第4課時用“HL”判定直角三角形全等教學(xué)目標(biāo)課題12.2第4課時用“HL”判定直角三角形全等授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納及動手能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀感知能力與推理能力.2.能夠作圖：已知一直角邊和斜邊作直角三角形，強化學(xué)生作圖能力.教學(xué)重點探索并掌握“斜邊、直角邊”定理．教學(xué)難點“斜邊、直角邊”定理的探索過程，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸ㄖ苯侨切稳?教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：問題思考，新課代入設(shè)計意圖設(shè)置問題，層層推進(jìn)，為進(jìn)入“HL”的探究做鋪墊.【復(fù)習(xí)引入】思考對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就全等了？答：兩個.如圖，具有下列條件的Rt△ABC與Rt△DEF(其中∠C＝∠F＝90°)是否全等？若全等，在()里填寫理由；若不全等，在()里打“×”：①AC＝DF，∠A＝∠D；(ASA)②AC＝DF，∠B＝∠E；(AAS)③BC＝EF，∠B＝∠E；(ASA)④BC＝EF，∠A＝∠D；(AAS)⑤AB＝DE，∠B＝∠E；(AAS) ⑥AB＝DE，∠A＝∠D；(AAS) ⑦AC＝DF，BC＝EF；(SAS)⑧∠A＝∠D，∠B＝∠E.(×)上述列舉的條件并不完全，還少了滿足斜邊和一條直角邊分別相等的情況，你能寫出這種情況對應(yīng)的條件嗎？答：AB＝DE，AC＝DF或AB＝DE，BC＝EF.在這種情況下，這兩個直角三角形全等嗎？這就是我們這節(jié)課要探究的內(nèi)容.【教學(xué)建議】教師提問引起學(xué)生思考，在討論直角三角形全等時，由于已經(jīng)具備直角相等的特殊條件，所以判定方法會出現(xiàn)簡化，學(xué)生不難總結(jié)出答案．再根據(jù)具體問題逐條列舉條件，同時能鞏固復(fù)習(xí)到之前學(xué)過的全等三角形的判定方法．歸總條件后發(fā)現(xiàn)缺少斜邊、直角邊分別相等的情況，且無法確定是否能證明全等，于是順其自然開始進(jìn)入新課的探究.活動二：動手操作，引入新知設(shè)計意圖使學(xué)生經(jīng)歷探索直角三角形全等的判定條件——“HL”的過程，學(xué)會作圖：已知一直角邊和斜邊作直角三角形，并運用“HL”解題.探究點用“HL”判定直角三角形全等探究任意畫出一個Rt△ABC，使∠C＝90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使得∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們?nèi)葐?？如圖給出了畫Rt△A′B′C′的方法．你是這樣畫的嗎？探究的結(jié)果反映了什么規(guī)律？【教學(xué)建議】與之前的學(xué)習(xí)類似，先進(jìn)行畫圖實驗，猜想結(jié)論，感悟“斜邊、直角邊”可以確定一個直角三角形的形狀及大小，然后直接給出“斜邊、直角邊”判定定理．接著設(shè)置例題，目的是為學(xué)生利用“斜邊、直角邊”證明直角三角形全等做出示范教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出幾何模型的過程，認(rèn)識三角形的各個基本要素.由探究可以得到判定兩個直角三角形全等的一個方法：注意：(1)“HL”中，“H”代表斜邊，“L”代表直角邊，用大括號列舉條件時順序不要混淆，先寫斜邊再寫直角邊.(2)用“HL”證明兩個直角三角形全等，在書寫時，兩個三角形符號“△”前要加上“Rt”.(3)不難發(fā)現(xiàn)“HL”是“SSA”的一種特殊情況，對于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，僅適用于直角三角形，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法．除此之外，“SSS”(一般不出現(xiàn))“SAS”“ASA”“AAS”也適用于判定直角三角形全等.例(教材P42例5)如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC＝BD.求證BC＝AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC＝AD.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P43練習(xí)第1～2題.教師在教學(xué)過程中注意跟學(xué)生強調(diào)：(1)“HL”是定理，不是基本事實(能用后面的勾股定理去證，這里不用講述原因)；(2)已知一直角邊和斜邊作直角三角形屬于課標(biāo)要求，要能夠準(zhǔn)確作圖．其中作90°的角暫時用量角器作，不屬于尺規(guī)作圖，待后面學(xué)會角的平分線的作法就可以完成這個尺規(guī)作圖了；(3)特殊三角形在這里是第一次涉及，注意體會，利于后續(xù)深入學(xué)習(xí).活動三：綜合訓(xùn)練，鞏固提升設(shè)計意圖綜合考查直角三角形全等的判定方法“HL”與全等三角形的性質(zhì)，增強學(xué)生對于“HL”的掌握程度．例如圖，AD，AF分別是兩個鈍角三角形ABC和ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角三角形ABC和ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，CF＝AE，BC＝DA.求證：Rt△ABE≌Rt△CDF.證明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝CA，,DA＝BC，))∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)，∴CD＝AB.