第1頁/共1頁廣州奧林匹克中學2024—2025學年下學期高一年級期中考試命題：審題：考試時間120分鐘滿分150分一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.計算：（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法法則計算即可.【詳解】.故選：D.2.已知水平放置的四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測法知，所以求出四邊形面積，即可求出結(jié)果.詳解】根據(jù)直觀圖知，又因為，所以，故選：B.3.已知平面α，直線m，n滿足mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】，，所以當時，成立，即充分性成立；當時，不一定成立，可能是異面直線，故必要性不成立；所以是的充分不必要條件，故選：A4.已知為不共線向量，，則（）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線【答案】A【解析】【分析】由已知得，依次判斷各項對應(yīng)點所得向量是否共線，即可判斷.【詳解】由題設(shè)，，，，與有公共端點，所以三點共線，A對；，，不存在，使，所以與不共線，即三點不共線，B錯；，，不存在，使，所以與不共線，即三點不共線，C錯；，，不存在，使，所以與不共線，即三點不共線，D錯；故選：A5.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，，且，則的面積為（）A.3 B.C. D.3【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐標表示結(jié)合余弦定理可得，再由三角形的面積公式求解即可；【詳解】因，，且，所以，化為.所以，解得.所以.故選：C.6.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設(shè),故選C.考點：解三角形.7.已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，得是中點，從而得出，，作于，即為向量在向量上的投影向量，設(shè)，求出，后可得結(jié)論．【詳解】因為，所以是中點，則是圓直徑，，又，所以是等邊三角形，，設(shè)，則，作于，則，所以，即為向量在向量上的投影向量，．故選：B．8.已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓臺表面積得母線長和圓臺的高，由勾股定理求出球的半徑，可計算體積.【詳解】設(shè)圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為和，則圓臺側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺表面積為，得，所以圓臺高，設(shè)球半徑為，圓臺軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點，設(shè)，由，則球心在圓臺外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限C.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為2D.若是關(guān)于的方程（）的根，則【答案】AC【解析】【分析】利用復數(shù)的模的定義計算判斷A；利用復數(shù)對應(yīng)點的坐標判斷B；利用純虛數(shù)的定義計算判斷C；把根入方程，利用復數(shù)相等的條件計算可判斷D.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限在第四象限，故B錯誤；對于C，若復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，故C正確；對于D，若是關(guān)于的方程（）的根，則，整理可得，所以，解得，故D錯誤.故選：AC.10.已知的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（）A.若，則有一解B.若，則無解C.若，則有一解D.若，則有兩解【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理求解三角形的邊或角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系，一一判斷各選項中三角形解的情況，即得答案.【詳解】A選項，因，所以，故，則是邊長為2的等邊三角形，有一解，故A正確；B選項，若，由正弦定理得，即，解得，無解，故B正確；C選項，若，由大邊對大角可知，此時三角形中有2個鈍角，不可能，則無解，故C錯誤；D選項，若，由正弦定理得，即，解得，因為，所以或，所以有兩解，D正確.故選：ABD.11.如圖所示，圓錐的底面半徑，高，是底面圓周的一條直徑，M為底面圓周上與B不重合的一點，則下列命題正確的是（）A.圓錐的體積為B.圓錐的表面積為C.的面積的最大值是D.有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A爬行到點B，則螞蟻爬行的最短距離為【答案】AB【解析】【分析】由圓錐的底面半徑和高，求出母線長，對于AB，代圓錐的體積公式和表面積公式計算可得；對于C，先求出軸截面的頂角，再代三角形面積公式計算；對于D，根據(jù)側(cè)面展開圖計算可得.【詳解】圓錐的底面半徑，高，所以母線長為2；對于A.圓錐的體積為，所以A正確；對于B.圓錐的表面積為，所以B正確；對于C.由軸截面為等腰三角形，且頂角為，當?shù)妊捻斀菫闀r，的面積取得最大值為：，所以C錯誤；對于D.圓錐的底面圓周長為，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，所以圓錐側(cè)面展開圖中圓弧，螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A爬行到點B，則螞蟻爬行的最短距離為線段，且，所以D錯誤；故選：AB三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以，得到，又圓柱母線長為，所以圓柱的體積為，故答案為：.13.