214.2三角形全等的判定第1課時(shí)三角形全等的判定(一)(“SAS”)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)場景實(shí)際情境置疑探究歸納探究復(fù)習(xí)探究類比探究懸念激趣圖14-2-1實(shí)際情境小偉作業(yè)本上畫的三角形的一邊被墨跡污損了,他想畫一個與原來完全一樣的三角形,他該怎么辦呢?請你幫助小偉想一個辦法,并說明你的理由.問題:三角形有六個要素,我們從這個圖形中能得到幾個要素呢?引導(dǎo)學(xué)生觀察分析,繼而引導(dǎo)學(xué)生分析“SAS”能否確定唯一的三角形.[教學(xué)提示]通過污損圖形引起學(xué)生的興趣,使學(xué)生無法確定三角形的三邊,為學(xué)習(xí)新課做好鋪墊.盡量讓學(xué)生充分探究“SSA”“AAS”“ASA”能否確定唯一的三角形,注意把握好度,探究出“SSA”不能確定唯一的三角形即可,判定方法“AAS”“ASA”可讓學(xué)生課后思考.置疑探究圖14-2-21.猜一猜:教師演示:把兩根木條的一端用螺栓固定在一起.(1)連接另兩端所成的三角形能唯一確定嗎?(2)如果將兩根木條之間的夾角(即∠BAC)大小固定,那么△ABC能唯一確定嗎?2.做一做:(1)用量角器和刻度尺畫△ABC,使AB=2cm,BC=2.5cm,∠ABC=60°.學(xué)生動手畫圖,然后剪下來,再與其他同學(xué)進(jìn)行比較.(帶著以上兩個問題,學(xué)生小組合作動手實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證猜想)(2)將∠ABC的度數(shù)換成20°,再試一試,情況會怎么樣?通過“猜一猜”和“做一做”,你能歸納兩個三角形全等的判定方法嗎?(引入新課)[教學(xué)提示]通過操作、觀察、分析、歸納、總結(jié),讓學(xué)生體會到成功的喜悅,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力.教學(xué)中教師要注意引導(dǎo)學(xué)生討論、交流并歸納得出“邊角邊”.教師可進(jìn)一步設(shè)計(jì)如下問題:(3)畫△ABC,使AB=2cm,BC=2.5cm,∠ACB=40°.學(xué)生動手畫圖,然后剪下來,再與其他同學(xué)進(jìn)行比較(學(xué)生畫出的三角形可能有銳角三角形,也可能有鈍角三角形),并與學(xué)生一起歸納得出:“SSA”不能作為判定兩個三角形全等的依據(jù),進(jìn)而強(qiáng)調(diào)“SAS”中的角必須是對應(yīng)相等的兩邊的夾角.教材母題模型教材母題——第43頁習(xí)題14.2第2題如圖14-2-3,AB=AC,AD=AE.求證∠B=∠C.圖14-2-3【模型建立】解決此類問題要先找出證明兩個三角形全等所需的條件,利用“SAS”證明兩個三角形全等要充分利用公共角或?qū)斀堑认嗟葪l件,有時(shí)還要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用.【變式變形】1.如圖14-2-4,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,則∠AEC等于 (A)圖14-2-4A.60° B.50° C.45° D.30°2.如圖14-2-5,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,求證:△ABC≌△AED.[提示:先由∠BAD=∠EAC得到∠BAC=∠EAD,再利用“SAS”證明△ABC≌△AED]圖14-2-53.如圖14-2-6,AD=AE,∠EAB=∠DAC,AB=AC.求證:∠B=∠C.[提示:證明△ABD≌△ACE]4.如圖14-2-7所示,已知AB=AC,∠1=∠2,AD=AE.求證:∠C=∠B.[提示:證明△ABD≌△ACE] 圖14-2-6 圖14-2-7 圖14-2-85.已知:如圖14-2-8,點(diǎn)D在AC上,點(diǎn)E在AB上,AE=AD,BD,CE相交于點(diǎn)O,連接AO,∠1=∠2.求證:∠B=∠C.證明:在△AEO和△ADO中,AE=AD(已知),∠2=∠1(已知),AO=∴∠AEO=∠ADO(全等三角形的對應(yīng)角相等).∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C(三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),∴∠EOB+∠B=∠DOC+∠C(等量代換).又∵∠EOB=∠DOC(對頂角相等),∴∠B=∠C(等式的性質(zhì)).質(zhì)量評價(jià)角度【評價(jià)角度1】依據(jù)“SAS”補(bǔ)充判定兩個三角形全等的條件方法指引:對照“SAS”應(yīng)具備的三個條件,找出缺少的一個.解題時(shí)注意兩點(diǎn):一是挖掘公共邊、公共角等圖形中的隱含條件,二是注意“SAS”中的“角”是兩條對應(yīng)邊的夾角,而非兩條對應(yīng)邊中一邊的對角.例如圖14-2-9,在△ABC和△DEF中,點(diǎn)B,F,C,E在同一直線上,BF=CE,AB∥DE,請?zhí)砑右粋€條件,使△ABC≌△DEF,你添加的條件是AB=DE.

