/2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次診斷測試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，，則=（）A. B.C. D.2.是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（）．A.3 B. C. D.23.若是第三象限角，且，則的值為（）A. B.5 C. D.4.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知平面向量和滿足在上投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.7.已知關(guān)于不等式的解集為，則（）A.B.點在第二象限C.的最大值為D.關(guān)于的不等式的解集為8.已知分別是函數(shù)與零點，則的最大值為（）A2 B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，下列結(jié)論一定成立的有（）．A.B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若，則是等邊三角形10.已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則為純虛數(shù)11.若定義在R上的函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期為4的周期函數(shù)C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）恒過定點，則點的坐標為______.13.若曲線過坐標原點切線與圓相切，則實數(shù)__________.14.已知，則的最小值為______．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；（2）若，求的值.16.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）解關(guān)于的不等式．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有恒成立，求a的取值范圍．18.已知在中，滿足（其中分別是角的對邊）.（1）求角的大?。唬?）若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；（3）若為銳角三角形，，求取值范圍.19.已知函數(shù)，且x軸是曲線的切線，（1）求的最小值；（2）證明：；（3）設(shè)，，證明：對任意，．2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次診斷測試數(shù)學(xué)檢測試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，，則=（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用集合的運算求解即可.【詳解】，故.故選：A2.是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若A，B，D三點共線，則k的值是（）．A.3 B. C. D.2【正確答案】D【分析】由由A，B，D三點共線，得存在實數(shù)，使，再用表示后，由向量相等可得．【詳解】由已知，由A，B，D三點共線，故存在實數(shù)，使，即，即，解得．故選：D．3.若是第三象限角，且，則的值為（）A. B.5 C. D.【正確答案】A【分析】由兩角差的正弦公式、平方關(guān)系依次得，，由半角公式即可求解.【詳解】由已知及正弦公式得，，是第三象限角，．．故選：A.4.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法進行求解.【詳解】由題意可知，要使Fx有意義，則，解得，所以函數(shù)Fx的定義域為．故選：D．5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)在上恒大于0，且單調(diào)遞增，可求的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以.且在恒大于0，所以或.綜上可知.故選：B6.已知平面向量和滿足在上的投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)在上的投影向量公式可求得，從而可求解.【詳解】因為在上的投影向量為，所以，則在上的投影向量為.故A正確.故選：A.7.已知關(guān)于不等式的解集為，則（）A.B.點在第二象限C.的最大值為D.關(guān)于的不等式的解集為【正確答案】D【分析】根據(jù)分式不等式與整式不等式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合解的性質(zhì)可得和分別是和的實數(shù)根，即可得，，進而可求解AB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判斷D.【詳解】原不等式等價于，因為解集為,所以和分別是和的實數(shù)根，故且，，故A錯誤；因為，，所以點在第三象限，故B錯誤；，由于開口向下，故最大值為，故C錯誤，由得即解集為，故D正確．故選：D．8.已知分別是函數(shù)與的零點，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】本題將兩個函數(shù)的零點代入函數(shù)式，得到等式，再同構(gòu)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性求出最值即可.【詳解】由題意可知，則，即，又所以，則.設(shè)，則，所以?x在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，則，所以，則.設(shè)，則，當時，φ'x>0，當時，φ所以φx在0,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以的最大值為.故選：C.方法點睛：（1）利用等式同構(gòu)函數(shù)；（2）化簡，同構(gòu)函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并求出最值.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，下列結(jié)論一定成立的有（）．A.B.若，則C.若為銳角三角形，則D.若，則是等邊三角形【正確答案】ABD【分析】對A，根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系和誘導(dǎo)公式即可判斷；對B，根據(jù)大角對大邊和正弦定理即可判斷；對C，利用余弦定理和正弦定理即可判斷；對D，利用正弦定理結(jié)合倍角公式化簡判斷.【詳解】對于A，因為在中，則，故A正確；對B，根據(jù)大角對大邊，則推出，再根據(jù)正弦定理有，故B正確；對C，若為銳角三角形，則銳角，則由余弦定理有，則，即，再根據(jù)正弦定理進行邊換角得，故C錯誤；對于D，中，若，則，則根據(jù)二倍角的正弦公式有，由，得，所以，，是等邊三角形，故D選項正確．故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則為純虛數(shù)【正確答案】ACD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷選項A；舉反例即可判斷選項B；由復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)判斷選項C；由復(fù)數(shù)的乘方運算即可判斷選項D.