幻燈片1：封面標(biāo)題：16.3.2.1完全平方公式-整式乘法的又一特殊規(guī)律背景圖：以邊長(zhǎng)為\((a+b)\)的大正方形分割動(dòng)畫(huà)為背景，動(dòng)態(tài)展示大正方形由邊長(zhǎng)為\(a\)的正方形、邊長(zhǎng)為\(b\)的正方形以及兩個(gè)長(zhǎng)為\(a\)寬為\(b\)的矩形組成，直觀呈現(xiàn)完全平方公式的幾何意義幻燈片2：目錄復(fù)習(xí)回顧，情境引入完全平方公式的探究發(fā)現(xiàn)完全平方公式的推導(dǎo)與驗(yàn)證完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征分析公式應(yīng)用與步驟解析易錯(cuò)點(diǎn)警示與糾正課堂練習(xí)與互動(dòng)提升課堂總結(jié)與方法提煉課后作業(yè)布置幻燈片3：復(fù)習(xí)回顧，情境引入平方差公式回顧：提問(wèn)學(xué)生“平方差公式是什么？它的結(jié)構(gòu)特征是什么？”引導(dǎo)回答：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，左邊是兩數(shù)和乘兩數(shù)差，右邊是兩數(shù)平方差?？焖儆?jì)算練習(xí)：\((x-3)(x+3)=\_\_\_\_\_\)，鞏固平方差公式應(yīng)用。特殊形式引入：提出問(wèn)題“當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式是相同的二項(xiàng)式相乘時(shí)，如\((a+b)(a+b)\)和\((a-b)(a-b)\)，結(jié)果有什么規(guī)律呢？”計(jì)算以下多項(xiàng)式乘法：\((x+2)(x+2)=\_\_\_\_\_\)\((m-3)(m-3)=\_\_\_\_\_\)引導(dǎo)學(xué)生觀察算式和結(jié)果的特點(diǎn)，引出本節(jié)課完全平方公式的學(xué)習(xí)內(nèi)容?；脽羝?：完全平方公式的探究發(fā)現(xiàn)計(jì)算觀察：讓學(xué)生完成以下計(jì)算并觀察結(jié)果：\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)；\((m-n)^2=(m-n)(m-n)=m^2-mn-mn+n^2=m^2-2mn+n^2\)；\((2x+3y)^2=(2x+3y)(2x+3y)=4x^2+6xy+6xy+9y^2=4x^2+12xy+9y^2\)。小組討論：組織學(xué)生討論“這些算式的結(jié)構(gòu)有什么共同特點(diǎn)？結(jié)果由哪幾部分組成？每部分與原式中的項(xiàng)有什么關(guān)系？”規(guī)律總結(jié)：學(xué)生分享發(fā)現(xiàn)后，教師歸納：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍?；脽羝?：完全平方公式的推導(dǎo)與驗(yàn)證代數(shù)推導(dǎo)：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a??a+a??b+b??a+b??b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)；同理，\((a-b)^2=(a-b)(a-b)=a??a+a??(-b)+(-b)??a+(-b)??(-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\)。推導(dǎo)得出完全平方公式的兩種形式。幾何驗(yàn)證：對(duì)于\((a+b)^2\)：展示邊長(zhǎng)為\((a+b)\)的大正方形，其面積為\((a+b)^2\)；該正方形可分割為邊長(zhǎng)為\(a\)的正方形（面積\(a^2\)）、邊長(zhǎng)為\(b\)的正方形（面積\(b^2\)）和兩個(gè)長(zhǎng)\(a\)寬\(b\)的矩形（面積均為\(ab\)），總面積為\(a^2+2ab+b^2\)，驗(yàn)證\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。對(duì)于\((a-b)^2\)：通過(guò)圖形割補(bǔ)法驗(yàn)證公式成立（可展示動(dòng)態(tài)割補(bǔ)過(guò)程）。公式表示：完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，其中\(zhòng)(a\)、\(b\)可以是數(shù)字、字母或多項(xiàng)式?；脽羝?：完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：左邊：兩數(shù)和（或差）的平方，即\((a+b)^2\)或\((a-b)^2\)。右邊：三項(xiàng)式，第一項(xiàng)是第一個(gè)數(shù)的平方（\(a^2\)），第二項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)積的2倍（\(+2ab\)或\(-2ab\)），第三項(xiàng)是第二個(gè)數(shù)的平方（\(b^2\)）?？谠E提煉：“首平方，尾平方，首尾兩倍中間放，和加差減看前方”（“首”指\(a\)，“尾”指\(b\)，“前方”指左邊是和還是差）。實(shí)例分析：以\((3x-2y)^2\)為例，首項(xiàng)\(3x\)的平方為\(9x^2\)，尾項(xiàng)\(2y\)的平方為\(4y^2\)，首尾兩倍為\(2??3x??2y=12xy\)，因左邊是差，所以中間項(xiàng)為減，結(jié)果為\(9x^2-12xy+4y^2\)?；脽羝?：公式應(yīng)用與步驟解析例題1（兩數(shù)和的平方）：計(jì)算\((x+5)^2\)步驟解析：確定首項(xiàng)和尾項(xiàng)：首項(xiàng)為\(x\)，尾項(xiàng)為\(5\)；應(yīng)用公式：首平方+2×