圖14-2-9【評價(jià)角度2】利用“SAS”及全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明方法指引:利用全等解決問題的思路:(1)從已知出發(fā),探究要證明的線段或角分別在哪兩個三角形中;(2)分解圖形——將要證全等的三角形從“復(fù)合”圖形中分離出來;(3)“移植”條件——將已知轉(zhuǎn)移至圖形,再根據(jù)已知條件及隱含條件尋求恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?例1如圖14-2-10,點(diǎn)E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求證:△ADF≌△BCE.[提示:先由AE=BF得到AF=BE,再利用“SAS”證明△ADF≌△BCE]圖14-2-10例2如圖14-2-11所示,AC和BD相交于點(diǎn)O,OA=OC,OB=OD.求證:AB∥CD.圖14-2-11[提示:圖中隱含對頂角,利用“SAS”證明△AOB≌△COD]【評價(jià)角度3】利用“SAS”及全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算方法指引:先證明與所求角或者線段有關(guān)的兩個三角形全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得到相等關(guān)系,進(jìn)而求出角度或者線段長.例1如圖14-2-12,已知線段AC,BD相交于點(diǎn)E,AE=DE,BE=CE.圖14-2-12(1)求證:△ABE≌△DCE;(2)若AB=5,求CD的長.[答案:(1)略(2)5]例2如圖14-2-13,點(diǎn)B,F,C,E在同一直線上,AC,DF相交于點(diǎn)G,AB⊥BE,垂足為B,DE⊥BE,垂足為E,且AB=DE,BF=CE.圖14-2-13(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)若∠A=65°,求∠AGF的度數(shù).[答案:(1)略(2)50°]

14.2三角形全等的判定第1課時(shí)三角形全等的判定(一)(“SAS”)教學(xué)過程設(shè)計(jì)課題三角形全等的判定(一)(“SAS”)授課人學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握利用“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法.2.經(jīng)歷探究三角形全等的判定方法的過程,學(xué)會解決簡單的推理問題.3.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰白灾骱献鞯木?體會邏輯推理的思維價(jià)值.學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握“邊角邊”判定兩個三角形全等的方法.學(xué)習(xí)難點(diǎn)掌握圖形特征,尋找適合條件的兩個三角形.授課類型新授課課時(shí)教具三角板、圓規(guī)(多媒體課件及幾何畫板)教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計(jì)意圖回顧1.什么叫作全等三角形?答:能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.2.全等三角形有什么性質(zhì)?答:全等三角形的對應(yīng)邊相等,全等三角形的對應(yīng)角相等.復(fù)習(xí)學(xué)過的舊知識,為新知識的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).活動一:創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】具備什么條件的兩個三角形全等呢?我們從構(gòu)成三角形的元素——邊、角的關(guān)系出發(fā),研究三角形全等的判定方法.根據(jù)全等三角形的定義,如果△ABC與△A'B'C'滿足三條邊分別相等,三個角分別相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',就能判定△ABC≌△A'B'C'(如圖14-2-14).圖14-2-14一定要滿足三條邊分別相等,三個角也分別相等,才能保證兩個三角形全等嗎?上述六個條件中,有些條件是相關(guān)的.能否在上述六個條件中選擇部分條件,簡捷地判定兩個三角形全等呢?我們按照條件由少到多的順序進(jìn)行研究.由已學(xué)習(xí)的知識提出設(shè)問,引發(fā)學(xué)生自己思考,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,探究新知.活動二:探究與應(yīng)用【探究1】探究滿足六個條件中的幾個可以證明兩個三角形全等思考:如果只滿足六個條件中的一部分,那么△ABC與△A'B'C'全等嗎?