PAGEPAGE2第二章一維定常流基本方程§2—1連續(xù)方程連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于流動(dòng)氣體所得到的關(guān)系式。質(zhì)量守恒定律在一維定常管流中的具體形式就是流過任何截面的流量是相等的。設(shè)有一維定常管流，如圖2—2—1所示。在流管中任取垂直于管軸的截面1—1和2—2，設(shè)截面1—1的管截面積是，流速是，密度是；截面2—2的管截面積是流速是，密度是。由于是定常流動(dòng)，各截面所有參數(shù)都不隨時(shí)間變化，那么，每秒鐘通過兩截面的質(zhì)量分別是和，而流過其它任一截面的質(zhì)量是。按質(zhì)量守恒定律可得等式（2—2—1）圖2—圖2—2—1連續(xù)方程推導(dǎo)上式稱為連續(xù)性方程。對(duì)于不可壓流=常數(shù)，上式寫為(2—2—2)上式表明，在一維定常不可壓流里，流管沿程各截面上的流速是與橫截面積成反比例變化的。凡橫截面積小處，流速必大，反之亦然。上面推導(dǎo)的(2—2—1)和(2—2—2)式稱為積分形式的連續(xù)方程。為了便于應(yīng)用連續(xù)方程分析、計(jì)算問題以及推導(dǎo)其它方程，下面對(duì)連續(xù)方程的微分形式作一推導(dǎo)。對(duì)(2—2—1)式進(jìn)行全微分得兩邊同除以得（2—2—3）對(duì)于低速不可壓定常流有（2—2—4）(2—2—3)和(2—2—4)式稱為微分形式的連續(xù)方程。它說明在一維常流動(dòng)中，管道橫截面積、氣體密度與氣流速度的相對(duì)變化量之和等于零?！?—2動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程一、動(dòng)量方程理論力學(xué)中關(guān)于動(dòng)量定理的一種說法是，作用在物體上的力在微元時(shí)間內(nèi)的沖量等于在該時(shí)間內(nèi)物體量的微元變化。現(xiàn)在把這個(gè)定理應(yīng)用到流體的運(yùn)動(dòng)。我們?nèi)D2—2—2所示的由流管兩個(gè)橫截面1、2和該兩截面之間流管的側(cè)表面組成控制區(qū)，以該區(qū)內(nèi)的流體作為研究對(duì)象。設(shè)經(jīng)時(shí)間后，這塊流體流到一個(gè)新的位置?，F(xiàn)在我們來計(jì)算這塊流體在時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的變化。由于是定常流，在之間流體的動(dòng)量不變，因而所研究的流體的動(dòng)量的變化就等于和這兩塊流體動(dòng)量之差。注意到動(dòng)量是向量，則很容易寫出動(dòng)量變化量在X坐標(biāo)方向的投影為式中是質(zhì)量流量。設(shè)流體所受控制區(qū)邊界給它的作用力的合力在X軸方向的分量為P則其微元沖量為。根據(jù)動(dòng)量定理有：所以得到（2—2—5）上式表明，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)截面2流出的動(dòng)量和經(jīng)截面1流入的動(dòng)量之差，等于控制區(qū)邊界作用在兩截面1、2之間這塊流體上的外力。該外力可由控制區(qū)邊界給流體的分布?jí)毫Ψe分而來，重力可忽略不計(jì)。二、動(dòng)量方程的應(yīng)用現(xiàn)在我們應(yīng)用動(dòng)量方程來求一維管流中參數(shù)變化的微分關(guān)系式。圖2—2—2動(dòng)量方程推導(dǎo)用圖沿圖2—2—3中流管的S軸取一微段，設(shè)截面的面積為A，壓強(qiáng)為p流速為C，截面b的對(duì)應(yīng)量分別為，，。因很小，可認(rèn)為兩截面上的流速方向不變，壓強(qiáng)方向正好相反。我們?nèi)∥⒍蔚膫?cè)表面和兩端截面為控制區(qū)。