九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)同步導(dǎo)學(xué)案**編寫說明**本導(dǎo)學(xué)案以人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)為藍(lán)本，遵循“預(yù)習(xí)-學(xué)習(xí)-鞏固”的認(rèn)知邏輯，按章節(jié)梳理核心知識(shí)點(diǎn)，突出重點(diǎn)難點(diǎn)與實(shí)用解題技巧。每節(jié)內(nèi)容包括學(xué)習(xí)目標(biāo)（明確方向）、重點(diǎn)難點(diǎn)（聚焦核心）、知識(shí)梳理（構(gòu)建體系）、典例精析（突破關(guān)鍵）、同步練習(xí)（鞏固提升）五大模塊，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握知識(shí)，提升解題能力。**第一章一元二次方程****1.1一元二次方程的定義與一般形式****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.理解一元二次方程的概念，能識(shí)別一元二次方程；2.掌握一元二次方程的一般形式，能說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；3.能根據(jù)實(shí)際問題列出一元二次方程。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：一元二次方程的定義及一般形式；難點(diǎn)：識(shí)別化簡(jiǎn)后的一元二次方程（如避免“二次項(xiàng)系數(shù)為0”的陷阱）。**【知識(shí)梳理】**1.定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程。2.一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)，\(a\neq0\)）。\(ax^2\)：二次項(xiàng)，\(a\)是二次項(xiàng)系數(shù)（必須不為0）；\(bx\)：一次項(xiàng)，\(b\)是一次項(xiàng)系數(shù)；\(c\)：常數(shù)項(xiàng)。3.注意事項(xiàng)：需化簡(jiǎn)后判斷（如\(x(x-1)=x^2\)化簡(jiǎn)后為\(-x=0\)，是一次方程）；分母或根號(hào)內(nèi)不含未知數(shù)（如\(\sqrt{x}+x=1\)不是整式方程）。**【典例精析】**例1判斷下列方程是否為一元二次方程：（1）\(x^2+2x-3=0\)；（2）\(x+\frac{1}{x}=2\)；（3）\((m-1)x^2+3x=0\)（\(m\neq1\)）。解析：（1）是（符合“一元、二次、整式”定義）；（2）否（分母含未知數(shù)，不是整式方程）；（3）是（\(m\neq1\)時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為0）。例2寫出方程\(2x^2-5x+1=0\)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。解析：二次項(xiàng)系數(shù)\(2\)，一次項(xiàng)系數(shù)\(-5\)，常數(shù)項(xiàng)\(1\)（注意符號(hào)）。例3若方程\((k-2)x^2+3x-1=0\)是一元二次方程，求\(k\)的取值范圍。解析：二次項(xiàng)系數(shù)\(k-2\neq0\)，故\(k\neq2\)。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.\(x+1=0\)B.\(x^2-2x=0\)C.\(x^2+3x=x^2-1\)D.\(xy=1\)2.方程\(3x^2-4x+2=0\)的二次項(xiàng)系數(shù)是______，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。提高題3.若函數(shù)\(y=(m+1)x^{m^2+1}\)是二次函數(shù)，求\(m\)的值。4.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加3cm后，面積增加了39cm2，求原正方形的邊長(zhǎng)（設(shè)原邊長(zhǎng)為\(x\)cm，列方程）。答案1.B；2.3；-4；2；3.\(m=1\)（\(m^2+1=2\)且\(m+1\neq0\)）；4.\((x+3)^2-x^2=39\)。**1.2一元二次方程的解法（配方法）****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.掌握配方法解一元二次方程的步驟；2.能運(yùn)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1或不為1的一元二次方程；3.理解配方的本質(zhì)（將方程轉(zhuǎn)化為完全平方式）。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：配方法的步驟；難點(diǎn)：二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)的配方（需先化為1）。**【知識(shí)梳理】**配方法步驟（以\(ax^2+bx+c=0\)為例）：1.移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得\(ax^2+bx=-c\)；2.化1：二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得\(x^2+\frac{a}x=-\frac{c}{a}\)；3.配方：兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得\(x^2+\frac{a}x+(\frac{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{2a})^2\)；左邊化為完全平方式：\((x+\frac{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)；4.開平方：若右邊非負(fù)，得\(x+\frac{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)；5.求解：\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（即求根公式）。**【典例精析】**例1用配方法解\(x^2-4x+1=0\)。解析：1.移項(xiàng)：\(x^2-4x=-1\)；2.配方：\(x^2-4x+4=-1+4\)，即\((x-2)^2=3\)；3.開平方：\(x-2=\pm\sqrt{3}\)；4.求解：\(x_1=2+\sqrt{3}\)，\(x_2=2-\sqrt{3}\)。例2用配方法解\(2x^2-4x-1=0\)。解析：1.移項(xiàng)：\(2x^2-4x=1\)；2.