專題9.8分式全章八類必考壓軸題

【滬科版】

必考點1：探究分式值為整數(shù)問題。|

1.若%是整數(shù)，則使分式吃上的住為整數(shù)的％值有（）個.

2x-l

A.2B.3C.4D.5

2.若x為整數(shù)，且等的值也為整數(shù)，則所有符合條件的*的值有（）

*一4

A.6個B.5個C.4個D.3個

3.如果m為整數(shù)，那么使分式吧的值為整數(shù)的m的值有（）

m+1

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.當(dāng)X取何整數(shù)時，分式“：一名+6的值是正整數(shù)

（lr）3

5.因讀下列材料，解決問題：

在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者為了分子的次數(shù)告訴于分母的次數(shù)，在實際運(yùn)算

時往往難度比較大，這時我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）與一個真分?jǐn)?shù)的和（或差）

的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效,

現(xiàn)舉例說明.

材料1：將分式四管空拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式.

解.101x+10y=99x+lly+2x-y-?2x-y

11-111'11

材料2：將分式二上拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式.

X+1

解：由分母/1,可設(shè)/-m3=（肝1）（Ka）+b

則盧3=（A+1）（A+a）+b=x2+ax+/>b=f+（尹1）x+a^-b

???對于任意x上述等式成立.

(a+1=-1(a=-2

解得:

Ia4-/?=3Ib=5,

,/r+3(4+1)(4-2)+5

>?=x-2+—.

x+1X+lx+i

這樣，分式三上就拆分成一個整式X-2與一個分式工的和的形式.

x+lX+1

(1)將分式立絲金拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為

X-1-----------

(2)已知整數(shù)x使分式在容竺的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=______;

x-3

(3)已知一個六位整數(shù)20盯17能被33整除,求滿足條件的x,y的值.

必考點2探究利用全式性質(zhì)求值問題Q|

1.若a,4c,d滿足?=2=：=&則誓殍黑的值為()

bcdaa2+b2+c2+d2

A.1或0B,一1或0C.1或一2D.1或一1

2已知a+b+c_a+b+d_a+c+d_b+c+d

=m,則?n的值.

dba

3.若Zx-y+4z=U,4x+3y-2z=U.3的值為

4.已知三個數(shù)，X,y-滿足器=-3殼=%壬=T則y的值是一

5.若x,y,z滿足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2018,則分式也士絲三口的值為

必考點3探究分式的規(guī)律性問題

1.觀察下列等式:

第I個等式：的=*=：x(")

第2個等式：a=^=^x

2GT)

第3個等式：。3=點="(2)

請解答下列問題：

(1)按以上規(guī)律列出第5個等式：；

(2)用含有n的式子表示第n個等式：(n為正整數(shù))；

(3)求的+a?+。3+…+。2019的值.

2.2.觀察下列等式：a,=n,a2=1-a3=1-…；根據(jù)其蘊(yùn)含的規(guī)律可得()

A.azois-nB.a2013-—C.32013=—D.82013--

nn-ll-n

v2y5y10v17r26y37

3.已知一1列分式，一，—,—,—彳…，觀祭其規(guī)律，則第n個分式是,

4.觀察下列等式：

1x-=1

22

3X；=3-?

⑴依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個等式為—，猜想第〃個等式為

(2)證明(1)中猜想的第八個等式.

5.觀察下列等式:

第1個等式：^-+—+1=1:

1x21+1

第2個等式：工+4+工=1.

2x34+22

1,9-2,1.

第3個等式：---------F-=1：

3X49+33

第4個等式：1,16-2,1r

4X516+44

1,25-2.1?

第5個等式：++—1;

5X625+55

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：：

⑵寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

6.觀察下列等式：

1--=I2X-,2--=22X-,3--=32X-,....

55*66’77’

(1)請寫出第四個等式：；

(2)觀察上述等式的規(guī)律，猜想第n個等式(用含n的式子表示)，并證明其正確性.

A.6B.24C.30D.120

5.閱讀下列材料:

在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關(guān)于％的分式方程三二1的解為正數(shù)，求a的

X-4

取值范圍.經(jīng)過獨立思考與分析后，小明和小聰開始交流解題思路，小明說：解這個關(guān)于X的方程，得到方

程的解為x=a+4,由題目可得。+4>0,所以。>一4,問題解決.小聰說：你考慮的不全面，還必須保

證a工。才行.

