第2課時用“SAS”判定三角形全等教學(xué)目標(biāo)課題12.2第2課時用“SAS”判定三角形全等授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，經(jīng)歷探索“SAS”的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納及動手能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀感知能力與推理能力.2.能用尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角作三角形，培養(yǎng)學(xué)生分析與作圖能力.教學(xué)重點“SAS”的探索及運用，尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角作三角形．教學(xué)難點“SAS”的探究過程.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入設(shè)計意圖設(shè)置懸念引起學(xué)生思考，為接下來探究三角形全等的判定條件——“SAS”做鋪墊.【情境引入】小紅到小明家去玩，發(fā)現(xiàn)小明正拿著一只玻璃容器苦思冥想，原來他想測量一下它的內(nèi)徑是多少，但是無法將刻度尺伸進(jìn)去直接測量．小紅幫他想出一個辦法：把兩根長度相等的小木條AB，CD的中點連在一起，木條可以繞中點O自由轉(zhuǎn)動，如下圖所示，這樣只要測量A，C之間的距離，就可以知道玻璃容器的內(nèi)徑.你想知道為什么嗎？經(jīng)過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你就會知道答案了.【教學(xué)建議】此問題實際求證BD＝AC，學(xué)生可聯(lián)想到利用全等三角形的性質(zhì)，而已有兩邊和夾角分別相等，自然過渡到探討“SAS”是否可行，順利銜接新課．這個問題中涉及了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)學(xué)建模思想.活動二：動手操作，探究新知設(shè)計意圖以“兩邊一角分別相等”能否保證兩個三角形全等切入主題，經(jīng)歷探索三角形全等的判定條件——“SAS”的過程，學(xué)會尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角作三角形的方法，并運用“SAS”解題，經(jīng)歷“SSA”無法判定兩個三角形全等的探索過程.探究點用“SAS”判定三角形全等在上節(jié)課中我們知道用三個條件探索三角形全等共有四種情況——三邊分別相等、兩邊一角分別相等、兩角一邊分別相等、三角分別相等，并探索了用“SSS”判定三角形全等的過程．這節(jié)課我們將繼續(xù)探索“兩邊一角分別相等”能否證明兩個三角形全等.問題“兩邊一角分別相等”有幾種可能性呢？請舉例.答：有兩種可能性，如圖所示.我們分情況進(jìn)行討論.探究先任意畫出一個△ABC.再畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A(即兩邊和它們的夾角分別相等)．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？【教學(xué)建議】“探究”中討論的是兩邊一角分別相等中的兩邊及其夾角分別相等的情形．這里對“SAS”的處理與“SSS”類似，先通過作圖實驗操作，讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究滿足兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形是否全等的過程，然后總結(jié)規(guī)律，直接以基本事實的方式給出“SAS”的判定方法．需注意已知兩邊及其夾角作三角形也是課標(biāo)要求的重要作圖，需要學(xué)生掌握作圖步驟，作圖過程中利用了上節(jié)課學(xué)到的作一個角等于已知角的基本作圖.教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出幾何模型的過程，認(rèn)識三角形的各個基本要素.如圖給出了畫△A′B′C′的方法．你是這樣畫的嗎？答：上述畫法是先畫一個角，再畫夾這個角的兩邊．也可以采用先畫一邊，然后畫角，再畫另一邊的方法，步驟如下：(1)作A′B′＝AB；(2)作∠B′A′E＝∠A；(3)在射線A′E上截取A′C′＝AC；(4)連接B′C′.探究的結(jié)果反映了什么規(guī)律？由探究可以得到以下基本事實，用它可以判定兩個三角形全等：也就是說，三角形的兩條邊的長度和它們的夾角的大小確定了，這個三角形的形狀、大小就確定了.例(教材P38例2)如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個點C，從點C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點A和B.連接AC并延長到點D，使CD＝CA.連接BC并延長到點E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？分析：如果能證明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由題意可知，△ABC和△DEC具備“邊角邊”的條件.∴△ABC≌△DEC(SAS)∴AB＝DE.追問：想一想，∠1＝∠2的根據(jù)是什么？AB＝DE的根據(jù)是什么？