正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則正三棱錐高為__________；正三棱錐的側(cè)面積為__________.【答案】①.3②.【解析】【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，再計算出側(cè)面積即可.【詳解】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，，，故，側(cè)面積.故選：3；.14.已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則點的坐標_____.【答案】【解析】【分析】利用新定義，根據(jù)兩個向量坐標形式的運算法則，即可求解.【詳解】由題意可得，因為點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，所以，設(shè)點坐標為，則，解得，，即點的坐標為，故答案為：四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知向量，，與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）當為何值時，．【答案】（1）（2）（3）3【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積定義計算可得，利用和數(shù)量積的運算求解即可；（2）由數(shù)量積的運算計算可得答案；（3）由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得，利用數(shù)量積的運算可得答案．【小問1詳解】，，.【小問2詳解】.【小問3詳解】，，即，.16.如圖，底面為等邊三角形的直三棱柱中，，為的中點，為的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形來證明線線平行，進而證得線面平行；（2）利用等體積法可求體積.【小問1詳解】取中點，連接，如圖所示，∵為的中點.，∴且，又為的中點，又∵，且，∴，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面；平面，∴平面．【小問2詳解】.17.如圖，為了測量兩山頂M，N之間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一鉛垂平面內(nèi)．飛機從點A到點B的路程為a，途中在點A觀測到M，N處的俯角分別為，，在點B觀測到M，N處的俯角分別為，．（1）求A，N之間的距離（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之間的距離．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求解作答.（2）在中由正弦定理求出，結(jié)合（1）的結(jié)論，再在中利用余弦定理求解作答.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，即，所以．【小問2詳解】在中，由正弦定理得，即，因此，而，，，，，則，由（1）得，在中，，由余弦定理得，所以MN之間的距離為．18.已知圓錐的軸截面面積為，側(cè)面展開圖為半圓.（1）求其母線長；（2）在此圓錐內(nèi)部挖去一個正四棱柱，形成幾何體，其中正四棱柱的底面邊長為，上底面的四個頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，求幾何體的體積；（3）求此圓錐外接球的表面積.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長即底面圓的周長，得，從而高為，由軸截面面積建立的方程求解即可.（2）由軸截面圖形中的對應(yīng)比例關(guān)系求解正四棱柱的高，由此可求其體積，再由間接法可得所求幾何體體積.（3）畫出圖形，根據(jù)即可求得半徑.【小問1詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長為，高為，由題意知，側(cè)面展開圖的弧長，則，則圓錐高，由其軸截面的面積為，解得，則，則其母線長為.【小問2詳解】設(shè)正四棱柱的高為，棱長為，則，則正四棱柱的底面對角線的長為，底面對角線的一半長為，由圖可得，所以，故正四棱柱的體積為，因圓錐體積為.所以該幾何體的體積為.【小問3詳解】設(shè)底面圓周上一點為，底面圓心為，球心為，球的半徑為，則在中有，，即，得，則圓錐外接球的表面積為19.從①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．在銳角中，分別是角的對邊，若________________．（1）求角的大??；（2）求取值范圍；（3）當取得最大值時，在所在平面內(nèi)取一點（與在兩側(cè)），使得線段，求面積的最大值．（注：若選擇多個條件，按第一個解答計分）【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角結(jié)合輔助角公式化簡，可得答案；選②，利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡，可得答案；選③，利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得答案；（2）確定銳角中角A的范圍，利用兩角和的正弦公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；（3）確定；令，由正弦定理推出，結(jié)合余弦定理推得，利用三角形面積公式結(jié)合正弦函數(shù)最值，即可求得答案【小問1詳解】若選①：由正弦定理得，即因為，所以，所以，整理得，又因為,則，所