10.1梯度折射率光學概述10.2梯度折射率介質中的光線追跡10.3梯度折射率光學系統(tǒng)像差10.1梯度折射率光學概述梯度折射率介質亦稱為非均勻介質、變折射率介質或者漸變折射率介質,是一類按某種規(guī)則改變的介質而并非常數(shù)。因此,英文稱作GradientIndex(Grin)。近幾十年來,梯度折射率光學慢慢發(fā)展成了一門新興的學科。理論上,按照折射率的變化規(guī)律,折射率大致可分為四類,即徑向、軸向、層狀和球面梯度折射率。而國內外現(xiàn)有的梯度折射率光學器件基本為徑向和軸向梯度折射率光學器件。球面梯度折射率光學器件很少。而球面梯度折射率是隨到某一點的距離而變化的,是中心點對稱的球面,經過此介質的光線都是平面曲線,這就意味著利用球面梯度折射率制作的光學器件的外觀形狀對稱且光路短,自然體積就較小,而對稱形狀的光學元件較好加工,這樣就便于大批的加工生產。著名的麥克斯韋“魚眼”就是典型的球面梯度折射率介質模型,這就表明這種光學器件具有很好的光學性能,且具有長遠的應用前景。徑向梯度折射率是徑向距離的函數(shù),等折射率面是中心軸對稱的圓柱面。這種介質在今天的光通信中作為理想的傳輸介質,自聚焦纖維就屬于這種傳輸介質。在光通信中,它可以用作導光、成像等。國內外光纖醫(yī)用內窺鏡技術已成為現(xiàn)今醫(yī)用內窺鏡的開發(fā)重點,這種徑向梯度折射率的光纖介質無論在醫(yī)用內窺鏡中,還是光通信中都有著不可忽視的應用前景。球面梯度折射率是某一定的函數(shù)、等折射率面是中心點對稱的球面,盧內堡透鏡就是利用這種梯度折射率介質制作的。其焦點位于透鏡表面,可以使無窮遠的物點銳成像,實現(xiàn)寬角度掃描,可應用于微波天線方面。在傳統(tǒng)的光學系統(tǒng)設計中,通常采用的是折射率均勻的光學材料,所以像差的校正往往是使用一些傳統(tǒng)的方法,如改變曲率半徑和透鏡厚度,還有透鏡之間的間隔。所設計的系統(tǒng)越復雜,就需要更多的透鏡,像差的校正更是難上加難。這不僅僅增加了光學儀器的重量和體積,還大大提高了設計成本。而隨著梯度折射率光學的發(fā)展,梯度折射率材料的使用使得以上問題迎刃而解。梯度折射率材料的使用,可以使得光學系統(tǒng)簡化,也能減小整個光學系統(tǒng)的體積、重量和光能損失,例如:一個球面軸向梯度折射率透鏡等效于一個非球面透鏡;一個徑向梯度折射率透鏡等效于一個成像透鏡;一條徑向梯度折射率棒透鏡等效于一個轉像組;一種層狀梯度折射率板等效于一個柱面鏡;一種層狀梯度折射率板等效于一個偏轉棱鏡;兩片梯度折射率玻璃透鏡等效于六片優(yōu)質雙高斯物鏡。如今,梯度折射率光學可以說已經真正發(fā)展成為了一門新學科。梯度折射率透鏡已成為一些光學系統(tǒng)設計中必不可少的光學元件。在梯度折射率介質中的光線追跡、梯度折射率透鏡的研制方法及設計和其材料的使用、基于梯度折射率光學的光學系統(tǒng)的像差分析和評價等諸多方面也已逐漸趨于完善。由于上面提出的梯度折射率透鏡在光學系統(tǒng)中起到的多重作用,很多領域開始廣泛地應用梯度折射率光學元件,包括應用傳感技術的光學系統(tǒng)、光纖通信和內窺鏡等多方領域。10.2梯度折射率介質中的光線追跡梯度折射率光學亦稱均勻介質光學。其介質內的折射率是按某種規(guī)律變化的,是空間位置(x,y,z)的函數(shù),因此,光線傳播軌跡不是直線而是曲線。光線傳播軌跡需要通過求解光線微分方程來得到。除了在少數(shù)情況下,這個方程可尋得解析解外,一般要用數(shù)值方法計算。通常采用的方法有級數(shù)展開法、歐拉法、龍格·庫塔法等。在光線追跡過程中,一般采用檢驗公式和或在近軸條件下,方程(10.1)簡化為1.徑向梯度折射率折射率是徑向距離的函數(shù),其等折射率面為中心軸對稱的圓柱系者,稱徑向梯度折射率。徑向梯度折射率介質中光線的光學方向余弦l是常數(shù),l=l0稱為光線沿軸不變量。此時,光線方程(10.1)在笛卡爾坐標中簡化為徑向梯度折射率函數(shù)通常的表達式為徑向梯度折射率介質中光線軌跡解析解得公式非常復雜,一般用數(shù)值法求解。1)徑向梯度n2=n2(0)[1-a2(x2+y2)]徑向梯度折射率介質n2=n2(0)[1-a2x2+y2()]中的光線軌跡公式是近軸公式是實際光線與近軸光線軌跡如圖10.1所示。2)徑向梯度n2=n2(0)[1+a2(x2+y2)]梯度折射率介質中的光線沒有周期性,光線軌跡是一條雙曲正弦曲線。