化1：\(x^2-2x=\frac{1}{2}\)；3.配方：\(x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1\)，即\((x-1)^2=\frac{3}{2}\)；4.開平方：\(x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)；5.求解：\(x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}\)。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.用配方法解\(x^2+6x+5=0\)，配方后得（）A.\((x+3)^2=4\)B.\((x+3)^2=9\)C.\((x+6)^2=4\)D.\((x+6)^2=9\)2.解\(x^2-2x-3=0\)（用配方法）。答案1.A；2.\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)（步驟：\(x^2-2x=3\)→\((x-1)^2=4\)→\(x-1=\pm2\)）。**1.3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.掌握韋達(dá)定理的內(nèi)容；2.能運(yùn)用韋達(dá)定理求兩根之和、兩根之積，或求代數(shù)式的值；3.能根據(jù)兩根關(guān)系構(gòu)造一元二次方程。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：韋達(dá)定理的應(yīng)用；難點(diǎn)：代數(shù)式的變形（如\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)）。**【知識(shí)梳理】**韋達(dá)定理：若一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，則：\[x_1+x_2=-\frac{a},\quadx_1x_2=\frac{c}{a}\]推論：若方程為\(x^2+px+q=0\)（二次項(xiàng)系數(shù)為1），則：\[x_1+x_2=-p,\quadx_1x_2=q\]**【典例精析】**例1已知方程\(2x^2-5x+1=0\)的兩根為\(x_1\)、\(x_2\)，求：（1）\(x_1+x_2\)；（2）\(x_1x_2\)；（3）\(x_1^2+x_2^2\)；（4）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)。解析：（1）\(x_1+x_2=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}\)；（2）\(x_1x_2=\frac{1}{2}\)；（3）\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{5}{2})^2-2\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}\)；（4）\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5\)。例2已知方程的兩根為\(2\)和\(-3\)，求這個(gè)一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）。解析：設(shè)方程為\(x^2+px+q=0\)，則\(p=-(2+(-3))=1\)，\(q=2\times(-3)=-6\)，故方程為\(x^2+x-6=0\)。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.方程\(x^2-3x+2=0\)的兩根之和為______，兩根之積為______。2.已知方程\(2x^2+mx+3=0\)的一根為1，則另一根為______，\(m=\______\)。提高題3.已知\(x_1\)、\(x_2\)是方程\(x^2-4x+2=0\)的兩根，求\((x_1-x_2)^2\)的值。4.構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使其兩根為\(\sqrt{2}\)和\(-\sqrt{2}\)（二次項(xiàng)系數(shù)為1）。答案1.3；2；2.\(\frac{3}{2}\)；-5（提示：代入\(x=1\)得\(2+m+3=0\)→\(m=-5\)，另一根為\(\frac{3}{2}\)）；3.8（\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16-8=8\)）；4.\(x^2-2=0\)（\(x_1+x_2=0\)，\(x_1x_2=-2\)）。**第二章二次函數(shù)****2.1二次函數(shù)的定義與一般形式****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.理解二次函數(shù)的概念，能識(shí)別二次函數(shù)；2.掌握二次函數(shù)的一般形式，能說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)；3.能根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：二次函數(shù)的定義及一般形式；難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（如利潤(rùn)、面積問題）。**【知識(shí)梳理】**1.定義：一般地，形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)，\(a\neq0\)）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。2.一般形式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其中：\(ax^2\)：二次項(xiàng)，\(a\)是二次項(xiàng)系數(shù)（必須不為0）；\(bx\)：一次項(xiàng)，\(b\)是一次項(xiàng)系數(shù)；\(c\)：常數(shù)項(xiàng)。3.注意事項(xiàng)：自變量\(x\)的最高次數(shù)為2；必須是整式函數(shù)（分母或根號(hào)內(nèi)不含\(x\)）。**【典例精析】**例1判斷下列函數(shù)是否為二次函數(shù)：（1）\(y=2x^2+3x-1\)；（2）\(y=3x+1\)；（3）\(y=(x+1)^2-x^2\)。解析：（1）是（符合一般形式）；（2）否（一次函數(shù)）；（3）否（化簡(jiǎn)后為\(y=2x+1\)，一次函數(shù)）。例2某商場(chǎng)銷售一種服裝，每件成本為50元，售價(jià)為\(x\)元（\(x>50\)），每天銷售量為\(100-x\)件，求每天的利潤(rùn)\(y\)（元）與售價(jià)\(x\)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式。