第十章二元一次方程組二元一次方程組應(yīng)用題講義人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.1二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用步驟（教材標(biāo)準(zhǔn)流程）

1.審題：明確問(wèn)題中的已知量、未知量及等量關(guān)系；

2.設(shè)元：設(shè)兩個(gè)未知數(shù)為x和y；

3.列方程組：根據(jù)等量關(guān)系列出兩個(gè)獨(dú)立方程；

4.解方程組：用代入法或加減法求解；

5.檢驗(yàn)并作答：驗(yàn)證解是否符合實(shí)際意義，并寫出答案。1.2常見應(yīng)用題類型（教材示例）

1.行程問(wèn)題：相遇、追及、順流/逆流速度問(wèn)題；

2.工程問(wèn)題：工作量、效率與時(shí)間關(guān)系；

3.利潤(rùn)問(wèn)題：成本、售價(jià)、利潤(rùn)與數(shù)量關(guān)系；

4.比例分配問(wèn)題：按比例分配總量或差值。二、重難點(diǎn)講解2.1從實(shí)際問(wèn)題抽象出方程組

核心方法：

1.通過(guò)關(guān)鍵詞提取等量關(guān)系，例如：

“甲比乙多5元”→x=y+5；

“總費(fèi)用為100元”→ax示例（相遇問(wèn)題）：

甲、乙兩人從相距30km的兩地相向而行，甲速度5km/h，乙速度4km/h，求相遇時(shí)間。

解析：

設(shè)相遇時(shí)間為t小時(shí)：

5t2.2解的合理性驗(yàn)證

實(shí)際約束條件：

人數(shù)、組數(shù)需為非負(fù)整數(shù)；

速度、時(shí)間需符合物理意義（如時(shí)間不能為負(fù)）。三、易錯(cuò)點(diǎn)與解題方法3.1常見易錯(cuò)點(diǎn)

1.單位未統(tǒng)一：

錯(cuò)誤：行程問(wèn)題中速度單位為km/h，時(shí)間單位為分鐘未換算。

2.忽略實(shí)際意義：

錯(cuò)誤：求得的組數(shù)為負(fù)數(shù)或小數(shù)仍作為答案。

3.等量關(guān)系遺漏：

錯(cuò)誤：僅列出一個(gè)方程，導(dǎo)致無(wú)法解出兩未知數(shù)。3.2解題技巧與方法

1.表格分析法：

將問(wèn)題中的量整理成表格，明確已知與未知。示例（利潤(rùn)問(wèn)題）：

某商店賣出甲商品x件（利潤(rùn)10元/件）和乙商品y件（利潤(rùn)15元/件），總利潤(rùn)200元。求可能的銷售方案。

解析：

列方程：10x+15y=200→化簡(jiǎn)為2x+3y=40；

參數(shù)替代法：當(dāng)問(wèn)題含比例關(guān)系時(shí)，設(shè)比例系數(shù)為參數(shù)。四、典型例題解析例1（工程問(wèn)題）：

甲單獨(dú)完成一項(xiàng)工程需12天，乙單獨(dú)完成需8天。兩人合作需幾天完成？

解：

1.設(shè)工程總量為1，甲效率112，乙效率18；

2.合作時(shí)間t1例2（比例分配問(wèn)題）：

某班級(jí)男生人數(shù)比女生多5人，男女生人數(shù)比為3:2，求男女生人數(shù)。

解：

1.設(shè)女生人數(shù)為2k，男生人數(shù)為3k；

2.根據(jù)題意：3k?2k=5???k=5五、鞏固練習(xí)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧450噸，甲庫(kù)調(diào)出50噸后，甲庫(kù)存糧是乙?guī)斓?.5倍，求原庫(kù)存糧。

某船順?biāo)叫?0km用時(shí)4小時(shí)，逆水航行同等距離用時(shí)5小時(shí)，求船速和水速。

用50元買單價(jià)6元和9元的兩種筆記本共7本，求各買多少本。

某兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，若數(shù)字對(duì)調(diào)后新數(shù)比原數(shù)小27，求原數(shù)。一、選擇1.(單選)爸爸騎摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時(shí)間看到的里程碑上的數(shù)如下：時(shí)刻里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，它的十位和個(gè)位上的數(shù)字之和是是一個(gè)兩位數(shù)，它的十位與個(gè)位上的數(shù)字與所看到的的正好互換了是一個(gè)三位數(shù)，它比時(shí)看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)則小明時(shí)看到里程碑上的數(shù)是（

）．

A.B.C.D.2.(單選)小麗家離動(dòng)物園米，其中有一段路為上坡路，另一段路為下坡路．她步行去動(dòng)物園一共需要分鐘．假設(shè)小麗上坡的平均速度是千米時(shí)，小麗下坡的平均速度是千米時(shí)，若小麗上坡用了小時(shí)，下坡用了小時(shí)，根據(jù)題意可列方程組為（