先任意畫出一個△ABC.再畫一個△A'B'C',使△ABC與△A'B'C'滿足上述六個條件中的一個(一邊或一角分別相等)或兩個(兩邊、一邊一角或兩角分別相等).你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎?問題1:當(dāng)滿足一個條件時(shí),△A'B'C'與△ABC全等嗎?①當(dāng)只有一條邊相等時(shí),如BC=B'C',畫△ABC與△A'B'C'如圖14-2-15:圖14-2-15②當(dāng)只有一個角相等時(shí),如∠B=∠B'=60°,畫△ABC與△A'B'C'如圖14-2-16:圖14-2-16答:不能.問題2:當(dāng)滿足兩個條件時(shí),△A'B'C'與△ABC全等嗎?①當(dāng)一條邊和一個角相等時(shí),如∠B=∠B'=30°,BC=B'C',畫△ABC與△A'B'C'如圖14-2-17:圖14-2-17②當(dāng)有兩個角相等時(shí),如∠B=∠B'=30°,∠C=∠C'=50°,畫△ABC與△A'B'C'如圖14-2-18:圖14-2-181.進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形的畫法,從操作中體會三角形全等的條件.活動二:探究與應(yīng)用③當(dāng)有兩條邊相等時(shí),如AB=A'B',BC=B'C',畫△ABC與△A'B'C'如圖14-2-19:圖14-2-19答:不能.問題3:當(dāng)滿足三個條件時(shí),△A'B'C'與△ABC全等嗎?滿足三個條件時(shí),又分為幾種情況呢?我們依次討論:①兩邊一角;②兩角一邊;③三邊;④三角.本節(jié)我們先探究兩邊一角.【探究2】利用“SAS”判定兩個三角形全等思考:如圖14-2-20,直觀上,如果∠A,AB,AC的大小確定了,△ABC的形狀、大小也就確定了.也就是說,在△A'B'C'與△ABC中,如果∠A'=∠A,A'B'=AB,A'C'=AC,那么△A'B'C'≌△ABC.這個判斷正確嗎?圖14-2-20圖14-2-21如圖14-2-21,由∠A'=∠A可知,如果使點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合,并且使射線A'B'與射線AB重合,那么射線A'C'與射線AC重合.再由A'B'=AB,A'C'=AC,可知點(diǎn)B',C'分別與點(diǎn)B,C重合.這樣,△A'B'C'的三個頂點(diǎn)與△ABC的三個頂點(diǎn)分別重合,△A'B'C'與△ABC能夠完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC.結(jié)論:兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”).幾何語言:如圖14-2-22,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(SAS).圖14-2-22【探究3】利用“SSA”不能判定兩個三角形全等思考:我們知道,如果兩個三角形的兩邊和它們的夾角分別相等,那么這兩個三角形全等.如果兩個三角形的兩邊和其中一邊的對角分別相等,那么這兩個三角形全等嗎?如圖14-2-23,△ABC和△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD顯然不全等.圖14-2-23結(jié)論:兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.強(qiáng)調(diào):利用“SAS”判定兩個三角形全等時(shí),角必須是兩條相等邊的夾角,邊必須是夾相等角的兩邊.2.使學(xué)生認(rèn)識到“邊邊角”不能判定兩個三角形全等,只有兩邊和它們的夾角分別相等才能判定兩個三角形全等.活動二:探究與應(yīng)用【應(yīng)用舉例】例1如圖14-2-24,AC=AD,AB平分∠CAD,求證:∠C=∠D.圖14-2-24證明:∵AB平分∠CAD,∴∠CAB=∠DAB.在△ABC和△ABD中,AC=AD(已知),∴△ABC≌△ABD(SAS).∴∠C=∠D.例2如圖14-2-25,點(diǎn)C,D在AB上,且AC=BD,AE=BF,AE∥BF.求證:△AED≌△BFC.圖14-2-25證明:∵AE∥BF,∴∠A=∠B.∵AC=BD,∴AC+CD=BD+CD,即AD=BC.在△AED和△BFC中,AE=BF(已知),∴△AED≌△BFC(SAS).變式一如圖14-2-26,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求證:AB=DE.圖14-2-26分析:(1)要證AB=DE,可以證明AB與DE所在的△ABC和△DEC全等;

(2)在證明△ABC與△DEC全等時(shí),題目中哪些條件可以直接使用?為什么?(3)在證明△ABC與△DEC全等時(shí),題目中哪些條件不可以直接使用?為什么?但由這個條件可以推出∠ACB=∠DCE,從而可以用什么方法判定△ABC與△DEC全等?