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,AE＝CF，))∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).【教學(xué)建議】學(xué)生交流探討，自主完成解題，教師根據(jù)情況進(jìn)行講評．注意例題與對應(yīng)訓(xùn)練中都運用了兩次證全等，例題中的兩次證全等的先后順序可以互換，而對應(yīng)訓(xùn)練中第一次證全等的目的是利用全等三角形的性質(zhì)為第二次證全等收集條件.教學(xué)步驟師生活動活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.什么是“HL”？你能用“HL”判定兩個直角三角形全等嗎？2.你能已知一直角邊和斜邊作直角三角形嗎？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P44習(xí)題12.2第7，8題.2.《》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計第4課時用“HL”判定直角三角形全等1.定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(“斜邊、直角邊”或“HL”). 2.作圖：已知一直角邊和斜邊作直角三角形. 3.實際應(yīng)用：用“HL”判定直角三角形全等．教學(xué)反思本節(jié)課探索的是直角三角形全等的條件，教學(xué)主要通過分組討論、操作探究以及合作交流等方式來進(jìn)行.三角形全等是貫穿這一章的主線，是初中階段證明線段及角相等的主要工具，而“HL”也是重要的判定方法．學(xué)完這節(jié)課后在全等三角形的判定方面形成完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力，是學(xué)習(xí)后續(xù)幾何課程的基礎(chǔ).解題大招一用“HL”判定直角三角形全等的簡單應(yīng)用判定兩個直角三角形全等的判定方法的選擇思路：例1兩個直角三角形中，下列條件：①一銳角和斜邊對應(yīng)相等；②斜邊和一直角邊對應(yīng)相等；③有兩條邊相等；④兩個銳角對應(yīng)相等．其中能使這兩個直角三角形全等的是（A）A．①②B．②③C．③④D．①②③④例2如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，則需要添加的條件是（A）AD＝CBB．∠A＝∠CC．BD＝DBD．AB＝CD例3如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O.如果AB＝AC，那么圖中全等的直角三角形的對數(shù)是（C）A．1B．2C．3D．4解析：共有3對全等的直角三角形，分別是△ADC≌△AEB，△BOD≌△COE，△ADO≌△AEO.故選C.例4如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，AC，DF相交于點G，AB⊥BE，垂足為B，DE⊥BE，垂足為E，且AC＝DF，BF＝CE.(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝65°，求∠AGF的度數(shù)．(1)證明：∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B＝∠E＝90°.∵BF＝CE，∴BF＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,BC＝EF，))∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．(2)解：由(1)知∠B＝90°，∴∠ACB＝90°－∠A＝90°－65°＝25°.又Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ACB＝∠DFE＝25°，∴∠AGF＝∠ACB＋∠DFE＝25°＋25°＝50°.解題大招二判定兩個直角三角形全等的實際應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化等線段及等角，所以實際應(yīng)用中往往圍繞這一點進(jìn)行考查，而在學(xué)過“HL”后，在判定直角三角形全等時又增加了一種選擇．解答此類問題時，找到全等的直角三角形是關(guān)鍵，有時也可能遇到直角條件題目中沒有直接給出的情況，此時如果想利用“HL”，就與用其他方法證三角形全等相同，需要獲取包含直角相等在內(nèi)的三個條件．例5如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？解：根據(jù)題意，得BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝EF，,AC＝DF，))∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．∴∠B＝∠DEF.∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°.培優(yōu)點與直角三角形全等有關(guān)的動點問題例如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q兩點分別在線段AC和垂直于AC的射線AM上運動，且點P不與點A，C重合，那么當(dāng)點P運動到什么位置時，才能使△ABC與△APQ全等？分析：△ABC與△APQ全等eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①△ABC≌△QPA→AP＝BC＝10,②△ABC≌△PQA→AP＝AC→不合題意))解：∵∠C＝∠QAP＝90°，∴△ABC和△APQ都是直角三角形．①當(dāng)點P運動到AP＝BC時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝QP，,BC＝PA