/2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)全集，集合，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．162．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則的值為（

）A． B．5 C． D．3．在矩形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．定義：對于數(shù)列，若存在，使得對一切正整數(shù)，恒有成立，則稱數(shù)列為有界數(shù)列．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中，滿足數(shù)列為有界數(shù)列的是（）A． B．C． D．6．若既是的中點(diǎn)，又是直線與直線的交點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是（

）A． B． C． D．7．若在長方體中，．則四面體與四面體公共部分的體積為（

）A． B． C． D．18．已知，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件B．“”是“為純虛數(shù)”的必要不充分條件C．“”是“為實(shí)數(shù)”的充要條件D．“”是“為實(shí)數(shù)”的充分不必要條件10．已知雙曲線的方程為兩點(diǎn)分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），記直線的斜率分別為，則（

）A．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4B．若雙曲線的實(shí)半軸長，虛半軸長同時(shí)增加相同的長度，則離心率變大C．為定值D．存在實(shí)數(shù)使得直線與雙曲線左，右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)11．歐拉對函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，下面對于定義在R上的函數(shù)，滿足，有，則下面判斷一定正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，，且的非空子集的個(gè)數(shù)為3，則整數(shù)b的一個(gè)可能取值為．13．若曲線與曲線存在公切線，則a的最大值．14．已知函數(shù)，，，且在上單調(diào)，則的值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與直線的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．16．在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角A的大??；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求線段長的取值范圍．17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍?18．已知橢圓（）的長軸為，短軸長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：與橢圓交于不同兩點(diǎn)；①若，求直線的方程．②已知點(diǎn)，，連接交橢圓于另一點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線.19．在數(shù)列中，若滿足：對于，都有，則稱數(shù)列為“類差數(shù)列”.(1)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，若數(shù)列是“類差數(shù)列”，且恒成立，求的最大值；(2)已知等比數(shù)列是“類差數(shù)列”，且，數(shù)列不是“類差數(shù)列”，設(shè)，若數(shù)列是“類差數(shù)列”：①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)都不構(gòu)成等差數(shù)列.

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以或，又因?yàn)?，所以，?個(gè)元素，故選：B2．【正確答案】D【詳解】方法一：由題意：，所以，所以.故選：D方法二：根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，得.故選：D3．【正確答案】A【詳解】由題意可知：，，，且，則，，所以向量在向量上的投影向量是.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】由，可得：，即，又，結(jié)合平方差公式可得.故選：C5．【正確答案】D【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，可知對任意，當(dāng)時(shí)，，不滿足有界數(shù)列的定義，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，可知對任意，當(dāng)時(shí)，，不滿足有界數(shù)列的定義，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可知對任意，當(dāng)時(shí)，，不滿足有界數(shù)列的定義，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：可知數(shù)列是以首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，則，可知當(dāng)時(shí)，，符合有界數(shù)列的定義，故D正確；故選：D.6．【正確答案】A【詳解】由條件可知，，，且，兩式相加得，即，得，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)滿足直線，即直線方程為，，與直線垂直的直線方程的斜率為，所以中垂線方程為，整理為.故選：A7．【正確答案】C【詳解】如圖：取與的交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則三棱錐即為四面體與四面體的公共部分.因?yàn)?又，所以，所以.過作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所?因?yàn)?，平面，所以平?所以為到平面的距離，其值為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為.所以.故選：C8．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，，則，，可得，即，，即，由可得，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，，由f′x>0，可得，由f′所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，由上可知，，則，由于，，則，，所以，，所以，即，如下圖所示：

由圖可得，故選：B.9．【正確答案】BC設(shè)，可得出，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念結(jié)合充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判斷，從而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，則，若，則，，若，則不為純虛數(shù)，所以，“”是“為純虛數(shù)”必要不充分條件；若，即，可得，則為實(shí)數(shù)，“”是“為實(shí)數(shù)”的充要條件；，為虛數(shù)或?qū)崝?shù)，“”是“為實(shí)數(shù)”的必要不充分條件.故選：BC.10．【正確答案】AC【詳解】對于A，因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，漸近線方程化為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故正確；對于B，雙曲線的離心率，若的實(shí)半軸長，虛半軸長同時(shí)增加相同的長度，則，所以新離心率，即離心率變小，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，，，又點(diǎn)在雙曲線上，，，（定值），故C正確；對于D，雙曲線的漸近線方程為，.根據(jù)雙曲線圖象可知直線若與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)必在雙曲線的同一支上，故D錯(cuò)誤；故選：AC11．【正確答案】ABD【詳解】令，得，令，得，故為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，得令，得所以選項(xiàng)A正確；令，得所以令，得因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD12．【正確答案】（或）【詳解】由的非空子集的個(gè)數(shù)為3，所以中有2個(gè)元素，即直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，，得，（正值舍），所以若直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)，則

所以整數(shù)的一個(gè)可能值為.故（或）13．【正確答案】【詳解】設(shè)公切線與曲線切與點(diǎn)，與曲線切與點(diǎn)，由，得；由得.則，所以，所以，即.設(shè)，則.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù).即的最大值為.故14．【正確答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則函數(shù)的一條對稱軸為直線，則①，因?yàn)椋傻芒?，由①②可得，因?yàn)?，所以，，將代入①可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，則該函數(shù)的最小正周期滿足，所以，，所以，，解得，因?yàn)?，則的可能取值構(gòu)成的集合為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.綜上所述，的最大值為.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）在直三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平?（2）因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t、、、，所以，，，，所以，直線與直線的夾角的余弦值為.（3）易知，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，且，所以，點(diǎn)到平面的距離為.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正余弦定理得，又，所以，又是銳角三角形，所以，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理可得，即，又，所以，又由正弦定理可得，所以，，所以，由題意得，解得，則，所以，所以，所以，所以線段長的取值范圍為.17．【正確答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，；(2)1個(gè)；(3).【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合(1)問的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.（3）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，求出在區(qū)間上的值域即可求解.【詳解】（1）由題可得：，令，解得：或，令，解得：；令，解得：或；所以的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，（2）因?yàn)榈膯握{(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，，由于，則在上無零點(diǎn)；由于，則在上無零點(diǎn)；由于，則在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).（3）若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)；由(1)知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；，，，所以函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為18．【正確答案】(1)(2)①；②證明見解析.【詳解】（1）解：由已知長軸為，短軸長為，可得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）解：①依題意，解得，因?yàn)?，可得，且，因?yàn)?，解得，所以直線的方程為：．②證明：設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得：，，又，代入整理得：，，，同理可得，，而所以有，整理得，，，因此∥，故三點(diǎn)共線.19．【正確答案】(1)(2)①；②證明見解析【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，為正整數(shù).一方面，若數(shù)列是“類差數(shù)列”，則.同時(shí)我們有，從而，此即，即.假設(shè)，則在時(shí)有，矛盾，所以.再由，就得到，所以.另一方面，當(dāng)時(shí)，取，則，且.故存在數(shù)列滿足條件.綜合以上兩方面，可知的最大值是.（2）①：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.是“類差數(shù)列”，且，故，，故數(shù)列為無窮遞增數(shù)列，且，即.由，且，知為大于的有理數(shù).下面先用反證法證明公比是正整數(shù)：假設(shè)不是正整數(shù)，由且為有理數(shù)，知存在，，且互質(zhì)，使得.由，有為正整數(shù)，即整除.

而互質(zhì)，故互質(zhì)，而整除，故整除.這表明恒為正整數(shù)，從而恒成立，但，從而這在時(shí)是不可能的，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而公比是正整數(shù).假設(shè)，則，