答：∠1＝∠2的根據(jù)是對頂角相等，AB＝DE的根據(jù)是全等三角形的對應(yīng)邊相等.從例題可以看出：因為全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，所以證明線段相等或角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.思考如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？圖中的△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.【教學(xué)建議】例題從實際背景中引申出幾何問題——證明兩條線段相等．可引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，要證的線段是兩個三角形中的兩條邊，如果能證明兩個三角形全等，那么就能利用全等三角形的性質(zhì)得到線段相等．于是通過例題可以達(dá)到三個教學(xué)目的，一是讓學(xué)生學(xué)會運用“SAS”解題；二是讓學(xué)生更透徹地認(rèn)識到證線段相等或角相等可以利用判定三角形全等的手段(之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)提到過)；三是啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，以另外的實際背景對活動一中的問題進(jìn)行解釋.【教學(xué)建議】“思考”以做實驗的方式探討兩邊和其中一邊的對角分別相等能否保證兩個三角形全等．教學(xué)中也可以畫出如左欄圖所示的圖形，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)結(jié)論．這個過程也再次讓學(xué)生體會到要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例．最后是對“兩邊一角分別相等”能否保證兩個三角形全等進(jìn)行總結(jié)性描述.教學(xué)步驟師生活動注意：為方便記憶，我們常將上述這種情形簡記為“SSA”．與“SSS”或“SAS”不同，“SSA”不可作為判定三角形全等的依據(jù).歸納總結(jié)：通過上述探究我們發(fā)現(xiàn)：“兩邊一角分別相等”的兩個三角形不一定全等，其中只有“SAS”能作為判定三角形全等的依據(jù).【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P39練習(xí)第1～2題.活動三：綜合練習(xí)，鞏固提升設(shè)計意圖綜合考查利用“SAS”判定三角形全等與全等三角形的性質(zhì)，加深學(xué)生對新知的掌握程度.例如圖，AC＝DC，E為AB上一點，EC＝BC，并且∠1＝∠2.(1)求證：△ABC≌△DEC；(2)已知∠CEB＝∠B＝75°，求∠3的度數(shù).(1)證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ACE＝∠2＋∠ACE，即∠DCE＝∠ACB.在△ABC和△DEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DC，,∠ACB＝∠DCE，,BC＝EC，))∴△ABC≌△DEC(SAS).(2)解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠DEC＝75°.∴∠3＝180°－∠DEC－∠CEB＝180°－75°－75°＝30°.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，AB＝EC，∠B＝∠DCE＝90°，AC與DE相交于點F.(1)求證：△ABC≌△ECD；(2)判斷AC與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由.(1)證明：在△ABC和△ECD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝EC，,∠B＝∠DCE，,BC＝CD，))∴△ABC≌△ECD(SAS).(2)解：AC＝DE，AC⊥DE.理由如下：∵△ABC≌△ECD，∴∠BCA＝∠CDE，AC＝ED.∵∠DCE＝90°，∴∠BCA＋∠ACD＝90°，∴∠CDE＋∠ACD＝90°，∴△DCF是直角三角形，∠CFD＝90°，∴AC⊥DE.【教學(xué)建議】在證明三角形全等時，所需三個條件可能不會全部直接給出，有時需要根據(jù)已知去推得，有時需要發(fā)掘隱藏條件(如公共邊、公共角、對頂角等)，還可能需多次證全等來獲得(不多見)．解答此類題目首先應(yīng)該捋清思路，當(dāng)前學(xué)情下證全等看到兩邊分別相等時要想到找兩邊的夾角(注意不是任意一個角)或找第三邊，看到一角及夾角的一邊分別相等時要想到找夾角的另一邊(注意不是角的對邊)．活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.什么是“SAS”？你能用“SAS”判定兩個三角形全等嗎？2.“SSA”一定能判定兩個三角形全等嗎？你能舉例說明嗎？3.你能用尺規(guī)作圖的方法已知兩邊及其夾角作三角形嗎？【知識結(jié)構(gòu)】教學(xué)步驟師生活動【作業(yè)布置】1.教材P43～45習(xí)題12.2第3，10，13題.2.《》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練.板書設(shè)計第2課時用“SAS”判定三角形全等1.