專題3.2函數(shù)的基本性質(zhì)【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】 3【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 3【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 4【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】 4【題型5求函數(shù)的最值】 6【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】 7【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】 8【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】 8【題型9函數(shù)圖象的識別、判斷】 9【題型10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 10【知識點1函數(shù)的單調(diào)性】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b

(a≠0)a>0時，在R上單調(diào)遞增；

a<0時，在R上單調(diào)遞減.

反比例函數(shù)a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(0,)；

a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)和(0,).二次函數(shù)y=a(xm)2+n(a≠0)a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,)；

a<0時，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：

①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.

③若f(x)恒為正值或恒為負(fù)值，a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時，f(x)與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)a<0時，f(x)與具有相同的單調(diào)性.

④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調(diào)性.

⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)在0,+∞上不是增函數(shù)的是（

）A．yB．yC．yD．y【變式11】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)f(x)=3+2x?x2A．-∞，1 B．1，+∞ C．【變式12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R，對任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函數(shù) B．y=f(x)+x是減函數(shù)C．y=f(x)是增函數(shù) D．y=f(x)是減函數(shù)【變式13】（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù) B．函數(shù)y=1C．函數(shù)y=x2和函數(shù)y=x的單調(diào)性相同 D．函數(shù)y=【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2023秋·湖南常德·高一?？计谀┤艉瘮?shù)f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)A．(0,+∞) B．(0,1] C．[1,+∞【變式21】（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知a∈R，則“0<a<1”是“函數(shù)fx=ax2?2x?5A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式22】（2023春·山西運城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f1?x=x+xa+x，若對于任意x1，x2∈A．?∞,?1∪C．?∞,?3∪【變式23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=?x2?ax?9,x≤1aA．?5,0 B．(?C．?5,?2 D．(?【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3】（2023·高一課時練習(xí)）已知對fx定義域內(nèi)的任意實數(shù)x1，x2，且x1≠x2，fA．b<a<c B．c<b<a C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【變式31】（2023·高一課時練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上是增函數(shù)，則f1，fA．f1<f5C．f52<f【變式32】（2023秋·山西呂梁·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線x=12對稱，且在(－∞，12]上單調(diào)遞增，a=f?12，b=f(1)，c=f(2)，則aA．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<b<c【變式33】（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：f?x+fx=0,f2?x=fA．fB．fC．fD．f【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4】（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足對任意的x1,x2∈0,+∞，且x1A．?1,1 B．[?1,0]∪[1,+∞) C．?1,0∪【變式41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0,+∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x?1)<f13的A．13,23 B．[13【變式42】（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考二模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f2?x=fx，且當(dāng)x≥1時，A．12,+∞ B．0,12 【變式43】（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若?x∈(?∞,0]，且x1≠x2，A．(?1?52C．(?1?52【知識點2函數(shù)的最值】1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（?。┲担好Q定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.【題型5求函數(shù)的最值】【例5】（2023春·天津東麗·高二期末）已知函數(shù)f(x)=2x+1x?1，其定義域是[?8，?4)，則下列說法正確的是(A．f(x)有最大值53，無最小值 B．f(x)有最大值53C．f(x)有最大值75，無最小值 D．f(x)有最大值2，最小值【變式51】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y=f(x)(?2≤x≤2)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為（

）A．f(2)，f(?2)B．f(12C．f(12D．f(12【變式52】（2022春·重慶沙坪壩·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)fx=x?22x2+4的最大值為MA．0 B．1 C．2 D．4【變式53】（2023·全國·高一假期作業(yè)）a,b∈R，記maxa,b=aa≥bba<bA．3?52 B．3+52 C．【題型6由函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)fx=2x+mx+1在區(qū)間0,1上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52【變式61】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(a?1)x+2a,x<0x2?2x,x≥0有最小值，則A．?12,1C．?12,1【變式62】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)y=a?x?3xx>0在x=m時有最大值為3，則a?mA．43 B．33 C．23【變式63】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=2x2?1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的較大者，記為M(x)=max{f(x),g(x)}A．0 B．±1 C．±2 D．【知識點3函數(shù)的奇偶性】1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).非奇非

偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).定義域

特征定義域必須是關(guān)于原點對稱的區(qū)間.等價

形式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，則有f(x)是偶函數(shù)?x∈I，x∈I，且

f(x)f(x)=0；f(x)是奇函數(shù)?x∈I，x∈I，且f(x)+f(x)=0.特別地，若f(x)≠0，還可以判斷是否成立.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征（幾何意義）①奇函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).②偶函數(shù)的圖象特征：若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).③奇偶函數(shù)的結(jié)論：奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).(3)奇、偶函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用①若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)是奇函數(shù)；②若一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).【題型7函數(shù)奇偶性的判斷】【例7】（2023·天津·高二學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A．y=x?1 B．y=?2x2+3 C．y=【變式71】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx=1+xA．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)【變式72】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2+xA．fx?2?2 B．fx?2+1 C．【變式73】（2023·全國·高一假期作業(yè)）對于兩個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)和g(x)在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)?g(x)是奇函數(shù)B．若f(x)和g(x)都是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)C．若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)?g(x)是偶函數(shù)D．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，則f(x)+g(x)不一定是奇函數(shù)【題型8函數(shù)奇偶性的應(yīng)用】【例8】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）已知定義在R上的函數(shù)fx在?∞,3單調(diào)遞增，且fx+3是偶函數(shù)，則不等式A．1,35 B．?∞,1∪5【變式81】（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f?x+2=fx+2，且f1A．?2 B．?1 C．?13 【變式82】（2023春·北京東城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)fx+1是偶函數(shù)，當(dāng)1<x1<x2時，fxA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【變式83】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x1，x2∈0,+∞（x1≠xA．m<43或m>2 C．m<23或m>4 【知識點4函數(shù)的圖象】1．函數(shù)圖象的對稱性(1)圖象關(guān)于點成中心對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)b為奇函數(shù).(2)圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)g(x)=f(x+a)為偶函數(shù).2．函數(shù)圖象的識別、判斷(1)排除法：利用特殊點的值來排除；(2)利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來判斷.