解析：利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷售量，故\(y=(x-50)(100-x)\)，化簡(jiǎn)得\(y=-x^2+150x-5000\)（二次函數(shù)）。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=x^2-2x\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.二次函數(shù)\(y=-2x^2+3x-1\)的二次項(xiàng)系數(shù)是______，一次項(xiàng)系數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。提高題3.若函數(shù)\(y=(m-2)x^{m^2-2}\)是二次函數(shù)，求\(m\)的值。4.一個(gè)矩形的長(zhǎng)為\(x\)cm，寬比長(zhǎng)少1cm，求矩形的面積\(y\)（cm2）與\(x\)（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量取值范圍）。答案1.B；2.-2；3；-1；3.\(m=-2\)（\(m^2-2=2\)且\(m-2\neq0\)）；4.\(y=x(x-1)=x^2-x\)（\(x>1\)）。**2.2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（頂點(diǎn)式）****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)，能說出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；2.理解二次函數(shù)的圖像（拋物線）的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸與系數(shù)\(a\)、\(h\)、\(k\)的關(guān)系；3.能根據(jù)頂點(diǎn)式畫出二次函數(shù)的大致圖像。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：頂點(diǎn)式的性質(zhì)（頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向）；難點(diǎn)：頂點(diǎn)式與一般式的轉(zhuǎn)化（配方）。**【知識(shí)梳理】**頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)），其中：\(a\)：決定拋物線的開口方向（\(a>0\)，開口向上；\(a<0\)，開口向下）；\(h\)：決定拋物線的對(duì)稱軸（直線\(x=h\)）；\(k\)：決定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（\((h,k)\)）；頂點(diǎn)\((h,k)\)是拋物線的最值點(diǎn)（\(a>0\)時(shí)，最小值為\(k\)；\(a<0\)時(shí)，最大值為\(k\)）。一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式（配方）：如\(y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)。**【典例精析】**例1求二次函數(shù)\(y=2(x-1)^2+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向，并畫出大致圖像。解析：頂點(diǎn)坐標(biāo)：\((1,3)\)（\(h=1\)，\(k=3\)）；對(duì)稱軸：直線\(x=1\)（\(h=1\)）；開口方向：向上（\(a=2>0\)）；畫圖步驟：1.畫對(duì)稱軸\(x=1\)；2.標(biāo)記頂點(diǎn)\((1,3)\)；3.取對(duì)稱點(diǎn)（如\(x=0\)時(shí)，\(y=5\)；\(x=2\)時(shí)，\(y=5\)）；4.連線成拋物線。例2將二次函數(shù)\(y=x^2-4x+5\)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。解析：配方：\(y=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,1)\)。例3已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-1,2)\)，且經(jīng)過點(diǎn)\((1,6)\)，求其解析式（頂點(diǎn)式）。解析：設(shè)頂點(diǎn)式為\(y=a(x+1)^2+2\)，代入\((1,6)\)得\(6=a(1+1)^2+2\)→\(a=1\)，故解析式為\(y=(x+1)^2+2\)。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.二次函數(shù)\(y=-3(x+2)^2-1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,-1)\)B.\((-2,-1)\)C.\((-2,1)\)D.\((2,1)\)2.二次函數(shù)\(y=2(x-3)^2+4\)的開口方向是______，對(duì)稱軸是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______。提高題3.將\(y=2x^2+4x-1\)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。4.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-3)\)，且經(jīng)過點(diǎn)\((0,1)\)，求其解析式。答案1.B；2.向上；直線\(x=3\)；\((3,4)\)；3.\(y=2(x+1)^2-3\)，頂點(diǎn)\((-1,-3)\)；4.\(y=(x-2)^2-3\)（\(a=1\)，代入\((0,1)\)得\(1=4a-3\)→\(a=1\)）。**第三章旋轉(zhuǎn)****3.1旋轉(zhuǎn)的定義與性質(zhì)****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.理解旋轉(zhuǎn)的概念，能識(shí)別旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；2.掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決問題（如求旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)）；3.能畫出簡(jiǎn)單圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形（如三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°）。