（1）請回答：的說法是正確的，正確的理由是.

完戌下列問題：

（2）已知關(guān)于x的方程?——土=2的解為非負(fù)數(shù)，求m的取值范圍；

x-33-x

⑶若關(guān)于力的方程上其+"二=-1無解，求九的值.

X-3X-3

必考點5探究分式方程的整數(shù)解回題Oj

1.若關(guān)于X的方程七巴一？二1的解為整數(shù)，則整數(shù)Q的值的個數(shù)為（）

x-1x

A.1個B.2個C.3個D.4個

y+5vy

2.若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程」-+工工=i的解為非負(fù)整數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組.~~2至

a3rly-3>2（y-a）

多有3個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）

A.24B.12C.6D.4

3.若關(guān)于v的分式方程上工一2=匯金的解為整數(shù)，且/+2（。-1）%+9是一個完全平方式，則滿足條件的

y-11-y

整數(shù)a的值為（）

A.±2B.4C.-2D.4或一2

>x+1

4.若關(guān)于X的一元一次不等式組3的解集為％<-7,且關(guān)于y的分式方程也一'-=-2有非正

2+x<—y+2y+2

14

整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)Q的和為（）

A.-12B.-15C.1D.-2

5.若關(guān)于”的分式方程翳+3=￡有正整數(shù)解，則整數(shù)a一

6.若整數(shù)a既使得關(guān)于x的分式方程"三一2二三有整數(shù)解，又使得關(guān)于x,y的方程組八°"二':'的

1-xx-1（oX-Ly——1

解為正數(shù)，則0=

必考點6N探究分式方程的無解問題

1.若關(guān)于X的方程鬻=缶無解，則加的值為()

A.zn=1B.m=—1C.m=2D.m=-2

2.已知關(guān)于X的分式方程三一等=1無解，則m的值為()

x+2X2-4

A.0B.0或一8C.-8D.0或一8或一4

3.已知關(guān)于x的分式方程,二：+三=工無解,且關(guān)于y的不等式組^二有且只有三個

(x-2)(x-6)x-2x-6(y—4<3(y+4)

偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)/7的乘積為()

A.1B.2C.4D.8

4.已知，關(guān)于X的分式方程_L-絲三=1.

2x+3X-5

(1)當(dāng)Q=2,6=1時，求分式方程的解：

(2)當(dāng)a=1時，求6為何值時分式方程二一一仁=1無解；

2X+3X-5

⑶若a=3b,且a、6為正整數(shù)，當(dāng)分式方程三一二=1的解為整數(shù)時，求6的值.

5.對于平面直角坐標(biāo)系中的點PQb),若點P'的坐標(biāo)為(a+kb,b+3(其中k為常數(shù)，且攵=0)則稱點P'

為點P的“k系雅培點”；

例如：P(3,2)的“3系雅培點”為P'(3+3x2,2+|),即P'(9,3).

(1)點P(6,l)的“2系雅培點"P'的坐標(biāo)為：

(2)若點P在y軸的正半軸上，點P的“k系雅培點”為P'點，若在△OPP'中，PF=20P,求k的值；

(3)已知點力(％y)在第四象限，且滿足xy=-12;點4是點B(m,n)的“一3系雅培點”，若分式方程叱孚一

X-3

絲U=1無解，求c的值.

必考點7探究分式方程的增根問題

1.若分式方程」-+3=已有增根，則a的值是()

x-2a+x

A.1B.0C.-1D.-2

2.如果在解關(guān)于x的方程二一三二孚三時產(chǎn)生了增根，那么攵的值為

x+2x-1X2+X-2------------

3.若解關(guān)于X的分式方程0=旦產(chǎn)生增根，則777=___.

X+4X+4

4.當(dāng)勿為何值時，分式方程衛(wèi)——!_=T-會產(chǎn)生增根.

x+lX-lX2-1

5.關(guān)于x的方程：---=1.

x-l1-X

(1)當(dāng)a=3時，求這個方程的解；

⑵若這個方程有增根，求a的值

6.已知關(guān)于3的分式方程二-+mx1

(x-l)(x+2)x+2

(1)若方程的增根為％=1,求m的值;

⑵若方程無解，求m的值.

