專題12.8三角形全等的判定-ASA與AAS（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解和掌握全等三角形判定方法——“角邊角”與“角角邊”；能運(yùn)用它們判定兩個(gè)三角形全等．2．能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形全等．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形判定——“角邊角”全等三角形判定3——“角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.特別說(shuō)明：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.要點(diǎn)二、全等三角形判定——“角角邊”1.全等三角形判定4——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）特別說(shuō)明：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.要點(diǎn)三、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.【典型例題】類型一、用ASA（AAS）證明三角形全等1、如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【分析】（1）證明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到結(jié)論；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可證得結(jié)論．解：(1)證明：在△ABO與△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；(2)證明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC與△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC與△CEB全等嗎？為什么？解：因?yàn)锽D、CE分別平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（

），∠ECB＝（

）．由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（

）．在△BDC與△CEB中，，（

），（

）．所以△BDC≌△CEB（ASA）．【答案】∠ABC；∠ACB；等量代換；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共邊；∠ACB＝∠ABC；已知【分析】根據(jù)角平分線的定義可證得∠DBC＝∠ECB，再證明△BDC≌△CEB．解：△BDC與△CEB全等，因?yàn)锽D、CE分別平分∠ABC、∠ACB（已知），所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），由∠ABC＝∠ACB（已知），所以∠DBC＝∠ECB（等量代換），在△BDC與△CEB中，，所以△BDC≌△CEB（ASA），故答案為：∠ABC；∠ACB；等量代換；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共邊；∠ACB＝∠ABC；已知．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求證：AB=CD．【分析】根據(jù)全等三角形證明△ABE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．解：證明：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB=CD．【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，一般證明線段相等先大致判斷兩個(gè)線段所在三角形是否全等，然后再看證明全等的條件有哪些．類型二、全等性質(zhì)與SAS（AAS）綜合2、如圖，在中，，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），連接AD，作，DE交線段AC于E．(1)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變__________（填“大”或“小”），但與的度數(shù)和始終是__________度．(2)當(dāng)DC的長(zhǎng)度是多少時(shí)，，并說(shuō)明理由．【答案】(1)?。?40(2)當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由見(jiàn)分析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．解：(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，設(shè)∠BAD=x°，∠BDA=y°，∴40°+x+y=180°，∴y=140-x（0＜x＜100），當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，x增大，∴y減小，+=180°-故答案為：小，140；(2)當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；【點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，三角形的內(nèi)角和公式，解本題的關(guān)鍵是分類討論．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點(diǎn)E；(1)若B、C在DE的同側(cè)（如圖1所示）求證：DE＝BD＋CE；(2)若B、C在DE的兩側(cè)（如圖2所示），其他條件不變，則DE，BD，CE具有怎樣的等量關(guān)系？寫出等量關(guān)系，不需證明．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)DE=CE-BD【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ADB≌△CEA，可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出結(jié)論；（2）由條件可以得出∠ADB=∠CEA=90°，∠BAD=∠ACE，再由AB=AC就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出DE=CE-BD．解：(1)∵AB⊥AC，BD⊥DE，CE⊥DE∴∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ADC與△BEC中，∠ADB＝∠AEC＝90°,∠BAD＝∠ACE,AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；(2)DE=CE-BD理由：∵BD⊥AD，CE⊥AD，∴∠ADB=∠CEA=90°．∵AB⊥AC，∴∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE．在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD=AE，AD=CE．∵AD=AE+ED，∴DE=AD-AE=CE-BD．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ACB中，，，D為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且，連接BE，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線，交邊AC于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：；(3)用等式表示線段AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)，證明見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)題目步驟作圖即可；（2）過(guò)E作EM⊥BC于M，先由中線倍長(zhǎng)證明，得到，再證明，得到；（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．解：(1)依題意補(bǔ)全圖形如下：(2)過(guò)E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴(ASA)，∴(3)，證明如下：