其表達式為3)徑向梯度n=n(0)sech(ar)在這種徑向梯度折射率介質中的光線軌跡呈雙曲正割分布。這種介質現(xiàn)今在光通信中作為理想的傳輸介質,即自聚焦纖維。這是因為這種介質中實際光線在子午面內部具有2aπ的變化周期,與初始入射條件無關,其軌跡為典型的正弦曲線,介質內任何一點的子午光線都在一周期內兩次聚焦,無像差“銳成像”。但介質內的軸外點,由于斜光線的存在,實際上不會“銳成像”。這種介質的級數(shù)展開式是介質n2=n2(0)[1-a2(x2+y2)]是自聚焦介質的特例,其近軸光線的光學性質與自聚焦介質相同。這種自聚焦介質的子午光線軌跡公式是4)徑向梯度n2=n2(0)[1+(ar)2]-1在徑向梯度折射率介質中會出現(xiàn)一種特殊的斜光線,這種光線在介質中的傳輸軌跡是條螺旋曲線,光線始終保持到光軸的距離不變,即這種光線稱螺旋光線,如圖10.2所示。一般介質中的螺旋光線的周期(螺距)與初始光線的入射高度有關,介質中螺旋光線具有不同的周期,并且存在著一種螺旋光線具有相同周期的介質,這就是徑向介質其級數(shù)展開式是2.軸向梯度折射率折射率只沿軸向變化,等折射率面是垂直于光軸的平行平面系者,稱軸向梯度折射率。其光學方向余弦p和q在介質中是不變量,即p=p0,q=q0,光線在該介質中的軌跡公式是當兩個等折射率面n(0)和n(d)所夾的軸向梯度介質平板置于均勻介質(如空氣)時,一束平行光入射到這塊介質板后,雖在介質內的光線是彎曲的,但出射光線仍是平行光束,且平行于原入射光束,不會產生徑向介質那種會聚或發(fā)散現(xiàn)象。也就是說,軸向梯度板是無光焦度的。欲產生光焦度,必使一面或兩面成為曲面。1)軸向梯度n(z)=n(0)+az這種線性分布介質的光線軌跡公式是近軸光線公式為2)軸向梯度n2(z)=n2(0)+az這種梯度介質的實際光線軌跡公式為3)軸向梯度n2(z)=n2(0)[1-a2z2]這種近軸梯度介質中的光線軌跡公式是4)軸向梯度n2(z)=n2(0)[1+a2z2]這種梯度介質中的光線軌跡是3.層狀梯度折射率1)層狀梯度n2(x)=n2(0)[1-a2x2]這種層狀梯度介質的光線軌跡公式為2)層狀梯度n2(x)=n2(0)-a2x這種介質中的光線軌跡公式為這種介質中的光線軌跡在梯度方向上與物點在均場中的運動軌跡相類似。當,時,光線軌跡曲線有極值,即當一束平行光以i1入射到軸向厚度為zd的此種介質平板后,出射光線仍為平行光,其出射角按下式計算其偏折光線的作用如同棱鏡一樣,如圖10.3所示。4.球面梯度折射率折射率隨離某一定點的距離而變化,等折射率面為中心點對稱的球面系者,稱球面梯度折射率。球面梯度折射率介質中的光線都是平面曲線。任何光線入射到這種介質后,其光線在該光線與球心構成的平面內傳播,且下式成立:式中,e為球面梯度介質中的沿光線不變量;?為光線軌跡切線矢量與位置矢量間的夾角(見圖10.4),在平面曲線極坐標(rθ)下球面梯度折射率介質中的光線軌跡公式是1)麥克斯韋“魚眼”麥克斯韋“魚眼”為球面梯度折射率介質的一種,其折射率分布為這種介質中光線軌跡的極坐標方程是這種介質使球表面或內部任意一點發(fā)出的所有光線都會聚于該點所在直徑的另一邊上之一點。這兩點到球心O的距離之積為介質分布常數(shù)a的平方,如圖10.5所示。2)盧內堡透鏡盧內堡(Luneburg)透鏡為球面梯度折射率介質的另一種,其折射率分布為r0是使n(r0)=1時的球半徑r。這種介質球中心處的折射率為2,折射率隨r的增大而減小(2>n>1)。它能使每束平行光都銳聚焦,也就是說能使無窮遠物點銳成像,如圖10.6所示。盧內堡透鏡因其可寬角度掃描,故目前只應用于微波天線方面。10.3梯度折射率光學系統(tǒng)像差利用哈密頓理論或Buchdahl的準不變理論可以導出梯度折射率光學系統(tǒng)的像差系數(shù)。通過追跡兩條近軸光線,其一為物平面軸上點的近軸光線,其二為軸外近軸主光線,像均勻介質透鏡一樣,可以求出梯度折射率透鏡的三級像差系數(shù)。三級像差系數(shù)基本上由三部分組成:一部分為均勻介質折射率n(0)系統(tǒng)的各表面產生的三級像差系數(shù)———A1、B1、C1、D1、E1;另一部分為由于折射率沿介質界面(球面或非球面)變化而產生的像差系數(shù)———A2、B2、C2、(D2=0)、E2;第三部分為光線在介質內傳播時,因折射率的變化而產生的傳輸像差系數(shù)———A3、B3、C3、D3、E3,即A、B、C、D、E分別對