7.已知關(guān)于x的分式方程二一三=1.

⑴若方程的增根為*=2,求a的值；

⑵若方程有增根，求a的值；

⑶若方程無解，求a的值.

必考點8分式方程的應(yīng)用OJ

1.隨著期末考試來臨，李勇同學(xué)原計劃延時服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、教學(xué)、英語的時間為2:4:4,班主任李老

師提醒要學(xué)科均衡，補(bǔ)短板.他便將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復(fù)習(xí)時

間之比為3:5.李勇同學(xué)非?？炭?，實際復(fù)習(xí)時還擠出部分休息時間分給了三個學(xué)科，其中20%分給了語文，

余下的80%分別分給數(shù)學(xué)和英語，這樣語文的總復(fù)習(xí)時間與三科總復(fù)習(xí)時間比為1:4.若李勇同學(xué)最終希望

使教學(xué)與英語總復(fù)習(xí)時間比為5:6,那么數(shù)學(xué)的總復(fù)習(xí)時間與最后三科總復(fù)習(xí)時間之比為.

2.杭州絲綢歷史悠久，質(zhì)地輅軟，色彩綺麗，早在漢代，就已通過“絲綢之路”遠(yuǎn)銷國外.小汪在網(wǎng)上開

設(shè)杭州絲綢專賣店，專賣絲巾、旗袍等，發(fā)現(xiàn)一張進(jìn)貨單上的一個信息是：4款絲巾的進(jìn)貨單濟(jì)比8款絲巾

多40元，花960元購進(jìn)A款絲巾的數(shù)量與花720元購進(jìn)8款絲巾的數(shù)量相同.

(1)問4,B軟絲巾的進(jìn)貨單價分別是多少元？

(2)小汪在銷售單上記錄了兩天的數(shù)據(jù)，如下表所示:

日期力軟絲巾(條)8款絲巾(條)銷售總額(元)

12月10日462160

12月11日683040

問：兩款絲巾的銷售單價分別是多少？

(3)根據(jù)(1)(2)所給的信息，小汪要花費(fèi)1400元購進(jìn)5兩款絲巾若干條，問：有哪幾種進(jìn)貨方案？

根據(jù)計算說明哪種進(jìn)貨方案的總利泗最高.

3.兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工30天完成總工程的土這葉增加了乙隊，兩隊又共同

工作了15天，完成全部工程.

(1)求乙隊單獨施工多少天完成全部工程？

(2)若甲隊工作4天，乙隊工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊工作5天，乙隊工作6天共需支付

工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？

⑶在(2)的條件下，若兩個工程隊不同時施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快天能

完戌總工程.

4.A、B兩港之間的距離為280千米.

(1)若從4港口到8港口為順流航行，且輪船在靜水中的速度比水流速度快20千米/時，順流所用時間比逆

流少用4小時，求水流的速度；

(2)若輪船在靜水中的速度為u千米/時，水流速度為u千米/時，該船從力港順流航行到B港,再從8港逆

流航行返回到力港所用的時間為h：若輪船從4港航行到8港再返回到4港均為靜水航行.JL所用時間為

t2,請比較0與弓的大小，并說明理由.

5.某市為了做好“全國文明城市”驗收工作，計劃對市區(qū)S米長的道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程

隊進(jìn)行施工.

(1)已知甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同.若甲工程隊每天比乙工

程隊多改造30米，求甲、乙兩工程隊每天改造道路的長度各是多少米.

(2)若甲工程隊每天可以改造Q米道路，乙工程隊每天可以改造b米道路，(其中QHb).現(xiàn)在有兩種施

工改造方案：

方案一：前米的道路由甲工程隊改造，后米的道路由乙工程隊改造：

方案二：完成整個道路改造前一半時間由甲工程隊改造，后一半時間由乙工程隊改造.

根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時間少？并說明理由.

6.某小麥改良品種后平均每公頃增加產(chǎn)量a噸，原來產(chǎn)加噸小麥的一塊土地，現(xiàn)在小麥的總產(chǎn)量增加了20

噸.