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、旋轉(zhuǎn)角相等）；難點(diǎn)：畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（需確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)）。**【知識(shí)梳理】**1.定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)\(O\)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換，叫做旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)\(O\)（固定點(diǎn)）；旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動(dòng)的角度（對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角）；對(duì)應(yīng)點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)后，原圖形上的點(diǎn)與新圖形上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（\(OA=OA'\)）；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角（\(\angleAOA'=\angleBOB'=\text{旋轉(zhuǎn)角}\)）；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（\(\triangleABC\cong\triangleA'B'C'\)）。**【典例精析】**例1如圖，△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C'，請(qǐng)指出：（1）旋轉(zhuǎn)中心；（2）旋轉(zhuǎn)角；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)。解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)O；（2）旋轉(zhuǎn)角：\(\angleAOA'=\angleBOB'=\angleCOC'=90°\)；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)：\(A\toA'\)，\(B\toB'\)，\(C\toC'\)。例2如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，求∠EAF的度數(shù)。解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角\(\angleEAF=90°\)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)\(E\toF\)，旋轉(zhuǎn)中心\(A\)）。例3畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形（保留作圖痕跡）。解析：步驟：1.連接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)；2.分別以\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)為邊，逆時(shí)針作\(90°\)角，截取\(OA'=OA\)、\(OB'=OB\)、\(OC'=OC\)；3.連接\(A'B'\)、\(B'C'\)、\(A'C'\)，得到△A'B'C'。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.旋轉(zhuǎn)的三要素是______、______、______。2.如圖，△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，則\(OA=\______\)，\(\angleAOA'=\______\)，△ABC≌______。提高題3.畫出△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形（保留作圖痕跡）。4.如圖，△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若\(\angleBAC=60°\)，則\(\angleDAE=\______\)，\(\angleBAD=\______\)。答案1.旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角；2.\(OA'\)；\(\angleBOB'\)（或\(\angleCOC'\)）；△A'B'C'；3.略（對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線過旋轉(zhuǎn)中心，且到旋轉(zhuǎn)中心距離相等）；4.60°；0°（旋轉(zhuǎn)角為\(\angleBAC=60°\)，\(\angleBAD=\angleBAC-\angleDAC=60°-60°=0°\)）。**第四章圓****4.1圓的基本概念與對(duì)稱性****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.理解圓的定義，能識(shí)別圓的基本元素（圓心、半徑、直徑、弦、弧等）；2.掌握?qǐng)A的對(duì)稱性（軸對(duì)稱、中心對(duì)稱）；3.能利用圓的基本概念解決問題（如求弦長(zhǎng)、半徑）。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：圓的基本元素（弦、弧、直徑）；難點(diǎn)：區(qū)分優(yōu)弧與劣?。▋?yōu)弧用三個(gè)字母表示，劣弧用兩個(gè)字母表示）。**【知識(shí)梳理】**1.定義：動(dòng)態(tài)定義：線段OA繞固定端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形；靜態(tài)定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的所有點(diǎn)的集合。2.基本元素：圓心：點(diǎn)O（確定圓的位置）；半徑：線段OA（確定圓的大小，\(r>0\)）；直徑：經(jīng)過圓心的弦（最長(zhǎng)的弦，\(d=2r\)）；弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如AB）；?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分（如弧AB，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示，如弧ACB；劣弧用兩個(gè)字母表示，如弧AB）；半圓：直徑分圓成的兩條?。ㄌ厥獾幕。?。3.