第1頁/共1頁深圳外國語學(xué)校2024—2025學(xué)年度高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡的指定位置．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.已知，若集合，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由集合相等定義建立方程求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，解得，故選：B2.已知命題“”為假命題，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由其否定為真命題，通過一元二次不等式恒成立求解即可；【詳解】由命題“”為假命題，可得“”為真命題，所以，解得：，故選：C3.已知角α的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，結(jié)合二倍角的正弦公式計算即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故選：D4.用二分法求方程的近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二分法可知，連續(xù)函數(shù)區(qū)間上滿足，則函數(shù)在區(qū)間上存在零點.【詳解】令，則，，，，，故選：B.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性、特殊點函數(shù)值可判斷；【詳解】，由，可得：，又，可知函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD,又，排除C，故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換的應(yīng)用可得，結(jié)合兩角和的正切公式計算即可求解.【詳解】由，得，所以，又，所以，即，整理得，即，所以一個鈍角一個銳角，所以，所以，所以.故選：C7.已知，若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得到函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)，由此建立等式得到的關(guān)系，然后借助基本不等式求出的最小值.【詳解】∵，∴區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當時，當時，令，要想關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，則當時，當時，∴，則，即，∴，當且僅當，即時取等號.故選：B.8.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，求出的范圍，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】因為，定義域滿足，解得，因為，所以，所以為奇函數(shù)，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且設(shè)，則，又，因為，所以，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，所以，即，解得，則.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷出函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則下列關(guān)系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先求出，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷A；再利用基本不等式即可判斷BCD.【詳解】因為，所以，則，對于A，，故A正確；對于B，，當且僅當，即時取等號，又，所以，故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當時取等號，又，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D正確.故選：ABD.10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，乘客坐在摩天輪慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．已知摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，摩天輪設(shè)置有36個座艙，轉(zhuǎn)一周需要30min．游客甲在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，tmin后距離地面的高度為（單位：m），下述結(jié)論正確的是（）A.B.甲進艙10分鐘后距離地面的高度是82.5mC.在運行一周的過程中，的時間超過10minD.游客乙在甲后的第6個座艙進艙，乙進艙后12min內(nèi)，存在某一時刻甲、乙距離地面高度相等【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，先得出解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷各選項即可.【詳解】由題意可得是關(guān)于的三角函數(shù)，以摩天輪軸心為原點，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標系，設(shè)摩天輪距地面最近點為P，則當時，游客甲位于，以O(shè)P為終邊的一個角為，而轉(zhuǎn)一圈需要大約30min，可知角速度約為，由題意可得：，即A正確；當時，，即B錯誤；由，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：當時，，則有，即高度超過90+2.5米時，時間長為20-10=10min，顯然高度達到或超過90米的時間超過10min，故C正確；甲、乙所在位置分別設(shè)為A、B兩點，甲乙座艙差6個，則，乙在甲進艙后5min進艙，故t分鐘后甲、乙的高度分別為：，，由，可得：，即，可得：，即，解得，又由題意得，t無解，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，，當時，，則（）A. B.C.當時， D.方程恰有10個解【答案】AC【解析】【分析】通過對函數(shù)關(guān)系的化簡以及奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A選項；由時函數(shù)解析式以及函數(shù)的關(guān)系，寫出時的函數(shù)解析式，從而知道函數(shù)在上的單調(diào)性，判斷的大小關(guān)系即可判斷B選項；同理寫出時函數(shù)解析式，判斷C選項，寫出時函數(shù)解析式，從而得到函數(shù)的函數(shù)圖像，即可找到方程解的個數(shù)，判斷D選項.