因兩截面十分接近，側(cè)表面上的壓強(qiáng)近似等于兩截面上的壓強(qiáng)的平均值，即。側(cè)表面上的壓力在S軸上的投影等于此平均壓強(qiáng)乘以側(cè)表面面積在垂直于S軸的平面上的投影面積，即圖2—2—3一維管流的壓強(qiáng)與速度的微分關(guān)系推導(dǎo)用圖因假設(shè)是理想流體，不存在摩擦力；此外還忽略氣體的重力。所以正S方向上的外力的合力為展開上式右邊并略去二階小量可得如前所述，兩截面上的流速方向相同，因而它們的動(dòng)量的方向都與管軸S的正向一致，按S方向應(yīng)用動(dòng)量方程(2—2—5)，則有故(2—2—6)該式表明，氣流沿流管作增速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其壓強(qiáng)必然要降低；反之，減速時(shí)壓強(qiáng)必然要升高。下面我們?cè)龠\(yùn)用動(dòng)量方程來求作用在擴(kuò)壓器內(nèi)壁上的作用力。圖2—2—4氣體流過擴(kuò)壓器的情形假設(shè)擴(kuò)壓器的進(jìn)、出口橫截面積分別為和，如圖2—2—4所示?？諝馔ㄟ^擴(kuò)壓器的流量為，進(jìn)、出口氣流速度和壓強(qiáng)分別為、和、，求作用在擴(kuò)壓內(nèi)壁上的作用力。取擴(kuò)壓器1—2段為控制體。由動(dòng)量方程知式中，等于1、2截面上作用的氣體力與擴(kuò)壓氣壁對(duì)氣體的作用力之和。即 故設(shè)氣體作用在擴(kuò)壓器內(nèi)壁上的反作用力為。根據(jù)牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律，和大小相等，方向相反，即(2—2—7)又稱為管壁所受的內(nèi)推力。(2—2—7)式雖然是根據(jù)氣體流過擴(kuò)壓器推導(dǎo)出來的，但對(duì)于所有與軸對(duì)稱的管內(nèi)流動(dòng)(如噴氣式發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)各主要部件以及整臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī))都適用。這時(shí)，只要知道氣體流量和進(jìn)、出口氣流參數(shù)，就可以求出管壁所受內(nèi)推力的大小，而無需考慮進(jìn)、出口兩個(gè)截面間氣體流動(dòng)的具體情形。這就給計(jì)算管壁與氣體相互的作用力帶來極大的方便。氣流流過管道時(shí)，每個(gè)截面都有這樣一個(gè)組合參數(shù)叫做沖力，用符號(hào)J表示，它的單位是牛頓。即(2—2—8)應(yīng)用沖力J，(2—2—7)式又可寫成(2—2—9)(2—2—9)式表明，在1、2兩截面這段管道的內(nèi)推力等于氣流出口與進(jìn)口截面上的沖力之差。如果研究的不是一個(gè)管道。而是整臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，顯然，只要知道發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)、出口截面上氣體沖力的大小，就可由(2—2—9)式求出發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)推力。三、動(dòng)量矩方程從力學(xué)中知道，作用于物體上外力的合力對(duì)任一軸線之力矩，等于該物體對(duì)同一軸線之動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，即動(dòng)量矩定律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為。將這一定律應(yīng)用于流動(dòng)氣體，就可得到一維定常流的動(dòng)量矩方程。設(shè)有一維定常管流，控制體和體系取法如圖2—2—5所示。