由（2）得，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)倍長(zhǎng)中線模型作垂直構(gòu)造全等．類型三、尺規(guī)作圖——全等問(wèn)題3、畫(huà)△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°．【答案】見(jiàn)分析【分析】先作∠ABC=40°，再在射線BA是截取BA=4cm，然后以A為項(xiàng)點(diǎn)，AB為邊在∠ABC內(nèi)部作∠BAC=80°，AC與BC相交于C即可得△ABC．解：如圖，△ABC即為所求作．∵∠ABC=40°，∠BAC=80°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°，又∴AB=4cm，∴△ABC即為所求作．【點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖一作一角等于已知角，作一線段等于已知線段，屬于基礎(chǔ)題型．舉一反三：【變式1】嘉淇同學(xué)要證，她先用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線相交于點(diǎn)，連接；③過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．并寫出了如下不完整的已知和求證．（1）在方框中填空，以補(bǔ)全已知和求證；（2）按嘉淇的想法寫出證明過(guò)程．【答案】（1）BE；BF；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧得到BC=BE，根據(jù)題目第一句話得AE=BF；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEB=∠FBC，然后根據(jù)AAS證明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．解：（1）∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧∴BC=BE根據(jù)已知條件第一句話，得到AE=BF故答案為：BE；BF；（2）∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC．∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，∴BE=BC，在△ABE與△FCB中，∴△ABE≌△FCB，∴AE=BF【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，和三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定條件，和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式2】求證：全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．（1）在圖②中，作出相應(yīng)的角平分線,保留作圖痕跡；（2）根據(jù)題意，寫出已知、求證，并加以證明?！敬鸢浮浚?）見(jiàn)分析（2）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法即可求解；（2）根據(jù)已知條件證明△ABD≌△A’B’D，故可得到AD=A’D’，即全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．解：（1）如圖，A’D’即為所求；（2）已知，△ABC≌△A’B’C’,AD，A’D’分別是△△ABC，△A’B’C’的角平分線；求證：AD=A’D’；∵△ABC≌△A’B’C’∴AB=A’B’,∠B=∠B’，∠BAC=∠B’A’C’∵AD，A’D’分別是△△ABC，△A’B’C’的角平分線∴∠BAD=∠B’A’D’∴△ABD≌△A’B’D（ASA）∴AD=A’D’即全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等．【點(diǎn)撥】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．類型四、全等三角形判定的靈活選擇4、如圖，與交于點(diǎn)O，連接、、，已知．(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件：________________，使；（只添一個(gè)即可）(2)根據(jù)（1）中你所添加的條件，證明：．【答案】(1)或∠C=∠D或∠ABC=∠DAB(2)見(jiàn)分析【分析】（1）已知中有一角和一邊，需增加一個(gè)角或者角的另一邊相等即可，可利用AAS或ASA或SAS；（2）根據(jù)（1）增加的條件，利用全等三角形的判定證明即可.解：(1)或∠C=∠D或∠ABC=∠DAB(2)①在與中，∴②∠C=∠D在與中，∴③∠ABC=∠DAB在與中，∴【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，題目是開(kāi)放性題目，熟練地掌握全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD．(1)如圖1，求證：AC＝BD；(2)如圖2，當(dāng)OA＝OD時(shí)，連接BC，延長(zhǎng)BD、CA交于點(diǎn)E，AB、CD交于點(diǎn)F，在不添加任何字母及輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)全等三角形（第一問(wèn)中用到的除外）．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD．【分析】（1）利用SAS證明△BOD≌△AOC，即可證明AC=BD；（2）利用全等三角形的性質(zhì)與判定即可寫出滿足條件的全等三角形．(1)解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，∴∠BOD=∠AOC，∵OA=OB，OC=OD，∴△BOD≌△AOC，∴AC=BD；(2)解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，由（1）得△BOD≌△AOC，∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，在△DFB和△