大數(shù)據(jù)之十年高考真題（20142023）與優(yōu)質(zhì)模擬題（北京卷）專題08數(shù)列1．【2023年北京卷10】已知數(shù)列an滿足an+A．當a1=3時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MB．當a1=5時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MC．當a1=7時，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MD．當a1=9時，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M2．【2022年北京卷06】設an是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當n>N0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．【2021年北京6】{an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，其中akbk(1≤kA．64 B．128 C．256 D．5124．【2021年北京10】數(shù)列{an}是遞增的整數(shù)數(shù)列，且a1≥3，aA．9 B．10 C．11 D．125．【2020年北京卷08】在等差數(shù)列an中，a1=-9，a3=-1．記TA．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項6．【2018年北京文科04】設a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．【2015年北京理科06】設{an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A．若a1+a2＞0，則a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，則a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，則a2＞aD．若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．【2014年北京理科05】設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．【2023年北京卷14】我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列an，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且a1=1,a5=12,a10．【2022年北京卷15】己知數(shù)列an各項均為正數(shù)，其前n項和Sn滿足①an的第2項小于3；

②a③an為遞減數(shù)列；

④an中存在小于其中所有正確結(jié)論的序號是__________．11．【2019年北京理科10】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，則a5＝，Sn的最小值為．12．【2018年北京理科09】設{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2+a5＝36，則{an}的通項公式為．13．【2017年北京理科10】若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，則a2b14．【2016年北京理科12】已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和．若a1＝6，a3+a5＝0，則S6＝．15．【2014年北京理科12】若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當n＝時，{an}的前n項和最大．16．【2023年北京卷21】已知數(shù)列an,bn的項數(shù)均為m(m>2)，且an,bn∈{1,2,?,m},(1)若a1=2,(2)若a1≥b1，且(3)證明：存在p,q,s,t17．【2022年北京卷21】已知Q:a1,a2,?,ak為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的n∈{1,2,?,m(1)判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-(2)若Q:a1,a2,?,(3)若Q:a1,a2,?,18．【2021年北京21】定義Rp數(shù)列{an}：對實數(shù)p，滿足：①a1+p≥0，a2（1）對于前4項2，2，0，1的數(shù)列，可以是R2（2）若{an}是R（3）是否存在p，使得存在Rp數(shù)列{an}，對19．【2020年北京卷21】已知an①對于an中任意兩項ai,aj(i②對于an中任意項an(n?3)，在(Ⅰ)若an=n(n(Ⅱ)若an=2n-1((Ⅲ)若an是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：an20．【2019年北京文科16】設{an}是等差數(shù)列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值．21．【2019年北京理科20】已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項、第i2項、…、第im項（i1＜i2＜…＜im），若ai1＜ai2＜?＜aim，則稱新數(shù)列ai1，ai2，…，aim為{an}的長度為m的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列{a（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列{an}的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am0，長度為q的遞增子列的末項的最小值為an0．若p＜q，求證：am0（Ⅲ）設無窮數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若{an}的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s﹣1，且長度為s末項為2s﹣1的遞增子列恰有2s﹣1個（s＝1，2，…），求數(shù)列{an}的通項公式．22．【2018年北京文科15】設{an}是等差數(shù)列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求ea23．