況求解：①當在上時，由題意知，，∵和全等，∴，即，解得；②當在上時，由題意知，，，∴此時和不全等，③當在上時，由題意知，，∵和全等，∴，即，解得；綜上所述，和全等時，為1秒或10秒，故答案為：1秒或10秒．【點睛】本題考查了全等三角形的性質及矩形的性質，解決本題的關鍵在于分情況求解．17．（本題2分）（2024秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，A、B兩點分別在x軸、y軸上，，，連接．點P在第一象限，若以點P、A、B為頂點的三角形與全等，則點P的坐標為．

【答案】或【分析】由條件可知為兩三角形的公共邊，且為直角三角形，當和全等時，則可知為直角三角形，再分兩種情況進行討論，可得出P點的坐標．【詳解】解：如圖所示：

①若，∴∴四邊形是平行四邊形，又∴四邊形是矩形，∴；②若，則有連接，交于點，過點E作于點F，∴是的垂直平分線，點E是的中點，∵，由勾股定理得，又，即：,∴在中，，又，即，解得，，由勾股定理得，∴∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質及坐標與圖形的性質，勾股定理以及面積法等知識，做這種題要求對全等三角形的判定方法熟練掌握．18．（本題2分）（2024秋·安徽六安·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，．點P從A點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1和3的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作于E、作于F，

當點P運動秒時，以P、E、C為頂點的三角形和以Q、F、C為頂點的三角形全等．【答案】或或6【分析】根據題意分為五種情況，根據全等三角形的性質得出，代入得出關于t的方程，解方程即可．【詳解】解：設點運動秒時，以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形全等，分為五種情況：①如圖1，P在上，Q在上，則，，，，，，，，，，，即，；②如圖2，P在上，Q在上，則，，由①知：，，；因為此時，所以此種情況不符合題意；③當P、Q都在上時，如圖3，，；④當Q到A點停止，P在上時，，時，解得．⑤因為P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在上的情況不存在；綜上，點P運動或或6秒時，以P、E、C為頂點的三角形上以Q、F、C為頂點的三角形全等．故答案為：或或6．【點睛】本題主要考查對全等三角形的性質，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能根據題意得出方程是解此題的關鍵．19．（本題2分）（2024秋·安徽合肥·八年級合肥市第四十五中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，，，現(xiàn)有一動點，從點出發(fā)沿著三角形的邊運動回到點停止，速度為，設運動時間為．（1）如上圖，當時，的面積等于面積的一半；（2）如圖，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點Q，與點P同時從點出發(fā)，沿著邊運動回到點A停止，在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，則點Q的運動速度是．【答案】或或或或【分析】（1）根據三角形中線的性質，分點運動到邊上時和點運動到邊上時兩種情況分別討論即可；（2）根據題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度=路程÷時間求解即可．【詳解】解：∵的面積等于面積的一半，∴P點運動到BC的中點，此時，當P點運動到AC邊上時，此時，∴此時P點在AC邊的中點，此時，綜上所述，當或時，的面積等于面積的一半；（2）設點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，，∴解得；②當點在上，點在上，時，，∴，解得；③當點P在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴解得；④當點P在上，點Q在上，時，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴解得；∴運動的速度為或或或．故答案為：或或或．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質及三角形面積，分類討論思想，掌握全等三角形的性質及分情況討論是解題的關鍵．20．（本題2分）（2024秋·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，三角形ABC中，BD平分，若，則．【答案】8【分析】延長AD交BC與點E，證可得，由可得，進而即可求解；【詳解】解：如圖，延長AD交BC與點E，∵BD平分∴∵BD=BD∴∴AB=BE∴∵∴∴∵AD=DE，∴∴故答案為：8．【點睛】本題主要考查三角形的全等證明、角平分線的性質，掌握相關知識并正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．三、解答題：本大題共7小題，21-25題每小題8分，26-27題每小題10分，共60分．21．（本題8分）（2024秋·山西陽泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，線段，于點，，射線于點，點從點向點運動，每秒走，點從點沿方向運動，每秒走．若點，同時從點出發(fā)，當出發(fā)秒后，在線段上有一點，使以點，，為頂點的三角形與全等，求的值．

【答案】5秒【分析】分兩種情況考慮：當≌時與當≌時，根據全等三角形的性質即可確定出時間．【詳解】解：當時，，即，解得：；當時，，此時所用時間為10秒，，與點C在線段上矛盾，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)5秒后，在線段上有一點，使以點，，為頂點的三角形與全等．【點睛】此題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解本題的關鍵．22．（本題8分）（2024秋·山西大同·八年級大同一中?？茧A段練習）綜合與探究【知識生成】我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如，由圖1可以得到，基于此，請解答下列問題．【直接應用】（1）若，，求的值．【類比應用】（2）若，則___________．【知識遷移】（3）將兩塊全等的特制直角三角板（）按如圖2所示的方式放置，其中點，，在同一直線上，點，，也在同一直線上，連接，．若，，求一塊直角三角板的面積．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據完全平方公式變形即可求解．（2）將看成，進而根據，即可求解；（3）設，，根據可得，而，進而根據完全平方公式變形即可求解．【詳解】解：（1）又，；（2）∵，則故答案為：；（3）∵兩塊直角三角板全等，，，點A，O，D在同一直線上，點B，O，C也在同一直線上，，．設，．，又，，，，，答：一塊直角三角板的面積為16．【點睛】本題考查了完全平方公式變形求值，全等三角形的性質，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．23．（本題8分）（2025春·廣東河源·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點是等邊內一點，，將繞點按順時針方向旋轉，得，連接．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)直接寫出為多少度時，是等腰三角形？【答案】(1)是等邊三角形，證明見解析(2)是直角三角形，理由見解析(3)當，或時，是等腰三角形【分析】（1）根據旋轉的性質得出，，再根據全等三角形的性質得出，即可得出答案；（2）由旋轉的性質可得，再根據，可求，即可得結論；（3）根據題意及等邊三角形的性質得出，，再分三種情況討論，列出方程可求解．【詳解】（1）是等邊三角形，證明如下：∵繞點C按順時針方向旋轉得，∴．，∴．∴是等邊三角形．（2）當時，是直角三角形．∵繞點C按順時針方向旋轉得，∴，∴，由（1）可知，∴，∴當時，是直角三角形．（3）∵，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，，①當時，，解得；②當時，，解得；③當時，，解得，∴當，或時，是等腰三角形．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．24．（本題8分）（2024秋·寧夏石嘴山·八年級校考期末）在平面直角坐標系中，的位置如圖所示，、、三點都在格點上．

(1)畫出關于軸對稱的；(2)在網格中找出點，使得以，，三點為頂點的與全等，請寫出符合條件的所有點的坐標．【答案】(1)見解析(2)見解析，符合條件的點的坐標有，，【分析】（1）找出關于軸對稱的各對應點，然后順次連接即可；（2）根據全等三角形的判定，找出所有符合題意的點即可，注意答案的全面．【詳解】（1）解：有圖可知，，，，關于軸的對稱點，，，然后順次連接，見下圖：

（2）根據全等三角形的判定，找出所有符合題意的點，由圖可知有，，三個點．

【點睛】本題考查軸對稱變換的作圖問題，同時考查在直角坐標系中做全等三角形的問題，注意思考時要全面，不遺漏是解答本題的關鍵．25．（本題8分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，的延長線交于點F，交于點G，，，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據全等三角形的性質得到，，求得，由三角形外角的性質即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質、三角形的內角和定理、三角形外角的性質知識，熟練掌