首

×

尾+尾平方=\(x^2+2??x??5+5^2\)；計(jì)算結(jié)果：\(x^2+10x+25\)。例題2（兩數(shù)差的平方）：計(jì)算\((2a-3b)^2\)步驟解析：確定首項(xiàng)和尾項(xiàng)：首項(xiàng)為\(2a\)，尾項(xiàng)為\(3b\)；應(yīng)用公式：首平方-2×

首

×

尾+尾平方=\((2a)^2-2??2a??3b+(3b)^2\)；計(jì)算結(jié)果：\(4a^2-12ab+9b^2\)。例題3（符號(hào)調(diào)整）：計(jì)算\((-m+n)^2\)步驟解析：調(diào)整符號(hào)：可轉(zhuǎn)化為\((n-m)^2\)或\((m-n)^2\)（因平方結(jié)果與符號(hào)無(wú)關(guān)）；應(yīng)用公式（以\((n-m)^2\)為例）：\(n^2-2??n??m+m^2\)；計(jì)算結(jié)果：\(n^2-2mn+m^2\)（或\(m^2-2mn+n^2\)）?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)警示與糾正易錯(cuò)點(diǎn)一：漏寫中間項(xiàng)錯(cuò)誤示例：\((a+b)^2=a^2+b^2\)正確解析：完全平方公式結(jié)果有三項(xiàng)，需加上首尾積的2倍，正確結(jié)果為\(a^2+2ab+b^2\)。易錯(cuò)點(diǎn)二：中間項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：\((x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\)（中間項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤）正確解析：中間項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為2×

首

×

尾，即\(2??x??2y=4xy\)，因左邊是差，所以為\(-4xy\)，正確結(jié)果為\(x^2-4xy+4y^2\)（此例計(jì)算正確，可換錯(cuò)誤示例如\((x-2y)^2=x^2-2xy+4y^2\)）。易錯(cuò)點(diǎn)三：系數(shù)未平方錯(cuò)誤示例：\((2m+3)^2=2m^2+12m+9\)正確解析：首項(xiàng)系數(shù)需平方，\((2m)^2=4m^2\)，正確結(jié)果為\(4m^2+12m+9\)。溫馨提示：應(yīng)用公式時(shí)牢記“三項(xiàng)結(jié)果”，中間項(xiàng)系數(shù)是2倍的首尾乘積，注意符號(hào)與系數(shù)的平方處理?；脽羝?：課堂練習(xí)與互動(dòng)提升基礎(chǔ)練習(xí)：\((a+2)^2=\_\_\_\_\_\)\((3x-1)^2=\_\_\_\_\_\)提升練習(xí)：3.計(jì)算\(101^2\)（利用完全平方公式簡(jiǎn)便計(jì)算）4.已知\(a+b=5\)，\(ab=3\)，求\(a^2+b^2\)的值（提示：利用\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)）互動(dòng)環(huán)節(jié)：采用“小組PK”模式，各小組完成練習(xí)后派代表板書(shū)過(guò)程，教師評(píng)分并針對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行講解?；脽羝?0：課堂總結(jié)與方法提煉知識(shí)梳理：完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，即兩數(shù)和（或差）的平方等于它們的平方和加上（或減去）它們積的2倍。結(jié)構(gòu)特征：左邊是“兩數(shù)和（差）的平方”，右邊是“首平方+尾平方

±2×

首

×

尾”。應(yīng)用關(guān)鍵：準(zhǔn)確確定首項(xiàng)和尾項(xiàng)，正確計(jì)算平方項(xiàng)和中間項(xiàng)。思想方法：特殊到一般思想：從具體乘法運(yùn)算中歸納公式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索過(guò)程。數(shù)形結(jié)合思想：通過(guò)幾何圖形面積驗(yàn)證公式，加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)的理解。轉(zhuǎn)化思想：將復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法轉(zhuǎn)化為公式應(yīng)用，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。學(xué)習(xí)建議：多對(duì)比平方差公式與完全平方公式的區(qū)別，通過(guò)大量練習(xí)熟練掌握公式結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用公式解決求值等問(wèn)題?；脽羝?1：課后作業(yè)布置書(shū)面作業(yè)：課本第[X]頁(yè)練習(xí)題第[X]、[X]、[X]題。計(jì)算\((2x+y)^2-(3x-y)^2\)；已知\((m-n)^2=4\)，\(mn=1\)，求\(m^2+n^2\)的值。拓展作業(yè)：結(jié)合生活實(shí)際（如正方形邊長(zhǎng)變化后的面積計(jì)算），編一道需要用完全平方公式解決的應(yīng)用題，并寫出解答過(guò)程，下節(jié)課分享。2024人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