【2017年北京理科20】設{an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，記cn＝max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n＝1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs這s個數(shù)中最大的數(shù)．（1）若an＝n，bn＝2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并證明{cn}是等差數(shù)列；（2）證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當n≥m時，cnn＞M；或者存在正整數(shù)m，使得cm，cm+1，c24．【2017年北京文科15】已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2+a4＝10，b2b4＝a5．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．25．【2016年北京理科20】設數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥2）．如果對小于n（2≤n≤N）的每個正整數(shù)k都有ak＜an，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”，記G（A）是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合．（Ⅰ）對數(shù)列A：﹣2，2，﹣1，1，3，寫出G（A）的所有元素；（Ⅱ）證明：若數(shù)列A中存在an使得an＞a1，則G（A）≠?；（Ⅲ）證明：若數(shù)列A滿足an﹣an﹣1≤1（n＝2，3，…，N），則G（A）的元素個數(shù)不小于aN﹣a1．26．【2016年北京文科15】已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{an}的通項公式；（2）設cn＝an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．27．【2015年北京理科20】已知數(shù)列{an}滿足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=2an，an≤182an-36，an＞18（n（Ⅰ）若a1＝6，寫出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合M的元素個數(shù)的最大值．28．【2015年北京文科16】已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2（1）求{an}的通項公式；（2）設等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？29．【2014年北京理科20】對于數(shù)對序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），記T1（P）＝a1+b1，Tk（P）＝bk+max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}（2≤k≤n），其中max{Tk﹣1（P），a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1（P）和a1+a2+…+ak兩個數(shù)中最大的數(shù)，（Ⅰ）對于數(shù)對序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）記m為a，b，c，d四個數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個數(shù)對（a，b），（c，d）組成的數(shù)對序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），試分別對m＝a和m＝d兩種情況比較T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五個數(shù)對（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使T5（P）最小，并寫出T5（P）的值（只需寫出結(jié)論）．30．【2014年北京文科15】已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn﹣an}為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．1．【北京市房山區(qū)2023屆高三二模】已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，{an}的前n項和為Sn，若SA．1 B．2 C．3 D．42．【北京大興精華學校2023屆高三高考適應性測試】an是由實數(shù)構(gòu)成的無窮等比數(shù)列，Sn=a1+a2+???+an，關(guān)于數(shù)列Sn，給出下列命題：①數(shù)列Sn中任意一項均不為0；②數(shù)列Sn中必有一項為0；③A．0 B．1 C．2 D．33．【北京市海淀區(qū)2023屆高三一模】在等差數(shù)列an中，a2=1，a4=A．9 B．11 C．13 D．154．【北京市第八十中學2023屆高三熱身考試】已知an是首項為正數(shù)，公比不為±1的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且aA．a(chǎn)3>b3 B．a(chǎn)3=b5．【北京市2023屆高三高考模擬預測】已知數(shù)列{an}滿足an=n?sinnπ2，數(shù)列{bA．-2025 B．-2023 C．-26．【北京市昌平區(qū)2023屆高三二?！恳阎缺葦?shù)列an的前n項和為Sn，則下列結(jié)論中一定成立的是（A．若a6>0，則S2nC．若a5>0，則S2n7．【北京市人大附中2023屆高三三?！恳阎獢?shù)列an滿足：對任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得Sn=①若an=2023n，則an②設an為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則an為“回旋數(shù)列③設an為等差數(shù)列，當a1=1，d<0時，若an④若an為“回旋數(shù)列”，則對任意n∈N*，總存在A．1 B．2 C．3 D．48．【北京市通州區(qū)2023屆高三考前查漏補缺】數(shù)列an中，a1=2，A．