【詳解】設(shè)，對于A，，，故選項A正確；對于B，舉例，滿足，但兩者無法比較大小，故B錯誤；對于C，由復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)可知，，=，所以，故選項C正確；對于D，當，則，可得，則，則為純虛數(shù)，故選項D正確.故選：ACD.11.若定義在R上函數(shù)，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期為4周期函數(shù)C. D.【正確答案】ABC【分析】利用與得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用fx+2=?fx與得到為偶函數(shù)；利用fx+2=?fx得到f1+f2+f3+f4=0【詳解】因為，所以．又因為，所以．又，則，即fx+2=?fx，所以，故是周期為4因為，所以也是周期為4的周期函數(shù)，選項B正確；因為，則，則，所以f?x=fx，所以為偶函數(shù)，選項因為fx+2=?fx，令，得，即，令，得，即f2+f4故f1+f2由，得，所以，選項D錯誤．故選：ABC．當有兩個函數(shù)時，需要根據(jù)其函數(shù)關(guān)系消元，得到一個函數(shù)的關(guān)系，然后得出的性質(zhì)；最后再利用與的關(guān)系求解相關(guān)的一些性質(zhì)即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（且）恒過定點，則點的坐標為______.【正確答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點求解.【詳解】函數(shù)（且）令，即，可得.故恒過點.故答案為.13.若曲線過坐標原點的切線與圓相切，則實數(shù)__________.【正確答案】【分析】首先,我們需要求出曲線過坐標原點的切線方程。然后,根據(jù)切線與圓相切的條件,求出實數(shù)a的值.【詳解】對求導(dǎo)，得到，設(shè)切點為，斜率為.斜率還可以表示為，即，解得，則斜率為.則切線方程為.切線與圓相切,則，整理得，，解得.故14.已知，則的最小值為______．【正確答案】【分析】令，，通過指數(shù)式與對數(shù)式互化用表示出，再借助基本不等式進行求解即可.【詳解】令，，則，，，令，，則，當且僅當，即時等號成立，，即故.關(guān)鍵點點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及對稱軸方程；（2）若，求的值.【正確答案】（1），的對稱軸（2）【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再求的對稱軸和最小正周期即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】，則的最小正周期，，解得，即的對稱軸.【小問2詳解】，解得..16.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）解關(guān)于的不等式．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)，利用換元法求出當時解析式，即可得到函數(shù)在R上的解析式；（2）分別對，x=0，三種情況解不等式.【小問1詳解】當時，，當時，，所以，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以f?x=?f所以，當時，有，從而，所以.【小問2詳解】由（1）知，當時，因為，，所以，當，，所以當時，，而當時，，所以不等式在上無解；當時，不等式為，所以.記函數(shù)，，因為，所以函數(shù)，均為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以函數(shù)為R上的單調(diào)增函數(shù).又，所以當時，不等式解集為0,+∞．從而關(guān)于x的不等式的解集為0,+∞.17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有恒成立，求a的取值范圍．【正確答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）對求導(dǎo)，可得，再分類討論的取值，得出導(dǎo)數(shù)的正負即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）對進行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負求得的最小值，判斷是否滿足，即可求解．【小問1詳解】對求導(dǎo)，可得，令，即，即，當時，f'x>0恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，，當時，在上單調(diào)遞減；當時，f'x>0，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】因為對于任意的，都有恒成立，對求導(dǎo)，可得，令，即，即，①當時，f'x>0，則在0,+∞單調(diào)遞增，②當時，，則，則，在0,+∞單調(diào)遞增，，符合題意；③當時，，則，當時，，則在單調(diào)遞減，當時，，則在單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在1,+∞上單調(diào)遞減，所以，不合題意；綜上所述，．18.已知在中，滿足（其中分別是角的對邊）.（1）求角的大?。唬?）若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；（3）若為銳角三角形，，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由正弦定理進行邊化角，然后結(jié)合兩角和差公式，以及內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式即可得解；（2）通過等面積法即可求得值，然后結(jié)合余弦定理即可求出，再利用正弦定理求出外接圓半徑，從而得解；（3）利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式，然后利用銳角三角形求出角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)知識即可求出取值范圍.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，所以，又，即，且，即.【小問2詳解】由等面積法：，即，即，由余弦定理得，，則，設(shè)外接圓半徑為，則，，則外接圓的面積為.【小問3詳解】由為銳角三角形可得，得，則，由，得，又，所以，則.19.已知函數(shù)，且x軸是曲線的切線，（1）求的最小值；（2）證明：；（3）設(shè)，，證明：對任意，．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）先根據(jù)切線方程求出，進而再利用導(dǎo)數(shù)求最小值；（2）利用（1）的結(jié)論構(gòu)造不等式，進而可得，再利用累加法即可證明；（3）先分離參數(shù)后利用的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用關(guān)系可得，進而只需證明即可，構(gòu)造函數(shù)，進而利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可證明.【小問1詳解】由得