(1)當(dāng)a=0.8,6=100時，原來和現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量各是多少？

(2)請直接接寫出原來小麥的平均每公頃產(chǎn)量是噸，現(xiàn)在小麥的平均每公頃產(chǎn)量是噸；(用

含a、用的式于表示)

(3)在這塊土地上，小麥的改良品種成熟后，甲組收割完需〃小時，乙組比甲組少用0.5小時就能收割完，

求兩組一起收割完這塊麥田需要多少小時？

7.為響應(yīng)“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點27km,他乘

坐公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程的2倍還多9km.他從家出發(fā)到上班地

點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的|.

(1)小王用自駕車上班平均每小時行駛多少千米？

(2)上周五，小王上班時先步行了6k771,然后乘■公交車前往，共用上小時到達(dá).求他步行的速度.

3

專題9.8分式全章八類必考壓軸題

【滬科版】

必考點1探究分式值為整數(shù)問題

L若'是整數(shù)，則使分式箸的值為整數(shù)的'值有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先將假分式翳分離可得出4+急,根據(jù)題意只需2%-1是6的整數(shù)約數(shù)即可.

【詳解】解:8x+2_4(2x-l)+6_4+6

2X-1-2X-1-2X-1

由題意可知，2%-1是6的整數(shù)約數(shù),

：.2x-l=1,2,3,6,-1,一2,—3,-6

解得：x=—1,—

其中X的值為整數(shù)有：4=0,1,-1,2共4個.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關(guān)鍵，通過分

離假分式得到4+/-,從而使問題簡單.

2、一1

2.若x為整數(shù)，且空的值也為整數(shù)，則所有符合條件的x的值有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】B

【分析】先化簡分式，若瑞的值為整數(shù)即含的值為整數(shù)，故（x-2）為4的因數(shù)，由此確

定整數(shù)x的值.

心+2)4

【詳解】原式=f

(X-2)(x+2)X^2

因為x為整數(shù)，分式的值也為整數(shù)，且x羊-2,

所以分式三的值分別為-2、-4、4、2、1時，得

后0、1、3、4、6,

所以所有符合條件的x的值有5個.

故選：B.

【點睛】此題考查分式的記簡，分式有意義的條件，根據(jù)分式的值為。確定分母的值，由此

得出x的值，注意分母中雖約去了（x+2）,但是要考慮到x/-2,避免錯誤.

3.如果m為整數(shù)，那么使分式巴史的值為整數(shù)的m的值有（）

m+l

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】分式隹=1+=一，討論二-就可以了，即巾+1是2的約數(shù)即可完成.

m+lnt+1m+l

..m+31,2

【詳解】?-----=1H--------

m+lm+l

若原分式的值為整數(shù)，那么771+1=2

由m+1=—2得，m=-3;

由血+1=-1得，m=-2;

由m+l=l得，m=0;

由m+1=2得，m=1；

Am=-3,-2,04,共4人

故選C

【點睛】本題主要考查分式的值，熟練掌握相關(guān)知識點并全面討論是解題關(guān)鍵.

4.當(dāng)X取何整數(shù)時，分式一名+6的值是正整數(shù)

（1-x尸

【答案】x=0或-1或-2或-5.

【分析】先把分式告進(jìn)行因式分解,然后約分,再根據(jù)分式的值是正整數(shù)，得出一X

的取值，從而得出X的值.

6

【詳解】解:6--12X+6_

(1-x)3-1-x

???要使E的值是正整數(shù),則分段1T必須是6的約數(shù),

即1—x=l或2或3或6.

則x=0或-1或-2或-5.

【點睛】此題考查了分式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式中空的值是正整數(shù)，討論出分母

（1-幻3

1-X的取值.

5.閱讀下列材料，解決問題：

在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者為了分子的次數(shù)告訴于分母的次數(shù),

在實標(biāo)運(yùn)算時往往難度比較大，這時我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）

與一個真分?jǐn)?shù)的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法,

此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現(xiàn)舉例說明.

材料1:將分式若詈拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式.

烈.Wlx+lOy_99x+lly+2x-y2x-y

胛,-"----YA4-y+—

材料2:將分式土衛(wèi)拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式.

X+1

解：由分母/1,可設(shè)/-/3=(A+1)(/a)+b

則42-k3=(A+1)(A+a)+b=x?+aK/”b=x?+(>，)x^a^b

???對于任意x上述等式成立.

