/2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期第四次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．12．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．04．已知參觀某次航展的中小學(xué)生人數(shù)和購買航展模型的比率分別如圖1、圖2所示.為了解各學(xué)段學(xué)生對(duì)航展的愛好程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本量和抽取的初中生里購買航展模型的人數(shù)（估計(jì)值）分別為（）A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，285．若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過第二象限，且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則（）A． B． C． D．16．已知，均為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前9項(xiàng)和為（）A．45 B．50 C．54 D．607．已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）A．5 B．4 C． D．8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別為棱，的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的解析式可以為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù) B．的最大值為C．的最小正周期為 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱11．笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)Px0,y0在CA．直線與C有3個(gè)公共點(diǎn) B．若點(diǎn)P在第二象限，則C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，的系數(shù)為.13．已知，，，，則.14．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)證明：是等腰三角形.(2)若，求的最大值.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點(diǎn)，，且該四棱錐的體積為.(1)求AE的長(zhǎng)度；(2)求二面角的正弦值.17．某項(xiàng)編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級(jí)編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對(duì)得5分，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級(jí)編程題和2道高級(jí)編程題組成，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，高級(jí)編程題每題答對(duì)得20分．所有的題答錯(cuò)都不扣分．已知甲同學(xué)能答對(duì)每道基礎(chǔ)編程題，中級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，高級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，且各題答對(duì)與否互不影響．(1)求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；(2)已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望．18．已知，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其為等邊三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，證明：．19．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.(1)求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；(2)若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2．【正確答案】B【詳解】由，所以.所以.故選：B3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故選：A4．【正確答案】D【詳解】樣本量為，抽取的初中生人數(shù)為，所以抽取的初中生里購買航展模型的人數(shù)約為.故選：D5．【正確答案】D【詳解】由，得，，則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由題意可知，將代入切線方程，得，將代入切線方程，得，因?yàn)樵撉芯€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過第一、三、四象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過第一、二、三象限，不符合題意.故.故選：D6．【正確答案】C【詳解】因，均為等差數(shù)列，且，，可得的公差為，則，而的前9項(xiàng)和為.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，由拋物線的定義，可得PM=PF，則.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】因?yàn)闉橹苯侨切?，其外接圓圓心為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，過作平面的垂線與交于點(diǎn)，為三棱錐外接球的球心，，三棱錐外接球的體積為.故選：D9．【正確答案】ABC【詳解】首先，各選項(xiàng)給出的函數(shù)定義域均為.對(duì)A：，，所以成立，故A符合題意；對(duì)B：，，所以成立，故B符合題意；對(duì)C：，，所以成立，故C符合題意；對(duì)D：，，所以不是恒成立，故D不合題意.故選：ABC10．【正確答案】AB【詳解】，則，所以為奇函數(shù)，A正確.，所以的最小正周期不是，C不正確.，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，D不正確.，顯然，且，當(dāng)時(shí)，，由，設(shè)，根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，顯然不成立，則在單調(diào)遞減，所以，即，所以.當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，B正確.故選：AB11．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)槿~形線經(jīng)過點(diǎn)，所以．聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤．．因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，所以，，所以，B正確．若點(diǎn)P在第四象限，則，可推出．因?yàn)椋裕?dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，，所以．當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得，所以，C正確．由，可得，解得，所以，D正確．故選：BCD12．【正確答案】【詳解】展開式的通項(xiàng).令，可得，則的系數(shù)為.故13．【正確答案】/【詳解】因?yàn)?，，，，所以，，即?故.故答案為.14．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）.當(dāng)時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，，平移之后，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由圖象，

，，可知，，解得；當(dāng)時(shí)，的圖象始終在的圖象的下方.故的取值范圍為.故15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，是等腰三角?（2）由（1）知，所以，..因?yàn)?，所?.，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.16．【正確答案】(1)(2)．【詳解】（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，解得，即，．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0，，，，，，，設(shè)，則，．若，則，解得，即E為PC的中點(diǎn)．連接AC，在中，；（2）由（1）得，，．設(shè)平面ABE的法向量為，則即取，得n=0,1,?1．設(shè)平面PBE的法向量為，則即取，得．設(shè)二面角的大小為，則，所以，所以二面角的正弦值為．17．【正確答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對(duì)中級(jí)編程題的數(shù)量至少為，則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為，所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為；（2）由題意可取，則，，，，，，，所以的分布列為：故.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)槭菣E圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以．當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因?yàn)?，所以，．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，，Px1,y由得，，，所以，，即點(diǎn)，所以直線的方程為．令，得．又，所以直線的方程為．令，得．延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于．由，得，則．同理由，得，則．因?yàn)?，，顯然，所以．19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，得，解得或，故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.即方程在只有一解.因?yàn)槭欠匠痰慕?，所以方程在上無解.作函數(shù)和，的圖象，如下圖：由，，所以.當(dāng)或即或時(shí)，與，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).所以的取值范圍是.方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則.若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，