(4)寫出證明過程.[答案:(2)條件CA=CD,BC=EC可以直接使用理由略(3)條件∠1=∠2不可以直接使用理由略可以利用“SAS”判定△ABC與△DEC全等(4)略]變式二已知:如圖14-2-27,點(diǎn)A,F,E,C在同一條直線上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.圖14-2-27求證:AB∥CD.證明:∵BE∥DF,∴∠BEA=∠DFC.∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.在△AEB和△CFD中,AE=CF(已知),∴△AEB≌△CFD(SAS).∴∠A=∠C.∴AB∥CD.1.讓學(xué)生參與到教師的講例之中,領(lǐng)悟“邊角邊”證明三角形全等的方法,學(xué)會分析推理和規(guī)范書寫.2.教師講例,學(xué)生接受式學(xué)習(xí),但要積極參與,強(qiáng)化學(xué)生對“邊角邊”判定方法的理解.3.通過例題及變式,強(qiáng)化學(xué)生對“邊角邊”判定方法的理解.【拓展提升】例3如圖14-2-28,已知點(diǎn)C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,且AB=CD,BC=DE,AC是否垂直于CE?為什么?圖14-2-28[答案:AC⊥CE理由略]引申:若將△CDE沿CB方向平移,且其余條件不變,如圖14-2-29所示的各種情況,則結(jié)論AC1⊥C2E還成立嗎?請說明理由.活動二:探究與應(yīng)用圖14-2-29[答案:AC1⊥C2E理由略]這組提高題是圍繞著圖14-2-28展開的,在拓展思維的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力,實(shí)現(xiàn)了方法上的遷移.學(xué)生運(yùn)用所學(xué)由淺入深,由一題展開,攻克了一個個難關(guān),在提高綜合運(yùn)用知識的能力的同時(shí),也體會到較復(fù)雜圖形都是由一些基本圖形經(jīng)過幾何變換得到的,體會變化中不變的量,提供分析的思路和方法,突出了“訓(xùn)練為主線,思維為主攻”的原則.1.通過動態(tài)形象地演示,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解,借此也培養(yǎng)了學(xué)生仔細(xì)觀察的能力.2.知識的綜合與拓展,提高學(xué)生的應(yīng)考能力.活動三:課堂總結(jié)反思【當(dāng)堂訓(xùn)練】1.如圖14-2-30,AB=AE,若要直接根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△AED,則需添加條件:答案不唯一,如AC=AD(寫出一個即可).

圖14-2-30圖14-2-312.如圖14-2-31,AB=DB,BC=BE,若要根據(jù)“SAS”判定△ABE≌△DBC,則需要增加的條件是 (D)A.∠A=∠DB.∠E=∠CC.∠A=∠C D.∠ABD=∠EBC3.某學(xué)校計(jì)劃為新生配備如圖14-2-32①所示的折疊凳.圖②是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖(材料的寬度忽略不計(jì)),其中凳腿AB和CD的長度相等,O是它們的中點(diǎn).為了使折疊凳坐著舒適,廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為30cm,則由以上信息可推得CB=30cm.

圖14-2-32圖14-2-334.如圖14-2-33,點(diǎn)E,F在AC上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF.求證:∠D=∠B.證明:∵AD∥BC,∴∠A=∠C.∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFD和△CEB中,AD=CB(已知),∴△AFD≌△CEB(SAS).∴∠D=∠B.當(dāng)堂訓(xùn)練,鞏固深化,強(qiáng)化學(xué)生對“邊角邊”判定方法的理解,規(guī)范證明三角形全等的書寫格