16.3.2.1完全平方公式第十六章

整式的乘法理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn).能靈活運(yùn)用完全平方公式計(jì)算.相等

一塊邊長(zhǎng)為a

米的正方形農(nóng)田，將其邊長(zhǎng)增加b

米，形成四塊農(nóng)田，以種植不同的品種（如圖）.你能用幾種方式表示農(nóng)田的總面積？abba直接求：總面積=間接求：總面積=abb2a2ab(a+b)2a2+2ab+b2（1）(p

+1)2=(p

+1)(p

+1)=__________；（2）(m+2)2

=(_____)(_____)=__________；（3）(p–1)2

=(_____)(_____)=__________；（4）(m–2)2=(_____)(_____)=__________.計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.p2+2p+1m+2探究m+2m2+4m+4p–1p–1p2–2p+1m–2m–2m2–4m+4（1）(p

+1)2=p2+2p+1；（2）(m+2)2

=m2+2m+4；（3）(p–1)2

=p2–2p+1；（4）(m–2)2=p2–2p+1.p2+2·p·1+12m2+2·m·2+22p2–2·p·1+12m2–2·m·2+22你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？探究都是形如(a±b)2

的多項(xiàng)式相乘右邊第一項(xiàng)、最后一項(xiàng)分別是左邊第一項(xiàng)、第二項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊兩項(xiàng)乘積的2倍猜想：(a+b)2

=____________(a–b)2

=____________a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a2–2ab+b2=(a

–

b)(a

–

b)=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2(a+b)2

=a2+2ab+b2兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.完全平方公式：(a+b)2

=a2+2ab+b2

是多項(xiàng)式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b

的特殊情形.(a

–

b)2

=a2–2ab+b2首平方，尾平方，積的2倍放中央說(shuō)一說(shuō)完全平方公式的特點(diǎn)：積為二次三項(xiàng)式積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同公式中的字母a、b

可以為數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式(a+b)2

=a2+2ab+b2(a

–

b)2

=a2–2ab+b2觀察(a±b)2aba2±2ab+b2(1+x)2(?3+a)2(1+a)2(0.3x?1)21x3a12+2x+x2a2–2a·3+32a112+2a+a20.3x1(0.3x)2–2×(0.3x)×1+12練習(xí)填一填：1+2x+x2a2–6a+91

+2a+a20.09x2–0.6x+1思考你能根據(jù)下面圖形的面積說(shuō)明完全平方公式嗎？aabbabb直接求：S

=間接求：S

=(a+b)2a2+2ab+b2aS

=S

=(a–b)2a2

–2ab+b2abb2a2ababb2ab

例3運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)(4m+n)2；(2)解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2分析：(1)a=___，b=____(2)a=___，b=____4mny練習(xí)計(jì)算：解：（1）原式=72+2·7·a+a2（1）(7+a)2；=a2+14a+49（2）

；（2）原式=（3）原式=(–3a)2+2·(–3a)·2+22=9a2–12a+4也可看作(2–3a)2（3）(–3a+2)2.（3）原式=22–2×3a×2+3a2

=9a2–12a+4

例4運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)1022；(2)992.解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404(2)992=(100–1)2=1002–2×100×1+12=10000–200+1=9801通過(guò)合理變形，利用完全平方公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.思考（1）(a+b)2

與(–a–b)2相等嗎？

(–a–b)2=[–(a+b)]2=(a+b)2

(–a–b)2=(–a)2–2·(–a)·b+b2=a2+2ab+b2

=(a+b)2

或（2）(a–b)2

與(b–a)2相等嗎？

(a–b)2=[–(b–a)]2=(b–a)2

(a–b)2=a2–2ab+b2=b2–2ab+a2

或=(b–a)2

（3）(a–b)2

與a2–b2相等嗎？

(a–b)2=(a–b)(a–b)a2–b2=(a+b)(a–b)相等相等不相等閱讀與思考楊輝三角2.下面的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(a+b)2

＝a2+b2；

（2）(a–b)2

＝a2–ab+b2.【教材P115練習(xí)第1題】原式=a2+2ab+b2原式=a2–2ab+b23.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）(x+6)2；

（2）(y–5)2；（3）(–2x+5)2