）．A.B.C.D.3.(單選)甲、乙兩列火車分別在兩條平行的車軌上行駛，甲車長(zhǎng)a米，乙車長(zhǎng)b米（）．若兩車相向而行，從車頭相遇到車尾離開共需要；若甲車從后面追趕乙車，從車頭追上乙車的車尾并完全超過(guò)乙車共需要．下列結(jié)論正確的是（

）A.快車速度B.慢車速度C.快車速度D.慢車速度4.(單選)甲、乙兩人分別在A、B兩地，以各自的速度同時(shí)出發(fā)．如果相向而行，兩人后相遇；如果同向而行，兩人后相遇；問(wèn)甲從A地到B地需要（

）．A.B.C.或D.或5.(單選)小明和小偉分別從兩地同時(shí)出發(fā)，小明騎自行車，小偉步行，沿同一道路相向勻速而行，出發(fā)24分鐘后兩人相遇．相遇時(shí)小明比小偉多行進(jìn)4.8千米，相遇后6分鐘小明到達(dá)地．則兩地間的距離為（

）A.8千米B.12千米C.6千米D.9千米6.(單選)8.A、B兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，同時(shí)乙從B地出發(fā)步行到A地，20分鐘兩人相遇，又經(jīng)過(guò)10分鐘，甲所余路程為乙所余路程的2倍，求甲、乙二人的速度．設(shè)甲的速度為千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí)，下列方程組中正確的是（

）A.B.C.D.7.(單選)一條鐵路線A，B，C三個(gè)車站的位置如圖所示，已知B，C兩車站之間相距500千米．火車從B站出發(fā)，向C站方向行駛，經(jīng)過(guò)30分鐘，距A站130千米；經(jīng)過(guò)2小時(shí)，距A站280千米．火車從B站開出多少時(shí)間后可到達(dá)C站？（

）A.4小時(shí)B.5小時(shí)C.6小時(shí)D.7小時(shí)8.(單選)一道來(lái)自課本的習(xí)題：從王老師家到學(xué)校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老師每天步行上下班．如果上坡路的平均速度為，平路的平均速度為，下坡路的平均速度為，那么王老師從家到學(xué)校需分鐘，從學(xué)校到家需分鐘．求從王老師家到學(xué)校的上坡路、平路和下坡路的路程．小吳將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問(wèn)題，設(shè)王老師從家到學(xué)校的上坡路、平路的路程分別是、，列出了以下四個(gè)方程，則正確的是（

）

A.B.C.D.二、填空1.某景區(qū)游船碼頭派車原定于點(diǎn)整準(zhǔn)時(shí)到達(dá)景區(qū)入口接工作人員，由于汽車在路上發(fā)生故障導(dǎo)致時(shí)車還未到達(dá)景區(qū)入口，于是工作人員步行前往碼頭．走了一段時(shí)間后遇到了前來(lái)接他的汽車，他上車后汽車立即掉頭繼續(xù)前進(jìn)．到達(dá)碼頭時(shí)已經(jīng)比原計(jì)劃遲到了．已知汽車的速度是工作人員步行速度的倍，則汽車在路上因故障耽誤的時(shí)間為

．2.如圖所示，在高速公路上，一輛長(zhǎng)為米、速度為千米/時(shí)的轎車準(zhǔn)備超越一輛長(zhǎng)為米、速度為千米/時(shí)的卡車，則轎車從開始追趕到超越卡車，需要花費(fèi)的時(shí)間約是

秒（結(jié)果保留整數(shù)）．3.甲、乙兩人分別從A，B兩地相向而行，如果甲比乙先走，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后相遇；如果乙比甲先走，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后相遇，則甲、乙兩人的速度比為

．4.甲、乙兩人從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每分鐘走52米，乙每分鐘走70米，在A點(diǎn)相遇；如果甲先走4分鐘，然后甲的速度仍為每分鐘52米，乙的速度變?yōu)槊糠昼?0米，恰好還在A點(diǎn)相遇，則兩地相距

米．5.18.A、B兩個(gè)碼頭相距140千米，一艘輪船在其間航行，順流用了7小時(shí)，逆流用了10小時(shí)，這艘輪船在靜水中的速度是

千米/時(shí)．6.甲、乙、丙三人在A、B兩塊地植樹，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且僅在A地工作，乙每天植32棵且僅在B地工作，丙每天植30棵且每天可選擇在A地或B地植樹．（1）若甲和丙一起在A地植樹2天，之后A地剩余的植樹任務(wù)由甲單獨(dú)完成，甲還需要

天完成；（2）若兩地從同一天開始植樹，且恰好在同一天完成，則丙在A地植樹的天數(shù)比在B地少

天．7.甲地到乙地由一段平路與一段上坡路組成，小明步行往返一次用了5小時(shí)，若在平路上每小時(shí)走4千米，上坡每小時(shí)走3千米，下坡每小時(shí)走6千米，那么小明這5小時(shí)共走