【詳解】∵，∴，又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，∴，∴，即，∴，A選項正確；令，則，，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∵，,，∴，B選項錯誤；令，則，，C選項正確；令，則，，這函數(shù)的函數(shù)圖像如下：故方程恰有9個解，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛，本題是抽象函數(shù)的性質(zhì)的綜合運用，通過抽象函數(shù)解析式的關(guān)系，以及其中某個區(qū)間的函數(shù)解析式，得到這個函數(shù)的性質(zhì)和大致圖像是解題的關(guān)鍵.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知扇形的周長是其半徑的4倍，若該扇形的面積為2，則該扇形的周長為_______．【答案】【解析】【分析】由扇形的周長公式求得圓心角，再代入扇形的面積公式求得扇形的半徑，將求得結(jié)果代入扇形的周長公式即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則扇形的周長，∴，∴扇形的面積，∴，∴扇形的周長.故答案為：.13.已知，且，若恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由題意得到，再結(jié)合基本不等式求得最小值，進而可求解；【詳解】恒成立，即，，當且僅當時取等號，所以，即，解得：，所以實數(shù)t的取值范圍是，故答案為：14.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將所得圖象各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換可得，進而，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立關(guān)于的不等式組，解之即可求解.【詳解】由題意知，，由，得，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則，解得，由，當時，，當時，，當時，不符合，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知不等式的解集為A，集合．（1）當時，求A和；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)補集和交集的定義即可得解；（2）由，可得，再分和兩種情況討論即可得解.【小問1詳解】由，得，即，解得或，所以或，則，當時，，所以；【小問2詳解】因為，所以，當時，則，解得，此時；當時，則或，解得或，綜上所述，的取值范圍為或.16.為了充分挖掘鄉(xiāng)村發(fā)展優(yōu)勢，某新農(nóng)村打造“有機水果基地”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其他成本投入為20x元．已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷售暢通，記該水果單株利潤為（單位：元）．（1）求單株利潤（單位：元）關(guān)于施用肥料x（單位：千克）的關(guān)系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當施用肥料為4千克時，該水果單株利潤最大，最大利潤240元【解析】【分析】（1）利用該水果樹單株產(chǎn)量乘以市場售價減投入總成本即可得出利潤表達式；（2）根據(jù)定義域求每段函數(shù)的利潤最大值比較后可得答案.【小問1詳解】由題意可得：，即，整理得．【小問2詳解】當時，為對稱軸開口向上的拋物線，所以當時，，當時，，因為，當且僅當即取等號，所以，即，綜上所述，當時，該水果單株利潤最大，最大利潤是240元．17.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當時，（且）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式：．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義以及當時，求得當時函數(shù)的解析式，代入，求得的值，然后得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即奇偶性得到關(guān)于的不等式，解出即可.【小問1詳解】令，則，∴，∵，∴，即.【小問2詳解】令，解得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，∴，∴，解得，故不等式的解集為.18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值及函數(shù)圖像的對稱中心；（2）設(shè)，若使得，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用和差角，二倍角以及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后由周期求得求的值，然后利用正弦函數(shù)的對稱中心求得函數(shù)圖像的對稱中心；（2）整理函數(shù)解析式，然后令，得到函數(shù)的取值范圍，然后得到函數(shù)在上的最大值；由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)區(qū)間，從而求出在區(qū)間的最大值.由使得得到函數(shù)在上的最大值小于在上的最大值.由此解出實數(shù)b的取值范圍.【小問1詳解】，，，，，∵周期，∴，∴，令，解得，∴函數(shù)圖像的對稱中心.【小問2詳解】，，令，在上單調(diào)遞增，∴，∴，令，解得∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，∵使得，∴，當時，的圖象的對稱軸為，函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以符合題意，∴.19.對于函數(shù)，若存在，使得，則稱是的一個不動點．已知函數(shù)．（1）證明：的定義域為；（2）若在上僅有一個不動點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若在區(qū)間上有兩個不動點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念可得，整理得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可證明；（2）由新定義知有一個解，利用換元法可得方程有一個解，分類討論的取值情況即可求解；（3）由新定義，方程在上有兩個解，設(shè)，則，解之即可求解.【小問1詳解】由題意知，，即，整理得，又，所以對于恒成立，故的定義域為R.【小問2詳解】因為在R.上僅有一個不動點，即方程有且僅有一個解，將等式變形