由于流場(chǎng)是定常的，區(qū)域段內(nèi)氣體動(dòng)量矩不變，氣體動(dòng)量矩的變化量等于區(qū)域和段內(nèi)氣體動(dòng)量矩之差，即因?yàn)樗詫⑸鲜酱雱?dòng)量矩定律數(shù)學(xué)表達(dá)式得(2—2—10)該式即為流動(dòng)氣體的動(dòng)量矩方程。它表明，作用于控制體內(nèi)氣體上外力的合力對(duì)任一軸線之力矩，等于每秒鐘內(nèi)流出和流入該控制體內(nèi)氣體對(duì)同一軸線的動(dòng)量矩之差。圖2—2—5動(dòng)量矩方程推導(dǎo)圖由物理學(xué)知，功率N等于力矩和旋轉(zhuǎn)角速度的乘積，即將(2—2—10)式代入上式得設(shè)，分別代表旋轉(zhuǎn)體1—1截面和2—2截面中心處的圓周速度，則，將此關(guān)系式代入上式得(2—2—11)由于功率是外力對(duì)每秒鐘流過的氣體所作的功，所以，外力對(duì)每千克氣體的作功量W為(2—2—12)在噴氣式發(fā)動(dòng)機(jī)原理中，利用上述公式計(jì)算和研究壓縮器和渦輪的旋轉(zhuǎn)力矩、功和功率。如果外力矩為零，流體只依靠其慣性而運(yùn)動(dòng)時(shí)，由(2—2—10)式便可得到(2—2—13)上式表明，當(dāng)流體依靠本身的慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向速度與流體所處位置的半徑成反比。它在分析離心式噴嘴的工作原理時(shí)是很有用的?！?—3能量方程能量方程是能量守恒和轉(zhuǎn)換定律應(yīng)用于流動(dòng)氣體所得到的關(guān)系式。它表達(dá)了氣體在流動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)換情形。一、能量方程的推導(dǎo)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律告訴我們：對(duì)一確定的體系，加入的能量應(yīng)等于體系能量的增量。據(jù)此，我們可以推導(dǎo)出能量方程?？刂企w和體系的選取，如圖2—2—6所示。(一)對(duì)體系加入的能量1．熱量一般對(duì)氣體加熱有兩種方式：從外界對(duì)氣體加熱(如在氣流中燃燒燃料)，加熱量用表示；從內(nèi)部加熱，即損失功轉(zhuǎn)變成熱加給氣體，加熱量用表示。對(duì)氣體加入的總熱量為2．機(jī)械功為體系中葉輪旋轉(zhuǎn)對(duì)氣體所作的功。 3．推動(dòng)功參看圖2—2—6，當(dāng)體系流動(dòng)時(shí)，在1—1截面處，外界氣體對(duì)體系的作用力為，這個(gè)力要推動(dòng)體系向前流動(dòng)，而對(duì)它作正功；同樣在2—2截面處，外界氣體對(duì)體系的作用力為這個(gè)力要阻止體系向前流動(dòng)，而對(duì)它作負(fù)功。體系前后氣體對(duì)體系所做功的總和叫做推動(dòng)功；用表示。圖2圖2—2—6能量方程推導(dǎo)作用圖很明顯，在時(shí)間內(nèi)，1—1截面上的作用力對(duì)體系所作的功為不難看出，就是1—1段的體積。設(shè)1—1截面處氣體的比容為，1—1段內(nèi)氣體的質(zhì)量為，則也表示1—1段的體積，因而有代入前式，得同理，2—2截面上的作用力所作的功為故在時(shí)間內(nèi)，外界氣體對(duì)系統(tǒng)所作的推動(dòng)功為由于是定常流，1—2段內(nèi)氣體質(zhì)量不變，故1—1段和2—2段內(nèi)氣體的質(zhì)量相等，令其為dm，則所以4．損失功是指各種流動(dòng)損失所消耗機(jī)械能的總和。損失功總是負(fù)值。綜上所述，體系從位置1—2流至位置1—2的過程中，對(duì)體系加入的總能量為二)體系能量的增量體系能量的增量可由2—2段和1—1段內(nèi)氣體的能量之差來確定(參看圖2—2—6)，這是因?yàn)?