14 B．12 C．2 D9．【2023屆北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校高考三模】已知等比數(shù)列an，對任意n∈N*，an?an+1>0，SnA．a(chǎn)n是遞減數(shù)列 B．a(chǎn)C．Snan<1 D．一定存在10．【北京市第一0一中學20222023學年高三下學期統(tǒng)練】無窮數(shù)列an由k個不同的數(shù)組成，Sn為an的前n項和，若對任意n∈N*，A．5 B．6 C．7 D．811．【北京市房山區(qū)2023屆高三二?！咳繇棓?shù)為k(k∈N*，k≥3)的有窮數(shù)列{an}滿足：0≤a(1)判斷數(shù)列0,1,(2)設數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，ai??(3)若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，證明：當k12．【北京市2023屆高三高考模擬預測】正整數(shù)集合A={a1,a2,a3,(1)若A={1,2,5}，請直接寫出集合(2)若集合B中有且只有兩個元素，求證“a1,a2,a3,?,an(3)若C={1,2,3,?,2023}，求n的最小值，以及當n13．【北京市人大附中2023屆高三三?！坑懈F數(shù)列{an}共m項(m≥3)．其各項均為整數(shù)，任意兩項均不相等．b(1)若{an}：0，1，a3．求(2)若m=5，當i=(3)若1≤ai≤m14．【北京市通州區(qū)2023屆高三考前查漏補缺】已知：正整數(shù)列an各項均不相同，n∈N*(1)若T5=3，寫出一個滿足題意的正整數(shù)列a(2)若a1=1,(3)證明若?k∈N*，都有ak≤n，是否存在不同的正整數(shù)i，j，使得T15．【北京市海淀外國語實驗學校2023屆高三三?！恳阎邢迶?shù)列an，從數(shù)列an中選取第i1項、第i2項、?、第im項（i1<i2<?<im），順次排列構(gòu)成數(shù)列bk，其中bk=aik，1≤k≤m，則稱新數(shù)列(1)判斷下面數(shù)列an的兩個子列是否數(shù)列①：3，5，7，9，11；數(shù)列②：2，4，8，16．(2)數(shù)列an的子列bk長度為m，且bk為完全數(shù)列，證明：m(3)數(shù)列an的子列bk長度m=5，且16．【北京市石景山區(qū)2023屆高三一?！咳魺o窮數(shù)列an滿足以下兩個條件，則稱該數(shù)列為τ數(shù)列①a1=1，當n②若存在某一項am≤-5，則存在k∈1,2,???,m(1)若a2<0(2)若a2>0(3)在所有的τ數(shù)列中，求滿足am=-2021的17．【北京師范大學附屬實驗中學2023屆高三三?！咳繇棓?shù)為NN≥3的數(shù)列AN:a1,a2,(1)①若N=3，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列②若N=4,a4=(2)若N=2024，數(shù)列A2024具有性質(zhì)P(3)已知數(shù)列AN:a1,a2,?,aN,BN:18．【北京市朝陽區(qū)2023屆高三一模】已知有窮數(shù)列A:a1,a2,?,aNN∈N*,N(1)判斷數(shù)列A:-1,1,0,1,0,1,-1(2)若項數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N(3)若數(shù)列A:a1,a2,?,aN不是4-連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列19．【北京市房山區(qū)2023屆高三一模】如果數(shù)列an對任意的n∈N*，an+(1)判斷數(shù)列2n是否為“速增數(shù)列”(2)若數(shù)列an為“速增數(shù)列”.且任意項an∈Z，a1(3)已知項數(shù)為2k（k≥2,k∈Z）的數(shù)列bn是“速增數(shù)列”，且bn的所有項的和等于20．【北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校2023屆高三零?！咳魺o窮數(shù)列an的各項均為整數(shù)．且對于?i,j∈N*,i(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①an=n，n=1，2②bn=n+2，n=1(2)若數(shù)列an滿足性質(zhì)P，且a1=(3)若周期數(shù)列an滿足性質(zhì)P，請寫出數(shù)列a21．【北京市八一學校2023屆高三模擬測試】已知數(shù)列A:a1，a2，…，aNN≥(1)若數(shù)列A:1，1，3，2，求集合T，并寫出P(2)若A是遞增數(shù)列，求證：“PT=N-1”的充要條件是(3)若N=23，數(shù)列A由1，2，3，…，11，22這12個數(shù)組成，且這12個數(shù)在數(shù)列A中每個至少出現(xiàn)一次，求22．【北京市師大附屬中學2023屆高三適應性練習】已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設A+A=ai+ajai,設nA=A+A-A-A.例如當A(1)若A=1,(2)設A是由3個正實數(shù)組成的集合且A+A?(3)若an是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)數(shù)列，對任意n∈N*，設An=a1,a223．【北京市東城區(qū)2023屆高三二?！恳阎懈F數(shù)列A:a1，a2，?，an(n≥3)中的每一項都是不大于n的正整數(shù).(1)若A:6，3(2)若1s(a(3)已知a1=a,a2=b24．【2023屆北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校高考三?！咳魯?shù)列an滿足ak+1-ak=1(1)寫出一個滿足a1=a5=(2)若a1=24,n=2000，證明：(3)對任意給定的整數(shù)nn≥3，是否存在首項為1的η數(shù)列an，使得Sn=25．【北京市北京師范大學附屬實驗中學2023屆高三數(shù)學零?！繉τ谝粋€有窮單調(diào)遞增正整數(shù)數(shù)列P，設其各項為a1，a2，?，ann≥5，若數(shù)列P中存在不同的四項ap，aq，as，at滿足(1)判斷下列數(shù)列是否是等和數(shù)列，若是等和數(shù)列，直接寫出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；(2)已知數(shù)列P：a1，a2，a3，a4，a5是等和數(shù)列，并且對于任意的i,j1≤(3