基本事實：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“SAS”). 2.尺規(guī)作圖：已知兩邊及其夾角作三角形. 3.實際應(yīng)用：用“SAS”判定三角形全等． 教學(xué)反思本節(jié)課是探索三角形全等條件的第2課時，是在學(xué)習(xí)了“SSS”之后展開的．它不僅是下節(jié)課探索其他判定三角形全等條件的基礎(chǔ)，又為后面探索直角三角形全等的條件提供了很好的模式和方法．因此，本節(jié)課的知識具有承前啟后的作用，占有相當(dāng)重要的地位．同時，本節(jié)課具有較強的操作性和直觀性，有利于學(xué)生從直觀上積累感性認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生對新知識的理解和掌握.解題大招一用“SAS”判定三角形全等的實際應(yīng)用在實際生活中，常常通過說明兩個三角形全等，得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，從而解決一些實際問題，如把不能直接測量的長度(或角度)“轉(zhuǎn)移”到可以直接測量的位置測量．例1如圖是雨傘在開合過程中某時刻的截面圖，D，E分別是傘骨AB，AC的中點，DM，EM是連接彈簧M和傘骨的支架，且DM＝EM，在彈簧向上滑動的過程中，∠AMD＝∠AME，試說明AB＝AC.解：在△ADM和△AEM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DM＝EM，,∠AMD＝∠AME，,AM＝AM，))∴△ADM≌△AEM(SAS)，∴AD＝AE.∵D，E分別是AB，AC的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB，AE＝eq\f(1,2)AC，∴AB＝AC.解題大招二用倍長中線法構(gòu)造全等三角形當(dāng)出現(xiàn)中線，而現(xiàn)有圖形中不存在兩個全等三角形時，常通過倍長中線法將中線延長一倍，根據(jù)“SAS”構(gòu)造全等三角形，再利用對應(yīng)邊相等去尋求線段間的數(shù)量關(guān)系．例2在數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個問題：“如圖①，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，D為AB邊的中點，求AB邊上的中線CD的取值范圍．”經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法——“倍長中線法”．請按照圖②所示的思維框圖，完成求解過程．解：如圖①，延長CD至點E，使DE＝CD，連接AE，則CE＝2CD.∵D為AB邊的中點，∴AD＝BD.又∠ADE＝∠BDC，DE＝DC，∴△ADE≌△BDC(SAS)，∴AE＝BC＝5.在△ACE中，AC－AE＜CE＜AC＋AE，∴8－5＜2CD＜8＋5，∴1.5＜CD＜6.5.解題大招三利用“SAS”證三角形全等的“手拉手”模型例3兩個大小不同的等腰直角三角板如圖①放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E三點在同一直線上，連接CD.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)試猜想CD與BE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAE＝∠CAD，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD(SAS)．(2)解：CD⊥BE.證明如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠B＝∠ACD.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，∴CD⊥BE.培優(yōu)點用“SAS”判定三角形全等解決動點問題例如圖①，在△ABC中，∠A＝∠B，AC＝BC＝20cm，AB＝16cm，D為AC的中點．(1)如果點P在線段AB上以6cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BC上由點B向點C運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△APD與△BQP是否全等？說明理由．②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，設(shè)運動時間為ts，當(dāng)t為何值時，△APD與△BQP全等？求出此時點Q的運動速度．(2)如圖②，若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動，經(jīng)過多長時間，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？解：(1)①△APD與△BQP全等．理由：經(jīng)過1s后，AP＝BQ＝6cm.∵AC＝20cm，D為AC的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AC＝10cm.又BP＝AB－AP＝16－6＝10(cm)，∴AD＝BP.又∠A＝∠B，∴△APD≌△BQP(SAS)．②因為vP≠vQ，所以AP≠BQ.又∠A＝∠B，所以要使△APD與△BQP全等，只能AP＝BP＝eq\f(1,2)AB＝8cm，BQ＝AD＝10cm，∴6t＝8，解得t＝eq\f(4,3)，∴點Q的運動速度為10÷eq\f(4,3)＝