，氣體作定常流動(dòng)時(shí)，在容積1—2內(nèi)，氣體的能量并不發(fā)生變化。氣體所含能量有三種形式：動(dòng)能、內(nèi)能和位能。故體系能量的增量應(yīng)為這三種能量增量之和。1．動(dòng)能增量由上述分析可知2．內(nèi)能增量3．位能增量式中分別為截面1—1和2—2中心處的高度(由基準(zhǔn)面算起)。（三）能量方程根據(jù)能量守恒與轉(zhuǎn)換定律，加給體系的能量應(yīng)等于體系能量的增量。故等號(hào)兩邊同除以dm，并令，表示1千克氣體流過控制體1—2的過程中所得到的熱量：，分別表示1千克氣體流過控制1—2的過程中，所得到的機(jī)械功與所消耗的損失功。移項(xiàng)后，上式可寫成在多數(shù)情況下，氣體位能能的變化與其它項(xiàng)相比是很小的，可忽略不計(jì)。又由于損失功變成熱又加給氣體，即而所以由于所以為氣體的焓，以i表示。于是（2—2—14)上式即為1千克流動(dòng)氣體的能量方程。由于此方程包焓丁焓，故又稱為焓方程。由焓方程知：外界加給氣體的熱量和機(jī)械功，用于增大氣體的動(dòng)能和焓。焓方程不包含損失這一項(xiàng)。這說明，不論是否考慮流動(dòng)損失，方程的形式都是一樣的。這是因?yàn)?，氣體流動(dòng)損失所消耗的損失功，完全轉(zhuǎn)換成了熱又加給了氣體，損失只不過使能量從一種形式(損失功)轉(zhuǎn)變成另一種形式(熱)而已，對(duì)氣體能量總的平衡無影響。如果氣體向外界放熱和對(duì)外界做機(jī)械功，則方程中的和兩項(xiàng)前應(yīng)采用負(fù)號(hào)。所以1千克氣體的能量方程式可綜合成(2—2—15)能量方程的微分形式可寫成(2—2—16)二、能量方程的應(yīng)用研究能量方程的目的在于應(yīng)用它來解決氣體流動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系等實(shí)際問題，下面我們將舉例說明能量方程的應(yīng)用。(一)求壓縮器功氣體流過壓縮器時(shí)，由于同外界無熱交換，所以加熱量為零；又由于外界對(duì)氣體做了機(jī)械功，其符號(hào)應(yīng)取正。據(jù)此，能量方程(2—2—15)可寫成(2—2—17)利用(2—2—17)式可求得壓縮器功。從(2—2—17)式可以看出，在壓縮器中，加給氣體的機(jī)械功，是用于增大氣體的焓和動(dòng)能的。(二)求輪緣功氣體流過渦輪時(shí)，由于同外界無熱交換，所以加熱量為零；又由于氣體對(duì)外界做了機(jī)械功，所以機(jī)械功前應(yīng)取負(fù)號(hào)。據(jù)此，能量方程(2—2—15)可寫成(2—2—18)利用(2—2—18)式可以求得1千克燃?xì)鈱?duì)渦輪所作的機(jī)械功，即輪緣功。從(2—2—18)式可以看出，在渦輪中，氣體所作的機(jī)械功和氣體動(dòng)能的增大，都是氣體焓降低的結(jié)果。(三)氣體作絕熱流動(dòng)的能量關(guān)系在不少氣體動(dòng)力學(xué)問題中，可以忽略粘性和熱傳導(dǎo)的影響。同時(shí)，氣流與外界無任何能量交換，所以流動(dòng)過程中是可逆的絕熱過程即等熵過程。在絕熱情況下，，總能量為常數(shù)，此時(shí)能量方程可寫成(2—2—19)或(2—2—20)如果在式(2—2—20)中應(yīng)用狀態(tài)方程消去，可得能量方程的另一形式為(2—2—21)上式稱為理想流體的一維絕熱可壓流的能量方程?！?—4伯努利方程能量方程解決了流動(dòng)氣體能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系問題。但是方程中既含有機(jī)械能，又含有熱能，且不顯含損失功。在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)只希望討論機(jī)械能之間的轉(zhuǎn)換和求解損失功的大小問題，這時(shí)，用能量方程就不方便了。