千米．8.自行車輪胎安裝在后輪上只能行駛就要報(bào)廢，安轉(zhuǎn)在前輪上，則可以行駛才報(bào)廢．為使一對(duì)輪胎能夠行駛盡可能多的路程后報(bào)廢，在自行車行駛一段路程后，將前后輪胎進(jìn)行調(diào)換，這樣安轉(zhuǎn)在自行車上的一對(duì)輪胎最多可以行駛多少

千米．三、解答1.甲、乙兩地火車線路比汽車線路長(zhǎng)千米，汽車從甲地先開出，速度為千米/時(shí)，開出半小時(shí)后，火車也從甲地開出，速度為千米/時(shí)，結(jié)果汽車僅比火車晚小時(shí)到達(dá)乙地，求甲、乙兩地的火車與汽車線路長(zhǎng)．2.滴滴快車是一種便捷的出行工具，計(jì)價(jià)規(guī)則如下表：計(jì)費(fèi)項(xiàng)目里程費(fèi)時(shí)長(zhǎng)費(fèi)遠(yuǎn)途費(fèi)單價(jià)元公里元分鐘元公里注：車費(fèi)由里程費(fèi)、時(shí)長(zhǎng)費(fèi)、遠(yuǎn)途費(fèi)三部分構(gòu)成，其中里程費(fèi)按行車的實(shí)際里程計(jì)算；時(shí)長(zhǎng)費(fèi)按行車的實(shí)際時(shí)間計(jì)算；遠(yuǎn)途費(fèi)的收取方式為：行車?yán)锍坦镆詢?nèi)（含公里）不收遠(yuǎn)途費(fèi)，超過(guò)公里的，超出部分每公里收元．

(1)若小東乘坐滴滴快車，行車?yán)锍虨楣?，行車時(shí)間為分鐘，則需付車費(fèi)多少元．(2)若小明乘坐滴滴快車，行車?yán)锍虨楣铮熊嚂r(shí)間為分鐘，則小明應(yīng)付車費(fèi)多少元？（用含、的代數(shù)式表示，并化簡(jiǎn)）(3)小王與小張各自乘坐滴滴快車，行車?yán)锍谭謩e為公里與公里，并且小王的行車時(shí)間比小張的行車時(shí)間多分鐘，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明兩人下車時(shí)所付車費(fèi)有何關(guān)系？3.列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題．一艘輪船順流航行每小時(shí)行，逆流航行每小時(shí)行，求輪船在靜水中的速度與水流速度．4.列方程組解應(yīng)用題(1)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝和小瓶裝兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計(jì)算）比為．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶?jī)煞N產(chǎn)品各多少瓶？(2)地至地的航線長(zhǎng)，一架飛機(jī)從地順風(fēng)飛往地需，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需、求飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度與風(fēng)速．5.甲乙兩人騎摩托車同時(shí)從地出發(fā)前往地，且兩人到達(dá)地后各自按原速度返回，且不停地在之間往返行駛，甲的速度為32km/h，乙的速度為18km/h，當(dāng)乙車由至多次后，甲車兩次追上乙車，且第二次追上乙時(shí)是在乙車從地向地行駛的途中，且他們此時(shí)距地的距離為，求兩地的距離．6.、兩地相距千米，一列慢車從地開出，一列快車從地開出．如果兩車同時(shí)開出相向而行，那么小時(shí)后相遇；如果兩車同時(shí)開出同向（沿方向）而行，那么快車小時(shí)可追上慢車，求快車與慢車的速度各是多少？7.小麗家到學(xué)校的路程為千米．一天小麗點(diǎn)從家出發(fā)去學(xué)校，她先步行了千米，然后乘坐公交車，下車后又步行了千米，于點(diǎn)分到達(dá)學(xué)校．已知公交車的速度是小麗步行速度的倍，求小麗步行的速度．8.小剛、小程兩人相距．兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，相遇；同時(shí)出發(fā)同向而行，小剛可追上小程．兩人的平均速度各是多少?9.如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，點(diǎn)P是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)：是否存在某個(gè)時(shí)刻t，恰好使得點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的3倍？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)2秒相遇；若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)與點(diǎn)P同向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)6秒相遇，請(qǐng)分別求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．10.甲、乙兩地相距千米，小王騎自行車從甲地到乙地，在返回的路上用原來(lái)的速度騎行了小時(shí)，因事停車分鐘后，又把速度提高到原來(lái)的倍，這樣返回所用的時(shí)間和去時(shí)所用的時(shí)間相等，求小王原來(lái)騎車的速度．11.列方程解應(yīng)用題：已知騎車比步行快，乘車比騎車快，某人先步行，再乘車，最后騎車返回，若往返時(shí)間相同，求：步行