.,?一￡=」解得：｛v;2.

IQ+Z)=3Ib=5

.X2-X+3(X+l)(X-2)+5c,5

??--------=----------------=x-zH-------?

x+lx+lx+l

這樣，分式式*就拆分戌一個整式X-2與一個分式U-的和的形式.

X+lX+1

(1)將分式立絲W拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果

X-1

為.

(2)已知整數(shù)x使分式之W的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=;

X—3

(3)已知一個六位整數(shù)20孫17能被33整除,求滿足條件的x,v的值.

【答案】(1)/7+六；(2)2或4或-10或16：(3),x=2、y=9；x=6、y=2：

=9、y=5.

【分析】(1)將分子x?+6x—3化為(x—1)(x+7)+4,依據(jù)題意可解答：

(2)將分子2x2+5x-2C化為(2x+11)+13,根據(jù)題意可解答；

(3)由題意得出：2OOOi7+,+iooy=606]+30)+3丫+1。；；+4即可知10x+y+4為33

的倍數(shù)，據(jù)此可解答.

【詳解】解：(1)立竺W

X-1

X2-X+7X-7+4

x-1

4(無-1)+7。-1)+4

X-l

(X-l)(X+7)+4

x-1

=>+7+有

答案為：x+7+—;

2-+5%-20

(2)

x-3

Zx"6X+llX-33+13

X-3

2x(x-3)+ll(x-3)+13

x-3

(x-3)(2x+ll)+13

X-3

=2x+11+—

x-3

???分式空詈型的值為整數(shù),

???呂是整數(shù).

Ax-3=±1或x-3=±13,

解得：x=2或4或-10或16,

故答案為：2或4或-10或16;

（3）200017+1000x+100y

33

6061x33+4+30xx33+10x+3）x33+y

33

33x（6061+30x+3y）+10x+y+冬

33

=6061+3Ox+3y+曹，

???整數(shù)20xyl7能被33整除，

.?.出/為整數(shù)，即他+丫+4=33匕（k為整數(shù)），

當(dāng)4=1時，x=2、y=9符合題意；

當(dāng)〃=2時，x=6、y=2符合題意；

當(dāng)4=3時，x=9、卜=5符合題意.

【點睛】本題考查分離整數(shù)法解決分式的整數(shù)值問題，熟練掌握分式的化簡求值的方法是解

題的關(guān)鍵.

必考點2探究利用分式性質(zhì)求值問題

1.若a,b,c,d滿足W=2=：=*則咚等”的值為()

bcdaa2+b2+c2+d2

A.1或0B.-1或0C.1或一2D.1或一1

【答案】D

【詳解】令：=￡=指=鼻=k,則a=bk,b=ck,c=dk,d=ak,耳心=a8,且aH0,則

E，當(dāng)k＞則鬻*察=L當(dāng)kn,ab+bc+cd+da_.

a2+b2+c2+d2

故選D.

2.已知手=-=誓=手=4則m的值一

【答案】為7或3

【分析】根據(jù)題設(shè)知a手0,6手0,c=#0,內(nèi)=0,得到井Sc^dm,小■出*cm,86d^bm,盧a盟,

推出3,得到（/TT-3）=0,當(dāng)■曲0時，得?到

尹加片一c,#6#一b,66-a,推出/TF~1；當(dāng)升爐dd豐0時，推出m~3=0,得到/TF3.

,a+b+ca+b+da+c+db+c+d

【詳解】I■—■—=-----=—■—=-----=m

b

/.a#=0,b豐0,c=#0,d豐0,

：?a^6kdm,^-b+d=cm,a^c^d^bm,tr^c^d^am.

/.3（升卅好小二m（升卅?！鲂?

/.(a+ZH-c+c/)(/TT-3)=0,

當(dāng)時，

a+方。二一&a^b^d^-c,#b,Kd-a,

:?HFT;

當(dāng)尹加儀?。手0時，

/?r3-0,亦3,

綜上，nr-\或*3.

故答案為：為7或3.

【點睛】本題主要考查了分式的值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件，等式的

基本性質(zhì)，分式值的意義及滿足條件.