伯努利方程就是用機(jī)械能形式寫出來的能量方程。下面我們就來研究伯努利方程。一、伯努利方程的推導(dǎo)要得到機(jī)械能形式表示的能量方程，就需要把能量方程中以熱能形式出現(xiàn)的項(xiàng)，用適當(dāng)?shù)臋C(jī)械能形式的項(xiàng)來代替。熱力學(xué)第一定律提供了這種可能性。因?yàn)闊崃W(xué)第一定律的解析式正是表達(dá)了熱與功相互轉(zhuǎn)換的數(shù)量關(guān)系。將這一解析式應(yīng)用于能量方程，便可得到伯努利方程。下面來推導(dǎo)伯努利方程。一般形式的能量方程為將方程寫成微分形式(1)由熱力學(xué)第一定律知(2)將（2）式代入（1）式并忽略位能的變化，整理得或(2—2—22)這就是微分形式的伯努利方程。對(duì)上式積分得(2—2—23)這就是積分形式的伯努利方程。同能量方程一樣，如果氣體對(duì)外做功，則項(xiàng)前應(yīng)取負(fù)號(hào)，因此伯努力方程可綜合寫成(2—2—24)對(duì)于無粘不可壓流體(即理想不可壓流體)，常數(shù)，代入(2—2—6)式，井沿流管積分得或(2—2—25)上式為理想不可壓流體的伯努利方程，或稱低速能量方程。其中為靜壓；為動(dòng)壓，記為稱為總壓(或全壓)。該方程表明，理想不可壓流體，沿著流管其全壓保持不變。當(dāng)流速增大時(shí)，動(dòng)壓增大，靜壓減少；反之亦然。二、伯努利方程的應(yīng)用發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，壓縮器對(duì)氣體做功，燃?xì)鈱?duì)渦輪做功等，均可應(yīng)用伯努利方程作定量分析。另外，空速表測(cè)速原理也是伯努利方程的具體應(yīng)用。下面我們來介紹伯努利方程在這些方面的應(yīng)用。(一)求壓縮器功在壓縮器中，壓縮器對(duì)氣體做功，機(jī)械能前應(yīng)取正號(hào)，故(2—2—24)式可寫成(2—2—26)為了了解上式的物理意義，應(yīng)先弄清代表什么?顯然的值是與過程的性質(zhì)有關(guān)的。過程不同，的變化就不同，的值也產(chǎn)不同。為使結(jié)論具有普遍性，下面我們以多變過程來研究的物理意義。由于是多變過程，所以∴(2—2—27)上式也可寫成，由工程熱力學(xué)知，這一項(xiàng)表示多變壓縮過程中，壓縮1千克靜止氣體所耗費(fèi)的功；表示推動(dòng)1千克流動(dòng)氣體所耗費(fèi)的推動(dòng)功。二者之和就表示多變壓縮過程中，壓縮1千克流動(dòng)氣體所耗費(fèi)的功，簡(jiǎn)稱多變壓縮功，用表示。圖2圖2—2—1多變壓縮功從積分的概念得知：等于壓容圖上面積見圖(2—2—7)，即多變過程曲線1—2與縱坐標(biāo)軸所包圍的面積。另外，還可以從(2—2—7)式看出常常用壓力比的形式表示，將以及代入(2—2—27)式得(2—2—28)至此，可以利用上式說明(2—2—26)式的物理意義。將(2—2—28)式代入(2—2—26)式，得(2—2—29)上式表明，壓縮器對(duì)1千克氣體所作的功，一部分用來提高氣體的壓力，另一部分用來增加氣體的功能，還有一部分消耗于損失。(二)求輪緣功在渦輪中，氣體對(duì)工作葉輪作功，機(jī)械功應(yīng)取負(fù)號(hào)。故伯努利方程(2—2—24)可寫為變換后得(2—2—30)與討論壓縮功一樣，也要弄清代表什么？對(duì)多變過程積分，并考慮到積分上下限為，可得或可以看出，是表示多變膨脹過程中，1千克靜止氣體膨脹所作的功，而是表示1千克流動(dòng)氣體所作的推動(dòng)功，則就表示1千克流動(dòng)氣體在多變膨脹后所發(fā)出的功，簡(jiǎn)稱多變膨脹功，以表示。在壓容圖上用面積表示(如圖2—2—8所示)。也可以用壓力比的形式表示圖2圖2—2—8多變膨脹功(2—2—31)為了使(2—2—30)式表示的物理意義更清楚，把它改寫成為