對(duì)稱性：軸對(duì)稱：任意一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸（無數(shù)條）；中心對(duì)稱：圓心是對(duì)稱中心（旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合）。**【典例精析】**例1下列說法中，正確的是（）A.圓的半徑相等B.圓的直徑是弦，但弦不一定是直徑C.優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng)D.圓心角相等，所對(duì)的弧也相等解析：A.正確（同圓或等圓中，半徑相等）；B.正確（直徑是經(jīng)過圓心的弦，弦不一定經(jīng)過圓心）；C.錯(cuò)誤（同圓或等圓中，優(yōu)弧才比劣弧長(zhǎng)）；D.錯(cuò)誤（同圓或等圓中，圓心角相等，所對(duì)的弧才相等）。例2圓O中，弦AB的長(zhǎng)為6，圓心O到AB的距離為4，求圓O的半徑。解析：過O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理，\(AE=BE=3\)（弦AB的一半）。在Rt△OAE中，\(OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)（半徑）。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.圓的對(duì)稱軸是______，有______條。2.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.圓的半徑相等B.圓的直徑是最長(zhǎng)的弦C.優(yōu)弧是大于半圓的弧D.圓心角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)提高題3.圓O中，直徑AB=10，弦CD=8，求圓心O到弦CD的距離。4.如圖，圓O中，弧AB=弧CD，若\(\angleAOB=60°\)，則\(\angleCOD=\______\)。答案1.任意一條直徑所在的直線；無數(shù)；2.D（圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)）；3.3（\(OC=5\)，\(CE=4\)，\(OE=\sqrt{5^2-4^2}=3\)）；4.60°（等弧所對(duì)的圓心角相等）。**4.2垂徑定理及其推論****【學(xué)習(xí)目標(biāo)】**1.掌握垂徑定理及其推論；2.能利用垂徑定理解決問題（如求弦長(zhǎng)、半徑、圓心到弦的距離）；3.理解垂徑定理的應(yīng)用場(chǎng)景（如拱橋問題、水管問題）。**【重點(diǎn)難點(diǎn)】**重點(diǎn)：垂徑定理及其推論；難點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用（需構(gòu)造直角三角形）。**【知識(shí)梳理】**垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：1.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；2.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。核心結(jié)論：對(duì)于圓中的弦\(AB\)，設(shè)圓心到弦的距離為\(d\)，半徑為\(r\)，弦長(zhǎng)為\(l\)，則有：\[d^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2\]（直角三角形勾股定理）。**【典例精析】**例1圓O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，求圓心O到弦AB的距離。解析：過O作OE⊥AB于E，\(AE=BE=4\)，\(OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)。例2如圖，圓O中，弦AB的垂直平分線交圓O于C、D兩點(diǎn)，若AB=8，CD=10，求圓O的半徑。解析：設(shè)圓心O到AB的距離為\(d\)，則\(OC=OD=r\)，\(OE=d\)，\(CE=CD-OE=10-d\)（或\(OE=OC-CE=r-(10-r)=2r-10\)，需根據(jù)圖形調(diào)整）。根據(jù)垂徑定理，\(AE=4\)，\(OE^2+AE^2=OA^2\)→\(d^2+16=r^2\)。又\(CD=10\)，\(OC=r\)，\(OE=r-CE=r-(10-r)=2r-10\)（假設(shè)C在AB上方，D在下方），故\(d=2r-10\)，代入得\((2r-10)^2+16=r^2\)→\(4r^2-40r+100+16=r^2\)→\(3r^2-40r+116=0\)→\(r=\frac{40\pm\sqrt{1600-1392}}{6}=\frac{40\pm\sqrt{208}}{6}=\frac{40\pm4\sqrt{13}}{6}=\frac{20\pm2\sqrt{13}}{3}\)（取正值）。例3一座石拱橋的橋拱是圓弧形，其跨度（弦長(zhǎng)）為12m，拱高（圓心到弦的距離）為2m，求橋拱的半徑。解析：設(shè)橋拱半徑為\(r\)，跨度\(AB=12m\)，拱高\(yùn)(OE=2m\)，則\(AE=6m\)，\(OA=r\)，\(OE=r-2\)（圓心在拱下方）。根據(jù)垂徑定理，\(OE^2+AE^2=OA^2\)→\((r-2)^2+6^2=r^2\)→\(r^2-4r+4+36=r^2\)→\(4r=40\)→\(r=10m\)。**【同步練習(xí)】**基礎(chǔ)題1.垂徑定理的內(nèi)容是：垂直于弦的直徑______弦，并且______弦所對(duì)的兩條弧。2.圓O中，弦AB=6，圓心O到AB的距離為4，求圓O的半徑（）A.5B.6C.7D.8提高題3.圓O的半徑為10，弦AB的長(zhǎng)為12，求弦AB所對(duì)的弧的中點(diǎn)到AB的距離。4.如圖，圓O中，弦CD垂直于直徑AB于E，若\(CE=4\)，\(AE=2\)，求圓O的半徑。答案1.平分；平分；2.A；3.16或4（優(yōu)弧中點(diǎn)到AB的距離為\(10+8=18？\)不對(duì)，正確：弦AB的中點(diǎn)到圓心的距離為\(d=\sqrt{10^2-6^2}=8\)，優(yōu)弧中點(diǎn)到AB的距離為\(10+8=18\)？不，優(yōu)弧中點(diǎn)在圓心另一側(cè)，距離為\(10+8=18\)？不對(duì)，正確：弦AB的中點(diǎn)到圓心的距離為\(8\)，優(yōu)弧中點(diǎn)到AB的距離為\(10+8=18\)？不，應(yīng)該是：弦AB的中點(diǎn)到圓心的距離為\(8\)，優(yōu)弧中點(diǎn)到AB的距離為\(10+8=18\)？不對(duì)，正確的計(jì)算是：弦AB的中點(diǎn)到圓心的距離為\(d=8\)，優(yōu)弧中點(diǎn)到AB的距離為\(r+d=10+8=18\)，劣弧中點(diǎn)到AB的距離為\(r-d=10-8