3.若2x-y+4z=0,4x+3y-2z=0.則篝等的值為

【答案】

6

【分析】先由題意2x-y+4z=O,4x+3y-2z=0,得出用含x的式子分別表示y,z,然后帶

入要求的式中，化簡便可求出.

【詳解】2x-y+4z=。①，4x+3y-2z=。②，

將②X2得：8x+6y-4z=C③.

①+③得：1Ox+5y=0,

?*.y=-2x,

將y二-2x代入①中

得:2x-(-2x)+4z=0

z=-x

將y=-2x,z=-x,代入上式

xy+yz+zx

x2+y2+z2

/(2x)+(2x)(r)+(r>x

X2+(-2X)2+(-X)2

_-2刀2+2刀2-42

X2+4X2+X2

6

故答案為：一1

6

【點暗】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目，得出用含x的式子表示y,

z.本題較難，要學(xué)會靈活化簡.

4.已知三個數(shù)，x,y,z滿足生=-3,巨=：,三~=一：，則y的值是

x+yy+z3z+x3----------

【答案】y

【分析】將急=-3殼=%/=-技形為署=三芟土等=高得到河=

W+X3+”.利用G+I—G+IT，求出：；去代入13=一,可

求出答案.

yz_4zx_4

【詳解】?.?2二一3,=-----=----

x+y亦3'z+x3

,__1y+z_3z+x3

xy3*yz4石二一4

.1,111.13

..-+-=-+-==24,1J1z

yx3zy+4

?+:)——

用心嗎

.113

??--—―?

xy29

將二=2.一】代入工+二=一；，得三=!

xy2yx3y6

..12

故答案為：y.

【點睛】此題考查分式的性質(zhì)，分式的變形計算根據(jù)分式的性質(zhì)得到:+:=-^+;=

:*+W是解題的關(guān)缸

5.若％,y,z滿足3%+7y+z=1和4x+10y+z=2018,則分式迎T絲絲科三的值為

【答案】-4033

【分析】根據(jù)題意，把兩個方程聯(lián)合組成方程組，然后兩方程相減得到％+3y=2017③，

再把③整理，代人到①方程，得到2y-z=6050④，再由③一④，得到x+y+z=-4033,

然后代入分式進(jìn)行求解，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，兩個方程了聯(lián)合組成方程組，有：

3%+7y4-z=1?

4x+10y+z=2018②'

由②一①,得：x+3y=2017③，

Ax=2017-3y,

把x=2017-3y代入①，得：2y-z=6050@,

把③一④得：x+y+z=-4033;

.2017x+2017y+2017z_2017(x+y+z)_2017x(-4033)_

??————qujj；

x+3yr+3y2017

故答案為：-4033.

【點睛】本題考查了三元一次方程組，以及求分式的值，熟練掌握解方程組的方法，正確得

到x+3y=2017和X+y+z=-4033是解題的關(guān)鍵.

必考點3N探究分式的規(guī)律性問題

1.觀察下列等式：

第1個等式：/=*=：x（1

第2個等式：a2=^=^xQ-l）

第3個等式：。3=點="6—；）

請解答下列問題:

（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：;

（2）用含有n的式子表示第n個等式：（n為正整數(shù)）：

（3）求出+Ct2+。3+…+。2019的值.

【答案】"）05=高=[*仁一2）；⑵6=仁…晨+i）=1（六一*）；C）鬻.

【分析】G）根據(jù)前3個等式歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得出第5個等式：

（2）根據(jù)前3個等式歸納類推出一般規(guī)律即可得;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，分別可得的42，。3,…，。2019的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律進(jìn)行

計算即可得.

112X1+1)*

【詳解】（1）第1個等式：%(2xi-l)x(2xll)=2Xli^T

AX5+

11

第2個等式:3X5—(2X2-1)X(2X2+1)-2"(2x2-12x2+1），

第3個等式:11=-x-2_________M

a-§i=—5X7=-<-2-x-3---l-)-x(-2-x-3-+-l-)22X3-12X3+U'

歸納類推得:第n個等式：Qn=1=3導(dǎo)7-就）行為正整數(shù)），

(2n-l)(2n+l)

12x5-1-2x5+1)*

則第5個等式：Q5=------------——x

(2x5-l)x(2x5+l)---2

即的二高="（1

(2)由(1)知，a=1

n(2n-l)(2n+l)

1

(3)由(2)得：。2019=3X

2X2019-12X2019+1）=N島一忌）

則%+。2+。3+…+。2019,

2019

4039

【點睛】本題考查了分式的規(guī)律性問題、有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，依據(jù)題意，正確歸納美推出

一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

11

2.2.觀察下列等式：a產(chǎn)n,a2=1-“1,a3=1-電，…；根據(jù)其蘊(yùn)含的規(guī)律可得（）

._D_7t-1c_1_1

A.32013—nD.32013--------------U.32013------------UR.82013------------

nn-11-n

【答案】D

-L-1n1_L工

aa

【詳解】試題分析：由aE,得到a2=1-a1=1-n=n,a3=1-2=1-=a.t=1-3=1

n-1

-（1-n）=n,以n,n,為循環(huán)節(jié)依次循環(huán)，:2013+3=671,Ja刈F.

考點：分式的混合運(yùn)算.

3.已知一列分式，p一*一奈奈一■…，觀察其規(guī)律，則第n個分式是.

2

vn+l

【答案】（-i）n+14——

y2n（n+1）

【分析】分別找出符號，分母，分子的規(guī)律，從而得出第n個分式的式子.

【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)符號規(guī)律為：正負(fù)間或出現(xiàn)，故第n項的符號為：（一1）計1

分母規(guī)律為：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n項為：yl+2+3+-+n=y1n（n+l）

分子規(guī)律為：x的次數(shù)為對應(yīng)項的平方加1,故第n項為：xn2+1

故答案為：（-1嚴(yán)i:“"I.

y打（n+L）

【點睛】本題考查找尋規(guī)律，需要注意，除了尋找數(shù)字現(xiàn)律外，我們還要尋找符號規(guī)律.

4.觀察下列等式：

41X-1=T1---l-,

⑴依此規(guī)律進(jìn)行下去，第5個等式為—，猜想第71個等式為

（2）證明（1）中猜想的第”個等式.

【答案】（1）5x*=5—三，nx-^―=n——

66n+ln+l

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)給定的等式的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論;

(2)利用統(tǒng)分的方法即可得出等式的左邊二等式右邊，此題得證.

【詳解】⑴解：第5個等式為5、合5-也猜想第幾個等式為“a=「熱

故答案為：5x-=5-nx-^―=n——;

66n+ln+1

(2)證明：?.?等式左邊=nxj=也，等式右邊=〃一」L=口=上

n+ln+ln+ln+ln+l

???等式左邊二等式右邊

即八三….

證畢.

【點睛】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.觀察下列等式:

第1個等式：——F——+1=1;

1X21+1

第2個等式：義+m+：=1；

第3個等式：3+衿+；=1；

3X49+33

第4個等式：—+16-2+”1：

4x516+44

25-2

第5個等式：2十+廣1;

25+5

按照以上規(guī)律，解決下列問題:

(1)寫出第6個等式：;

⑵寫出你猜想的第〃個等式：(用含〃的等式表示)，并證明.

【答案】(1)二一+吧==1一三

6X736+66

⑵a+y=一

n(n+l)nz+nn

【分析】(1)觀察前幾個等式中數(shù)字的變化，即可寫出第6個等式：

(2)結(jié)合(1)即可寫出第〃個等式，再利用分式的加減法法則，進(jìn)行臉證，即可.

(1)

解：j至二=」，

6x736+66

故答案為：工+等^=1一;；

6x736+66

(2)

]+?-2=1一工

n(n+l)n2+nn"

.▼tinJ-1.n2-2n2-l(n+l)(n-l)n-1.1,.

證明：左邊=二--+-1―=——=―=1--=右邊，

n(n+l)n2+nn(n+l)n(n+l)nn

所以等式成立.

1+n2-2

故答案為:=1

7i(n+l)n2+7in

【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，有理數(shù)的泄合運(yùn)算，列代數(shù)式，解決本題的關(guān)

鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

6.觀察下列等式：

1—^=I2x2—^=22x3—^=32x...

(1)請寫出第四個等式：:

(2)觀察上述等式的規(guī)律，猜想第n個等式(用含n的式子表示)，并證明其正確性.

【答案】(1)4-^=42X|；(2)第n個等式是九一色=Mx」_,見解析.

88n+4n